精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可. 【详解】， 故选：B. 2. 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布曲线对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，且 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故选：A. 3. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，每个邮筒至少投1封信，则不同投法的种数为（ ） A. B. C. 12 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先排放2封信的邮筒，在对剩下的进行全排列即可. 【详解】3个邮筒有一个邮筒投2封信，其它2个邮筒投1封信， 所以共有. 故选：D. 4. 的展开式中含的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【详解】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 5. 已知事件与独立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立的概率公式可得，再根据相互独立事件的性质求解条件概率即可. 【详解】因为事件与独立，所以， 因为，所以， 所以（事件与独立，故事件与独立）. 故选：C 6. 已知函数的极大值为1，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出单调性进而可求极大值，进而求a 【详解】， 当时，恒成立，此时单调递减，无极大值； 故， 令得或，令得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 解得， 故选：C 7. 已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率计算出对应概率，再由独立事件乘法公式计算即可. 【详解】设事件为从中抽取的三个元素之和不大于8，设事件为从中抽取的三个元素之和大于8， 根据题意,从集合中任取3个不同的元素，则有4种可能， 分别: ， 其中三个元素之和不大于8有3种可能，所以， 从集合中任取三个不同的元素，则事件有10种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和大于8有6种可能，所以， 所以， 即则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为. 故选：B 8. 定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 相关系数与回归系数的符号（正负）相同 C. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有的数据都扩大为原来的十倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，先根据两点分布的期望公式求出，再利用期望的线性性质计算即可； 对于，明确相关系数与回归系数的计算公式，分析它们的符号关系； 对于，根据公式分析所有数据都扩大十倍时的变化情况判断即可； 对于，理解相关系数的性质即可判断. 【详解】若随机变量服从两点分布，，则, ，，故错误； 回归系数，其中与为和的标准差，标准差是正数，因此和符号相同，故正确； ，故错误； 相关系数的性质：相关系数的绝对值越接近于，两个随机变量的线性相关程度越强；越接近于，线性相关程度越弱，故正确. 故选：. 10. 已知的展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 第六项的系数最大 D. 展开式中不存在常数项 【答案】AD 【解析】 【分析】展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，可求n，然后逐项可验证. 【详解】由已知可得，则， 选项A：展开式中二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，所有项的系数和为0，故B错误； 选项C：展开式的通项公式为， 第六项的系数为明显不可能最大，故C错误； 选项D：当不是整数，故展开式中不存在常数项，D正确； 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，在处有极值 C. 当时， D 当时，曲线关于点中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将5名志愿者安排到3个路口进行安全疏导，要求每个路口都有志愿者前往，且每个志愿者只能去一个路口，则不同的安排方法的种数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】本题为分组分配问题，5名志愿者分成三组只能是或，然后由排列组合的计数方法求解即可. 【详解】根据题意按每个路口的志愿者人数分类，则只能是或， 这是一个部分均分问题，所以总的安排方案种数为. 故答案为： 13. 一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有红球3个，黄球2个，绿球1个，从中依次有放回的摸出3个球，则摸出同一种颜色球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出摸到3个球均为红色，均为黄色和均为绿色的概率，相加即可求解. 【详解】摸到3个球均为红色的概率为，摸到3个球均为黄色的概率为， 摸到3个球均为绿色的概率为 故摸出同一种颜色球的概率为. 故答案为：. 14. 已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在区间上的图象有两个解, 令,研究在上的性质即可. 【详解】问题转化为在区间上的图象有两个解, 即, 令, , 当时，单调递减； 当时，单调递增； ，又， 因为直线与在区间上有两个公共点， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线斜率为5． （1）求实数m和n的值； （2）方程在有解，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点在曲线上得到一个方程，再利用导数在处的值等于切线斜率，联立方程组求解m和n的值. （2）将方程有解问题转化为求函数在区间[-1，2]上的值域，需通过求导 分析极值点，结合端点值确定最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 由函数在点处的切线斜率为5， 可得， 解得. 【小问2详解】 方程在有解，等价于求在区间上的值域， 由第一问知， 当时，解不等式，可得或，此时递增， 解不等式，可得，此时递减， 因此在上递增，在上递减，在上递增， 由于，所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 又因为，所以函数的最大值为12，最小值为0， 即函数的值域为， 所以实数的取值范围为. 16. 为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 每天都整理数学错题人数 55 20 75 不是每天都整理数学错题人数 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关？ （2）从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关． 【小问2详解】 由于＂不是每天都整理数学错题＂的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，所以采用分层抽样的10人中，成绩优秀的有4人，成绩不优秀的有6人， 可知的取值范围是， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，根据极值的概念求解即可. （2）法一：参变分离，令，利用导数求解在区间上的最小值即可得解； 法二：将问题转化为恒成立，令，利用导数求在区间上的最小值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，由得， 解方程，可得， 解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，无极大值． 【小问2详解】 法一：对任意恒成立也即恒成立， 令，下求在区间上的最小值即可． ，解不等式，可得， 所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 法二：对任意恒成立也即恒成立， 令，求在区间上的最小值． 则，解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以， 所以可得， 所以实数的取值范围为． 18. 数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂． （1）若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望： （2）若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望： （3）若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？ 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）随机选择1个选项能使得分更好． 【解析】 【分析】(1)确定的取值是，,根据条件概率和全概率公式求解的每一个取值对应的概率,得到分布列后根据期望公式求解即可; (2) 确定的取值是,根据条件概率和全概率公式求解的每一个取值对应的概率,得到分布列后根据期望公式求解即可; (3) 当时，比较的大小,即可判断. 【小问1详解】 的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 3 从而． 【小问2详解】 的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 0 4 6 从而； 【小问3详解】 当时，， ， 所以该同学随机选择1个选项能使得分更好． 19. 已知函数． （1）设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程； （2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，可得切线方程为，再结合条件，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间关系，求出的最小值，即可求解； （3）构造函数，利用导数与零点存在性原理得，再构造函数，利用导数求出的最小值，再结合题设，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，又， 所以， 所以切线方程为，又，可得， 所以切线方程为． 【小问2详解】 由，即在定义域内恒成立， 所以在区间上恒成立， 令， 所以，令， 所以恒成立，所以在上单调递增， 即在上单调递增，又， 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以，所以． 【小问3详解】 令，则， 易知在为增函数，又时，，时，，即的值域为， 所以在上有唯一的实数根， 即，得，则， 则当时，所以，则在单调递减； 当时，所以，则在单调递增； 当时，取得最小值，， 令，即在上恒成立， 令， 则， 则当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 所以只需，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，每个邮筒至少投1封信，则不同投法的种数为（ ） A. B. C. 12 D. 36 4. 展开式中含的项为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件与独立，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的极大值为1，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 相关系数与回归系数的符号（正负）相同 C. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有的数据都扩大为原来的十倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 D. 两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近 10. 已知展开式中第五项与第七项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 第六项的系数最大 D. 展开式中不存在常数项 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，在处有极值 C. 当时， D. 当时，曲线关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将5名志愿者安排到3个路口进行安全疏导，要求每个路口都有志愿者前往，且每个志愿者只能去一个路口，则不同的安排方法的种数为______．（用数字作答） 13. 一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有红球3个，黄球2个，绿球1个，从中依次有放回的摸出3个球，则摸出同一种颜色球的概率为________. 14. 已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线斜率为5． （1）求实数m和n的值； （2）方程在有解，求实数t的取值范围． 16. 为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 每天都整理数学错题人数 55 20 75 不是每天都整理数学错题人数 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与每天整理数学错题有关？ （2）从调查的不是每天都整理数学错题的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 18. 数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂． （1）若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望： （2）若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望： （3）若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？ 19 已知函数． （1）设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程； （2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$