精品解析：2025年浙江省温州市瓯海区中考二模数学试卷

2025年初中毕业生学业考试第二次学科素养测试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共6页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，进货为正，出货为负，那么进货2吨为吨，出货3吨为吨，据此把二者相加即可得到答案． 【详解】解；由题意得，当天库存变化的是， 故选：A． 2. 如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 故选：B． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法计算即可． 【详解】， ， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式与单项式的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式与单项式的除法法则逐项分析，即可解题． 【详解】解：A、 与不是同类项，不能计算，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ） A. 5人 B. 12人 C. 14人 D. 17人 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解． 【详解】解：在频数直方图中，成绩不少于160个即成绩在以及这部分， 从图中可知，成绩在的频数是12，成绩在的频数是5， ∴跳绳能达到优秀（成绩不少于160个）的人数为这两部分频数之和， 即（人）， ∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人． 6. 某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“每桌坐8人，则有10人不能就坐”可列，根据“每桌坐10人，则空出一张桌子”可列，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选：A． 7. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点 ，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、长方形的性质，关键是根据题意得到线段的关系． 根据矩形和矩形全等，四边形是正方形，可知，继而可求，再根据正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵矩形和矩形全等，四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形边长为， 故选：A． 8. 如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，在根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，则， 当时，则，当时，则，故A错误； B、当时，则， 同理当时，则，当时，则，故B错误； C、当时，则，且， ∴，故C正确； D、同理C选项，，故D错误； 故选：C． 9. 如图，在矩形中，E是上一点，交于点F，交对角线于点G，连接．若求阴影部分的面积，则只需要知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，由证明四边形是正方形，四边形是矩形，得到，，再证，推出，得到，进而得到，即阴影部分的面积为，即可得出结论． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴若求阴影部分的面积，只需要知道四边形的面积， 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据2个红枣粽，3个肉粽，结合概率公式，求出妈妈随机选一个，妈妈吃到红枣粽的概率即可． 【详解】解：∵2个红枣粽，3个肉粽， ∴妈妈随机选一个，妈妈吃到红枣粽的概率为． 故答案为：． 11. 不等式组：的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”原则确定同出公共解集即可． 【详解】解：， 解①得：x>-1， 解②得：x≤6， ∴-1<x≤6． 故答案为：-1<x≤6． 【点睛】本题考查解不等式组，确定不等式的公共解集是解题的关键． 12. 如图，已知，若要使得，则可添加的条件是_____________．（只需填写一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，添加条件，利用证明即可． 【详解】解：可添加的条件是， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 13. 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求解． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式． 14. 如图，在中，，，点D，E把线段三等分，F是边上的中点，连接．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，首先求出，然后根据三线合一得到，求出，勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵，点D，E把线段三等分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵F是边上的中点 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三线合一性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在菱形中，点E在对角线上，，将边平移至，点A的对应点为点E，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平移的性质，连接，设交于点O，则由菱形的性质可得，根据平移的性质和已知条件可证明四边形是矩形，则，再证明，利用相似三角形的性质建立比例式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 由平移的性质可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及乘方零指数幂，立方根，掌握实数的混合运算法则是解题关键． 先计算乘方，零指数幂，立方根，再进行加减法计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．” （1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？ （2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】（1）小明的解法：①错误；小红的解法：②错误 （2） 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式减法，分子化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母； 小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误． 【小问2详解】 解：原式 ； 当时，原式． 18. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连接． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是管家． （1）根据锐角三角形函数的计算得到，在中，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）根据出资平分线的性质得到，设，则，在中，，由此列式得到，再结合正切值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 在中，． 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格： 甲、乙两名队员射击成绩分析表 平均数/环 中位数/环 众数/环 方差/环 甲 2.36 乙 7.8 8 9 2.96 （1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数． （2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由． 【答案】（1）平均数：7.8环；中位数：8环；众数：8环 （2） 挑选甲，理由如下： 根据折线统计图的趋势看，甲状态持续上升； 甲射击成绩方差小于乙射击成绩方差，说明甲比乙更稳定； 【解析】 【分析】此题考查了方差、平均数、中位数、众数等统计量，折线统计图等知识，准确掌握各统计量的求解方法和意义是关键． （1）根据平均数、中位数、众数的求解方法进行解答即可； （2）根据相关统计量和折线统计图进行分析即可． 【小问1详解】 解：甲队员射击成绩：， 乙队员射击成绩：， 甲平均成绩：（环） 甲中位数：环；甲队员射击成绩出现次数最多的是8环，即甲队员射击成绩众数是8环： 【小问2详解】 略 20. 小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线． 如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可． 如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可． （1）给出小温作法中的证明． （2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹． 【答案】（1） 证明：由作图可知：， ； ， ， ． （2） 作图如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，再由平行线的判定定理可证明结论； （2）根据题意结合角平分线的尺规作图方法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到的时间． （2）求材料自然降温时，关于的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】（1）20分钟 （2） （3） 由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； 【小问2详解】 解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； 【小问3详解】 略 22. 已知二次函数（a为常数）． （1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当时，该二次函数有最小值，求a的值． 【答案】（1） （2）证明： ∵， 二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的对称性、判别式以及对称轴与给定区间的位置关系来求解． （1）方法1：根据抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，先求出对称轴，进而得到的值，确定函数表达式；方法2：用待定系数法代入求解，确定函数表达式； （2）通过计算二次函数对应的一元二次方程的判别式，根据判别式与0的大小关系证明函数图象与轴的交点情况； （3）先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分对称轴在给定区间左侧、内部、右侧三种情况，根据函数单调性求出最小值，进而求得的值． 【小问1详解】 解：方法一： 由题意可知关于对称轴直线对称， ， ∴该二次函数的解析式为． 方法二： 将代入，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1， （Ⅰ）若时，当时，函数有最小值为， 得（舍去）； 如图2， （Ⅱ）若时，当时，函数有最小值为， 解得； 如图3， （Ⅲ）若时，当时，函数有最小值为， 解得（舍去）， ∴综上所述满足条件的a的值为． 23. 如图，点O是在内部一点，平分，以O为圆心，为半径的圆经过点B，交于点D，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F． （1）求证：． （2）当时． ①求的度数． ②若F是的中点，的半径为1，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1 平分， ． ， ． ， ， ． （2）①60度；② 【解析】 【分析】（1）角平分线得到，等边对等角，得到，圆周角定理得到，进而得到，即可得证； （2）①设，设，三角形的外角求出，圆周角定理求出，在，利用三角形的内角和定理求得，即可得出结果；②连接，延长交于点R，交于点N，设，圆周角定理结合含30度角的直角三角形的性质，得到，平行线的性质结合垂径定理，求出平行线分线段成比例，得到中位线定理，得到，证明，求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可设， 设， ． ， ， ， ∴在中，，即， ，即． ②如图2， 连接，延长交于点R，交于点N， 设， 是的直径， ，即． ， ．， ， ∴， ． 是的中点， ， ∴， ∴， ， ． ， ∴在中，， 即，解得（舍去）， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生学业考试第二次学科素养测试 数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共6页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2吨，出货3吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的4个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ） A. 5人 B. 12人 C. 14人 D. 17人 6. 某校要举办一场教师茶话会．若每桌坐8人，则有10人不能就坐；若每桌坐10人，则空出一张桌子．问该校准备的桌子和参加茶话会的教师各有多少？设该校准备了x张桌子，参加茶话会的教师有y人．根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点 ，，在一条直线上，若，，则拼补后的正方形边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在矩形中，E是上一点，交于点F，交对角线于点G，连接．若求阴影部分的面积，则只需要知道（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 四边形的面积 卷Ⅱ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 端午节吃粽子是我国传统习俗，小瓯为全家人蒸了2个红枣粽，3个肉粽，妈妈随机选了一个，则妈妈吃到红枣粽的概率是_____________． 11. 不等式组：的解集为______． 12. 如图，已知，若要使得，则可添加的条件是_____________．（只需填写一个条件） 13. 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为_______． 14. 如图，在中，，，点D，E把线段三等分，F是边上的中点，连接．若，则的长为_____________． 15. 如图，在菱形中，点E在对角线上，，将边平移至，点A的对应点为点E，连接，若，则的长为_____________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 16. 计算：． 17. 小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．” （1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？ （2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 18. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点，连接． （1）求的长． （2）求的值． 19. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩被制成折线统计图与表格： 甲、乙两名队员射击成绩分析表 平均数/环 中位数/环 众数/环 方差/环 甲 2.36 乙 7.8 8 9 2.96 （1）表格中甲队员射击成绩三项统计量被遮挡住了，请求出甲队员射击成绩的平均数，中位数和众数． （2）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？请根据表格中统计量，并结合折线统计图分析说明理由． 20. 小温和小州在研究尺规作图问题：过直线外一点P作已知直线l的平行线． 如图1，①在直线l上取一点A，连接并在延长线上取一点O（与l不垂直）． ②以O为圆心，为半径画弧交直线l于另一点B，连接． ③再以O为圆心，为半径画弧交线段于点Q，作直线即可． 如图2，①在直线l上取两点C，D，作的角平分线． ②以P为圆心，为半径的圆弧交于点Q，作直线即可． （1）给出小温作法中的证明． （2）在图2中，完成小州的尺规作图，并保留作图痕迹． 21. 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． （1）求材料加热到的时间． （2）求材料自然降温时，关于的函数表达式． （3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 22. 已知二次函数（a为常数）． （1）若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当时，该二次函数有最小值，求a的值． 23. 如图，点O是在内部一点，平分，以O为圆心，为半径的圆经过点B，交于点D，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F． （1）求证：． （2）当时． ①求的度数． ②若F是的中点，的半径为1，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $