精品解析：陕西省宝鸡市金台区2025年九年级二检数学试题

2025年九年级数学教学质量检测试题（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束后，交回答题卡． 第一部分选择题（共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图（左视图），运用空间想象思想和视图投影分析方法．解题关键是结合六棱柱的摆放位置，明确正六边形棱的投影规律；易错点是误判棱的投影数量或位置，混淆左视图中棱的分隔形式． 六棱柱上下底面为正六边形，侧面是矩形，结合其实际摆放位置，从左侧观察时，正六边形的棱会在视图中形成特定投影．正六边形从左侧投影时，能看到的纵向棱会呈现出三条竖线（两侧为轮廓线，中间为内部棱的投影），对应选项B的分隔形式； 选项A中间仅两条竖线，未准确反映正六边形棱的投影数量，错误； 选项C无内部棱的投影，不符合六棱柱结构，错误； 选项D是正六边形（俯视图），与左视图定义不符，错误． 【详解】选项A：中间仅两条竖线，不符合正六边形棱的投影数量，错误； 选项B：由两条竖线分隔为三个矩形，与从左侧观察六棱柱的视觉效果一致，正确； 选项C：无内部棱的投影，是完整矩形，错误； 选项D：是正六边形（俯视图），非左视图，错误． 故选：B． 3. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及把不等式的解集在数轴上表示出来．首先计算出不等式的解集，再在数轴上表示出来． 【详解】解：， 解得， 在数轴上表示为： ， 故选：C． 5. 如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中随的增大而减少，可得，由，可得，此函数的图象过二、三、四象限，逐一判断即得． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，∴，∵，∴， A. ，，，不合，故此选项不符合题意； B. ，，，不合，故此选项不符合题意； C. ，，，符合，故此选项符合题意； D. ，，，不合，故此选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理和角所对的直角边等于斜边的一半．连接，则，由得，由是的直径得，得，求出，得，由勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，如图，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在这个二次函数的图象上，且， ∴该函数图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， ∵， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值， 故选：A． 第二部分非选择题（共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：m2﹣mn=_____． 【答案】m（m﹣n） 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可：m2﹣mn=m（m﹣n）． 10. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出． 【详解】解：连接、， 则， ， ， ， 是直角三角形． ， 故答案为：． 11. 如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 12. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 13. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，由正方形的性质以及全等三角形的性质可得，，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，，，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 设， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算．先计算立方根、有理数的乘法和乘方分别化简，再计算加减即可得出答案． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值．直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的解， 故原分式方程的解是． 17. 如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．作的角平分线，根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长，过点P作于点H，于点G， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接、．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，根据菱形的性质，证明，得出即可． 【详解】略 19. 每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛． （1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是_______． （2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用男生数除以学生总数； （2）列表，用两名学生来自不同学校的可能结果数除以所有等可能总数． 【小问1详解】 从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是，， 故答案为：； 【小问2详解】 设两名学生来自不同学校的事件为A， 将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8， 所以这两名学生来自不同学校的概率为，． 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握列举法求概率和列表法（或画树状图法）求概率是解决此类问题的关键． 20．某校迎来一年一度的篮球赛季，学校共组织25场篮球赛，赢一场得4分，输一场得1分，得分不低于40分的班级就能获得奖品．若九年级一班要获得奖品，这个班至少需要赢得多少场比赛？ 20. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且，之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，求这时轮船到港口的距离（结果取整数，参考数据：，，，，，）． 【答案】这时轮船到港口的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作交的延长线于点，在中，求得，，在中，求得，根据，即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点， 在中，，， 则，， 解得，， 在中，， 则， 解得， ∴， 答：这时轮船到港口的距离为． 21. 胜利农业公司销售玉米种子时规定：若一次购买2千克以上的种子，超过2千克的部分价格打8折．如表是购买量x（千克）与付款金额y（元）的部分对应值： x（千克） 1.5 2 2.5 y（元） 7.5 10 12 （1）求y与x的关系式； （2）李师傅将56元钱全部用于购买玉米种子，请你计算他购买玉米种子的数量． 【答案】（1） （2）李师傅购买玉米种子千克 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可分：当时，当时，然后根据表格分别得出函数关系式即可； （2）根据（1）可知，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可分：当时，则， ∴； 当时，则有，， ∴； 综上所述：与的关系式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 答：李师傅购买玉米种子千克． 22. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？ 【答案】（1）82，78，20 （2） 八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）109名 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以不了解的占比，再求和即可. 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有109名． 23. 如图，是的直径，C是外一点，连接交于点D，连接，．点E是上的一点，连接，，且． （1）求证：为的切线； （2）过点A作交的延长线于点F，若，，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴为的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）证明可得，再证明，进一步可得结论； （2）利用平行线的性质与圆周角定理先证明，可得，再利用勾股定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． （1）水面的宽度______m； （2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】（1） （2）最多可设计赛道5条． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 解得或， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：令，得， ∴ 解得，． 可设计赛道的宽度为， ∵每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道5条． 25. 【问题探究】 （1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：； 【问题解决】 （3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：连接、， ， ， 由题意可知，是的直径， 又， 是等腰直角三角形，， ； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据当、、三点共线时，、两点之间的距离最小，即可求解； （2）连接、，根据圆周角定理可得：，得到是等腰直角三角形，，即可证明； （3）连接，取的中点，连接，，过点作于点，先证、、、四点在上，得到．从而得到，，推出，得到，即要使最小，只需最小即可．连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为，故．由，，可知，得到当点与点重合时，满足最小，进而可知最小．连接，易知为等边三角形，则可求，解直角三角形即可求得，，即可求出，即可由求解． 【详解】解：（1）如图，当点运动到点的位置，即、、三点共线时，、两点之间的距离最小，的最小值为:， 故答案为：； （2）略 （3）如图3，连接，取的中点，连接，，过点作于点， 根据题意可知与均为直角三角形， ，故、、、四点在上， ， ， ，， ， ， 即要使最小，只需最小即可． 连接，，与的交点为，根据题意可知点在上，且所对的圆心为， ． ，， ， 当点与点重合时，满足最小，进而可知最小． 连接， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，圆的相关性质，等边三角形的判定与性质，线段的最值问题，解题的关键是掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学教学质量检测试题（二） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束后，交回答题卡． 第一部分选择题（共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 一次函数中，若，且随的增大而减小，则其图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 第二部分非选择题（共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：m2﹣mn=_____． 10. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 11. 如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 12. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 13. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程：． 17. 如图，已知四边形，点E在边上，且．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使与面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接、．求证：． 19. 每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛． （1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是_______． （2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率． 20．某校迎来一年一度的篮球赛季，学校共组织25场篮球赛，赢一场得4分，输一场得1分，得分不低于40分的班级就能获得奖品．若九年级一班要获得奖品，这个班至少需要赢得多少场比赛？ 20. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且，之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，求这时轮船到港口的距离（结果取整数，参考数据：，，，，，）． 21. 胜利农业公司销售玉米种子时规定：若一次购买2千克以上的种子，超过2千克的部分价格打8折．如表是购买量x（千克）与付款金额y（元）的部分对应值： x（千克） 1.5 2 2.5 y（元） 7.5 10 12 （1）求y与x的关系式； （2）李师傅将56元钱全部用于购买玉米种子，请你计算他购买玉米种子的数量． 22. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 a 82 九年级 79.8 79 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？ 23. 如图，是的直径，C是外一点，连接交于点D，连接，．点E是上的一点，连接，，且． （1）求证：为的切线； （2）过点A作交的延长线于点F，若，，，求线段的长度． 24. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． （1）水面的宽度______m； （2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 25. 【问题探究】 （1）如图1，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为 ； （2）如图2，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：； 【问题解决】 （3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $