精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

环县一中2024～2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第二册第一章平面向量及其应用～第三章复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、复数的几何意义即可得解. 【详解】由题意在在复平面内对应的点，位于第一象限. 故选：A. 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解. 【详解】设所求为，由题意， 在三角形中，解得. 故选：A. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，，只需求出的值，进一步由商数关系即可得解. 【详解】∵，， ∴，， 所以. 故选：D. 8. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则∠A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理可得关于的不等式，解不等式可以确定的范围，由此确定正确选项. 【详解】由余弦定理可得， 又， 所以，又， 所以， 所以， 所以， 又，所以 所以， 所以， 所以的大小可能是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 单位向量的方向相同或相反 C. 零向量没有大小，没有方向 D. 一物体在力作用下由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的相关概念可判断ABC，由向量的数量积可判断D. 【详解】对于A，显然成立，可知A不符合题意， 对于B，单位向量方向任意，不一定相同或相反，B符合题意； 对于C，零向量大小为0，方向任意，C符合题意； 对于D，对物体所做的功为，D符合题意. 故选：BCD. 10. 已知，是方程的两个实数根，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意根据韦达定理可知，，再利用三角函数间的关系即可求解. 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由韦达定理可知，， 对于A，，A选项正确； 对于B，，B选项正确； 对于C， ，C选项错误； 对于D，，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法计算，由实虚部相等即可得解. 【详解】， 由实部和虚部相等可得， 所以， 故答案为：. 13. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即，解得. 在中，，即. 故答案为： 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用含的式子表示出的坐标，从而的最大值可转化为关于的二次函数在闭区间上的最大值问题. 【详解】以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 设，， ∴，，，， ∴， 当时，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值； （2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数 【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得． （2）由（1）知，令，有． 又由，得，有． 由上知或． 16. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数m的值； （2）若，求. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由夹角公式列方程求解即可； （2）由列式求出，进一步由模的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，解得或. 【小问2详解】 ， 因为，，所以， 解得，∴. 故. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案; （2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 根据正弦定理及， 得. ∵， ∴. ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， ∵， ∴，即， 当且仅当时取等号. ∴. ∴的最大值为. 18. 如图，在中，，，与相交于点M，设，， （1）试用，表示向量： （2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：． 【答案】（1） ；（2） 证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式； （2）根据条件，结合可建立等式，利用三点共线，可得出结论. 【详解】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得 ． 由B，M，C三点共线可知，存在实数使得 ． 由平面向量基本定理知． 解得，所以． （2）证明：若，，则． 又因E，M，F三点共线，所以． 19. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内有2个零点，求t的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数表达式，由整体代入法即可求解对称中心； （2）由函数平移变换法则求函数的图象，将函数的零点问题转换为函数与函数在闭区间上的交点个数为2，求参数的问题即可，故只需在同一平面直角坐标系中画出满足题意的图象，观察即可得到的范围. 【小问1详解】 ， 由，，得，， 所以的对称中心为，. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，得上的图象， 再将该图象所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，故. 作出在图象如下： 令，则， 由图可知，若在区间内有两个零点，则，即t的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2024～2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第二册第一章平面向量及其应用～第三章复数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则∠A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误是（ ） A B. 单位向量的方向相同或相反 C. 零向量没有大小，没有方向 D. 一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为1 10. 已知，是方程的两个实数根，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数__________． 13. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m． 14. 如图，在矩形中，，E，F分别是矩形边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 16. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数m的值； （2）若，求. 17. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 18. 如图，在中，，，与相交于点M，设，， （1）试用，表示向量： （2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：． 19. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内有2个零点，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $