精品解析：2025年河南省焦作市焦作中考二模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试・抢分金卷 数学B卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 年我国新能源汽车销量为万辆，连续年位居全球第一，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 小明的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是的中点，于点，于点，，分别交于点，．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B. 掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 9. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．若，，则阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形钢架的立柱于点（立柱也用钢制成），的长为．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个轴对称图形：______． 12. 河南是中国的“粮仓”，为了解小麦的产量，农科院从甲、乙两市各随机抽查了10公顷，并将每公顷小麦的产量绘制了如下两个散点图，则______市的每公顷小麦产量波动较小． 13. 定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是______． 14. 如图，把边长为的正方形纸片沿剪开，并将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为点，当与交于点时，的长为______． 15. 一个各数位均不为的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数．，3456是“友谊数”．若“友谊数”中各个数位的数各不相同，则满足要求的最小是______；若“友谊数”中各个数位的数各不相同，且是整数，则的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程组： 17. 劳动教育是培养人的全面发展的重要途径，为了解学生每周从事家务劳动的时间（单位：），某中学学生会随机调查了一些学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校学生会随机调查了多少名学生？ （2）学生每周从事家务劳动的时间数据的众数和中位数分别为______和______，的值为______； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，估计该校学生每周参加家务劳动时间小于或等于小时的人数为多少？请给这些同学写一条参加家务劳动的好处． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向下平移3个单位长度与的图像交于点，连接，，求的面积． 19. 如图，，垂足为点，且，点为的中点． （1）尺规作图：作的中点，连接，，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 20. 如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． （1）斜坡的坡角为___________； （2）同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 21. 月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． （1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； （2）该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 22. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，信阳某茶叶厂销售一批新毛尖时，销售员小李把市场调研情况绘制成函数图像（如图所示），成本（万元）与销售量（吨）的函数解析式为；销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为，与的图像交于点． （1）求和的值，并解释点的实际意义； （2）当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是多少万元？ （3）当销售量是多少吨时，可获得200万元的利润？（注：利润=销售额-成本） 23. （1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试・抢分金卷 数学B卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 2. 年我国新能源汽车销量为万辆，连续年位居全球第一，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法就是将一个数字表示成的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：万， 故选：C． 3. 小明的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键；根据三角形外角的性质可得，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，依题意，，， ∴ ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴ 故选：B． 4. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 6. 如图，在中，点是的中点，于点，于点，，分别交于点，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，连接，过点作，证明四边形是矩形，设，，则，根据，可得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作， ∵四边形是平行四边形，点是的中点， ∴，，， ∵，， ∴，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 7. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 8. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是不可能事件 B. 掷一个矿泉水瓶盖时，背面朝上的概率为0.5 C. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，根据事件的分类，概率的意义，画树状图求概率，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 打开电视机，中央台正在播放“神舟十八号太空巡游”的新闻是是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 掷一个矿泉水瓶盖时，矿泉水瓶盖结构不对称，正反面概率不均等，背面朝上的概率不一定为，故该选项不正确，不符合题意； C. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，故该选项正确，符合题意； D. 画树状图如图，记《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》分别为， 共有16种等可能结果，两次取的书不一样的有12种 ∴从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本放回后，再随机取一本，两次取的书不一样的概率是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．若，，则阴影部分的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作于点，由圆周角定理可得，结合推出，得到，推出，证明四边形为矩形，得到，根据垂径定理可得，进而得到，推出为等腰直角三角形，得到，推出，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， 阴影部分的周长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，解题的关键是掌握相关知识． 10. 如图，等边三角形钢架的立柱于点（立柱也用钢制成），的长为．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个轴对称图形：______． 【答案】矩形（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，理解并掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形轴．据此即可获得答案． 【详解】解：写出一个轴对称图形：矩形． 故答案为：矩形（答案不唯一）． 12. 河南是中国的“粮仓”，为了解小麦的产量，农科院从甲、乙两市各随机抽查了10公顷，并将每公顷小麦的产量绘制了如下两个散点图，则______市的每公顷小麦产量波动较小． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据图中数据即可得出的波动情况． 【详解】解：从图中看到，乙市的波动比甲市的波动小， 故选：乙． 13. 定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是______． 【答案】有两个不等实数根 【解析】 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 14. 如图，把边长为的正方形纸片沿剪开，并将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为点，当与交于点时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是分类讨论．利用正方形的性质得出，，，进而求出，分两种情况讨论：当将绕点顺时针旋转时，当将绕点逆时针旋转时，根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为， ，，， ， 如图，当将绕点顺时针旋转时，得到， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ； 如图，当将绕点逆时针旋转时，得到，则的延长线与的延长线交于点， 由旋转可得：，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 15. 一个各数位均不为的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数．，3456是“友谊数”．若“友谊数”中各个数位的数各不相同，则满足要求的最小是______；若“友谊数”中各个数位的数各不相同，且是整数，则的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算的应用，根据新定义得到，要使最小，则千位上的要尽可能的小，又各数位均不为，故，进而得到，百位上的要尽可能的小，且与、不同，可得，推出，即可求出的最小值；将化简得到，根据新定义求解即可． 【详解】解：要使最小，则千位上的要尽可能的小，又各数位均不为， ， “友谊数”中各个数位的数各不相同，， ， 百位上的要尽可能的小，且与、不同， ， ， 满足要求的最小是； ， ，， ， ， ， 要使为最大的整数，且各个数为上的数字不同，则要尽可能的大， 、、、各不相同，且均不为， 当时，，则， 此时时，为整数，此时（不符合题意，舍去）； 当时，，则， 此时时，为整数，此时（不符合题意，舍去）； 当时，，则， 此时时，为整数，此时（符合题意）， ； 的最大值是； 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂以及解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算立方根，负整数指数幂和令指数幂，再算加减即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 得： ， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 17. 劳动教育是培养人的全面发展的重要途径，为了解学生每周从事家务劳动的时间（单位：），某中学学生会随机调查了一些学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题： （1）该校学生会随机调查了多少名学生？ （2）学生每周从事家务劳动的时间数据的众数和中位数分别为______和______，的值为______； （3）根据样本数据，若该校共有学生人，估计该校学生每周参加家务劳动时间小于或等于小时的人数为多少？请给这些同学写一条参加家务劳动的好处． 【答案】（1）名 （2），， （3）该校学生每周参加家务劳动时间小于或等于小时的人数为人，参加家务劳动的好处：参加家务劳动可以增强体质 【解析】 【分析】（1）用从事家务劳动的时间为的人数除以其百分比，即可求解； （2）根据众数和中位数的定义可求出众数和中为数，求出的百分比，即可求出； （3）用乘以参加家务劳动时间小于或等于小时的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：该校学生会随机调查的学生人数为（名）； 【小问2详解】 在这组数据中，出现的次数最多是次，因此众数是， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是， ， ， 故答案为：，，； 【小问3详解】 该校学生每周参加家务劳动时间小于或等于小时的人数为（人）， 参加家务劳动的好处：参加家务劳动可以增强体质． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，中位数、众数的定义，样本估计总体，解题的关键是数形结合． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向下平移3个单位长度与的图像交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像的平移、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入正比例函数并求解，即可确定点坐标，然后将点坐标代入反比例函数，求解即可获得答案； （2）过点作轴，交于点，首先确定直线向下平移3个单位长度后的新的直线解析式，进而确定点坐标；再利用待定系数法求得直线的解析式，结合点坐标求得点坐标，进一步可得的值，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入正比例函数， 可得，解得， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如下图，过点作轴，交于点， 把直线向下平移3个单位长度，则新的直线解析式为， 联立与， 可得，解得，（舍去）， 则， 设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵，轴， 可令，将其代入直线的解析式， 可得，即， ∴， ∴． 19. 如图，，垂足为点，且，点为的中点． （1）尺规作图：作的中点，连接，，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）解：如图，点即为所求； （2）四四边形的形状是菱形，理由如下： 如图，连接、， ，， 四边形是平行四边形， ，， 点为的中点，点是的中点， ，， ， ，， 四边形的形状是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识． （1）作线段的垂直平分线，交于点，再连接，，，点即为所求； （2）连接、，证明四边形是平行四边形，得到，，根据线段中点的定义可推出，结合，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． （1）斜坡的坡角为___________； （2）同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】（1） （2）5.4米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【小问1详解】 解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． 【小问2详解】 解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 21. 月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． （1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； （2）该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元 （2）五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设豆沙月饼每盒的进价为，根据题意列方程即可求解； （2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为，先根据题意列出关于的不等式，求出的范围，再列出与的解析式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设豆沙月饼每盒的进价为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 五仁月饼每盒的进价为（元）， 答：五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元； 【小问2详解】 设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）， 五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 22. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，信阳某茶叶厂销售一批新毛尖时，销售员小李把市场调研情况绘制成函数图像（如图所示），成本（万元）与销售量（吨）的函数解析式为；销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为，与的图像交于点． （1）求和的值，并解释点的实际意义； （2）当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是多少万元？ （3）当销售量是多少吨时，可获得200万元的利润？（注：利润=销售额-成本） 【答案】（1），，点的实际意义为销售额和成本相等，即收支平衡 （2）万元 （3）3吨 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）将点分别代入和，求解即可确定和的值，结合题意即可获得点的实际意义； （2）由（1）可知，，，当销售信阳毛尖1.5吨时，分别计算，的值，根据“利润=销售额-成本”即可获得答案； （3）设当销售量是吨时，可获得200万元的利润，根据题意可得，整理并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入， 可得，解得， 将点代入， 可得，解得， 结合图像可知，点的实际意义为销售额和成本相等，即收支平衡； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 当销售信阳毛尖1.5吨时， ，， 则（万元）， 即当销售信阳毛尖1.5吨时，所获利润是万元； 【小问3详解】 设当销售量是吨时，可获得200万元的利润， 则有， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴当销售量是3吨时，可获得200万元的利润． 23. （1）追根溯源 如图1，太阳直射在上，为上的高，，，是位于同一条直线上的影子．则通过，，得到______，进而得到，被称作射影定理． （2）拓展提升 如图2，在中，点为上一点，． ①求证：； ②若，，点为直线上一点，当为直角三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴， ②或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）①同（1）证明，即可得证； ②根据相似三角形的性质求得，进而求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）①略 ②∵，， ∴ ∴ 如图， 当时， ∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $