精品解析：2025年江苏省连云港市中考数学模拟试题

2025年连云港中考模拟试题 数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将数13680000用科学记数法表示为（　　） A. 0.1368×108 B. 1.368×107 C. 13.68×106 D. 1.368×108 4. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有 个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、 上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数 的取值范围是__________． 10. 分解因式：______． 11. 若关于 的一元二次方程的一个解是，则 的值是________． 12. 如图，将 沿 边向右平移2个单位长度得到 ．若，阴影部分的面积为6，则 的面积为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴负半轴上，点B在 轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 14. 如图，是 的外接圆，，，则的半径是 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数 交于、 两点，点在 轴上，且，若，则__． 16. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答、解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 21. 某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 22. 如图，已知矩形，点分别在的延长线和的延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知．当BE的长为 时，四边形是菱形． 23. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点M在x轴上，且的面积是 的面积的3倍，求点的坐标． 25. 按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴 固定不动，转动点B离地面 的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，， ） （1）求此时操作平台A离地面的高度； （2）若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 26. 如图，二次函数 的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接 、． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求 的正切值； （3）若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、 、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 27. 数学的思考 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试在 轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 （1）如图，请说明 ； 数学的表达 （2）如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； （3）如图，延长线段交 轴于点，连接 ，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； （4）如图 ，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年连云港中考模拟试题 数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小．根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵ ， ，， ∴， ∴最小的是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了幂的运算．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 将数13680000用科学记数法表示为（　　） A. 0.1368×108 B. 1.368×107 C. 13.68×106 D. 1.368×108 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式a×10n(1≤∣a∣﹤10，n为整数)，确定a和n值即可解答． 【详解】解：13680000=1.368×107， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的一般形式，正确得出a和n值是解答的关键． 4. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴特点判定式子符号，整式的运算，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴特点，整式的运算，确定符号即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，则A选项错误，不符合题意； ，则B选项错误，不符合题意； ，则C选项错误，不符合题意； ，则D选项正确，符合题意； 故选：D ． 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了一元一次方程的实际应用．设杏有个，根据3人一组，每组5个杏，则多10个杏；4人一组，每组8个杏，则多2个杏，由人数相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设杏有个，根据题意得：， 故选：B． 6. 如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得，都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 7. 如图，在菱形中，，，E、F分别是、上的动点，连接、，M、N分别为、的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题关键．连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由三角形中位线定理可得 ，时，有最小值，有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ， M、N分别为、的中点， 是 的中位线， ， 时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是， 故选：A 8. 如图，正方形的顶点坐标分别为，，，抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象G，若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ∵正方形的顶点坐标分别为， ∴， ∵抛物线经过点，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象，直线与图象有唯一交点， ∴当时，抛物线过，即，解得 ， 当时，抛物线过，即， 解得：， 综上所述， 或， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则 的值是________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 12. 如图，将沿边向右平移2个单位长度得到 ．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到 ， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 【答案】D（，1） 【解析】 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴A（−2，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（−，1）． 故答案为（−，1）． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 14. 如图，是的外接圆，，，则的半径是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理以及推论， 延长交于点D，连接，利用直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理得出 ，然后在，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点D，连接， ∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径等于4， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数 交于 、 两点，点在轴上，且，若，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 根据正比例函数和反比例函数交于 、 两点，得出两点的坐标关于原点对称，过点 作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解： 根据正比例函数和反比例函数交于 、 两点， 两点的坐标关于原点对称， ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点 作于点，根据等腰三角形的三线合一可得 ∴ ∵反比例函数的图形位于二、四象限 故答案为：． 16. 如图1，是的半径，点M是的中点，点N在上从点A开始沿逆时针方向动一周回到点A，运动停止，设运动过程中的长为x，的长为y，图2是y随x变化的关系图象，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理 ，解题关键是利用图象信息确定半径，通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值． 先由图象中N与A重合时的长度及M是中点确定圆半径；再根据弧长公式求出时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出，即a的值． 【详解】解：结合题图可知，当点N与点A重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点M是的中点， ∴，即圆O的半径， 当弧的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点N作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知的值为a， ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答、解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：． ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值．由已知得到，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整体代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）m＝　 　，n＝　 　； （3）求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？ 【答案】（1）150， 补全图形如下： （2）36、16 （3）129.6° （4）192人 【解析】 【分析】（1）根据参加书法的人数和所占百分比即可求得参加此次问卷调查的总人数，然后根据条形统计图中的数据即可求出参加航模兴趣小组的人数，问题得解； （2）在（1）中已经求得参加问卷调查的总人数，再根据条形统计图中给出的参加摄影和围棋的学生人数，即可求出m、n； （3）“摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，据此可得解； （4）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数． 【小问1详解】 参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人）， 航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人）， 【小问2详解】 根据题条件有： ，， 即m＝36、n＝16， 故答案为：36、16； 【小问3详解】 根据扇形统计图的知识可知， “摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°， 即：； 【小问4详解】 ∵在抽样中，围棋人数占比为16%， ∴估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生为：1200×16%＝192（人）， 即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数为192人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估算总体等知识，明确题意，数形结合是解答本题的关键． 21. 某商场在“五一”期间销售甲、乙、丙、丁四款衬衫． （1）若小华确定购买甲款衬衫的前提下，再从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率是________； （2）若小华从这四款衬衫中随机选择两款不同的衬衫，求恰好选中甲、乙两款的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲、乙两款的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有乙、丙、丁三款衬衫供选择，且每款衬衫被选择的概率相同， ∴从其余三款中随机选择一款，则恰好选中乙款的概率； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四款衬衫， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙两款的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙两款的概率为． 22. 如图，已知矩形，点分别在的延长线和的延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知．当BE的长为 时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得 ，可得，可得结论； （2）由菱形的性质可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若四边形是菱形， ， ， ， ∴， ∴当的长为时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23. 某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元 【解析】 【分析】（1）根据利润=单个利润×数量可进行求解； （2）由（1）分别求出两种情况下的最大利润，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 当时，则； 当时，则； ∴； 【小问2详解】 解：当时，； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时，（元）． 当时，，随增大而减小， ∴当时，（元）． ∵， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点M在x轴上，且的面积是 的面积的3倍，求点 的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）点 的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标． （1）利用待定系数法求出 ，再求得点P的坐标为，利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）根据，求出的面积，再根据的面积是面积的一半，构建方程求得的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：令，， ∴点的坐标为， ∴， 由题意得，即， ∴， ∴点 的坐标为或． 25. 按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面 的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，， ） （1）求此时操作平台A离地面的高度； （2）若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 【答案】（1）操作平台 离地面的高度约为 （2） 能，理由如下： 如图：连接，由题意可知，，最长为， 在中，， ， ， 在 中，根据勾股定理得：， ， ， 操作平台 能到达楼顶． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）如图：过点 作，垂足为点 ，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断． 【小问1详解】 解：如图：过点 作，垂足为点 ，则四边形为矩形，，，， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：操作平台A离地面的高度约为 ． 【小问2详解】 略 26. 如图，二次函数 的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求 的正切值； （3）若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 【答案】（1） （2） （3） 证明：设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设，则，， 故 ， ，， ∴ ， ∵，故 ， ∴，即 ， ∴线段、、总能组成等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设交点式，再代入C点坐标即可求解； （2）先由 得，利用两点间的距离公式得 ， ， ，利用勾股定理逆运用得，进而可得答案； （3）先求出直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，，再分别表示 ， ，，可得 ，再用三边关系验证通过，即可证明． 【小问1详解】 解：∵二次函数 的图象与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴设二次函数的表达式为，代入， 解得， 故这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接 ， ∴， ∵，， ∴ ， ， ， ∴ ，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了利用交点式求二次函数的表达式，勾股定理，两点间距离公式，解直角三角形，三角形三边关系． 27. 数学的思考 如图 ，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 （1）如图 ，请说明 ； 数学的表达 （2）如图，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； （3）如图，延长线段 交轴于点，连接 ，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； （4）如图，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1） 如图 ，设与圆于点，连接， ∴ ， ∵是的外角， ∴， ∴ ， ∴ ； （2）点坐标为， 如图，设与直线交于点，设直线与轴交于点，过 作 轴于点 ， ∵点，， ∴， ， ， ∴， ∵垂直平分， ∴ ， 由题意得： ， ∴ ， ∴ ，即重合， ∴， 设直线的表达式是 ， ∴，解得： ， ∴直线的表达式是， ∵点在直线上， ∴设点， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得 ， （不合题意，舍去） ∴点坐标为； （3）点坐标为， 如图 ，连接 并延长，交于点，连接， ∵是直径， ∴ ， ∴ ， ∵与轴相切于点， ∴ 轴， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点，， ∴同理解析式为， 当时，, ∴点， ∴， ， ∴ ， 即， ∴ ， ∴点坐标为 ； （4） 如图： 延长 ，交于点， 同（）理得 ，设 ， 以为直径画半圆，过作的垂线交半圆于点， 易证 ， ∴ ， 然后以为圆心，为半径画弧，交于点， ∴即为所求． 【解析】 【分析】（）设与圆于点，连接，根据外角性质，得到即可； （）设点，求出，根据和两点间的距离，列出等式即可求解； （）连接 并延长，交于点，连接，证明 ，再根据性质即可求解； （）延长 ，交于点，根据第（）问，可知 ，则在右图中构造，然后左图以为圆心，为半径画弧，交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，三角形外角性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $