精品解析：陕西省汉中市汉台区2024-2025学年下学期九年级中考三模数学试卷

2025年初中学业水平模拟考试联考卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的立方根为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则括号里应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 6. 如图，四边形为平行四边形，对角线与相交于点O，E、F、G、H分别为边的中点，连接，四边形为菱形，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 如图，四边形内接于，连接、、，于点P，若，，则的半径长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线（a为常数，且）向左平移6个单位长度得到抛物线，当时，抛物线的最低点到x轴的距离为13，则a的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个小于的无理数：________．（写出一个即可） 10. 如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为________．（结果保留根号） 11. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是________． 12. 已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为________． 13. 如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 16. 先化简，然后再从1，，2，四个数中选择一个合适的数作为m的值代入求值． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在内求作一点H，连接、，使得是以为底边的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 19. 某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 20. 陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，被誉为“古都明珠，华夏宝库”．九年级（2）班班主任带领全班同学参观完陕西历史博物馆后，将该博物馆中的5个单元分别制作成了如图所示的5张卡片（卡片除正面内容不同外其他均相同），班主任将5张卡片背面朝上洗匀后，班长先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，学习委员再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己所抽取的卡片为准，写一篇对应单元的观后感． （1）班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的概率为________； （2）请用列表法或画树状图法求班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的概率． 21. 莲花池公园内“春有垂柳映波，夏有莲花香溢，秋有鸟栖满枝，冬有腊梅吐蕊”，承载记录了汉中市四十年来的发展变迁．数学活动小组测量莲花池公园内某段湖水宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量莲花池公园（如图1）内某段湖水的宽度 测量过程及示意图 如图2，甲同学在湖边空地上水平放置一根竹竿，发现地面上的点E、竹竿端点D、湖水的一端A恰好在一条直线上，地面上的点E、竹竿端点C、湖水的一端B恰好也在一条直线上，沿着继续向前走到点F处，测出的度数 测量数据 米，米，米， 测量说明 B、C、E、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，计算这段湖水的宽度． 22. 最美人间四月天，恰逢春日正盛时．依依和洋洋两人登山以观春日美景，两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）当时，求洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式； （2）当时，x的值为多少时，洋洋距离地面的高度比依依高10米？ 23. 2025年3月28日缅甸级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道； （2）求所抽取学生答对题目数量的平均数； （3）若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？ 24. 如图，内接于，为的直径，点D在上方的上，连接，过点D作的切线交的延长线于点E，． （1）求证：； （2）若，的半径为4，求的长． 25. 2025年3月21日，谷神星一号运载火箭在酒泉卫星发射中心的成功发射标志着我国在商业航天事业方面的持续进步和突破．王飞同学酷爱航天与科技，他某次在对一架无人机进行试飞时，发现无人机飞行的路线近似呈抛物线形，如图，点A为始发点，点B为落地点，点P为抛物线的最高点．根据数据显示，始发点A到地面的竖直高度为2米，最高点P到始发点A的水平距离为4米，以所在水平直线为x轴，所在竖直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a、c为常数，且）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求抛物线的最高点P到地面的高度； （3）求无人机落地点B到始发点A的水平距离． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D为边上的动点，连接，若的面积为3，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，为矩形的对角线，于点H，点E为线段上的动点（不与端点重合），连接，以为边向内部作，点F为直角顶点，且，连接，试判断在点E运动的过程中，与是否始终相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素质，计划修建一个多领域社团活动基地，其平面规划示意图如图3所示，在四边形中，米，米，足够长，，，在的中点M处有一个出入口，学校计划在上取点N，在四边形内部取点P，将区域规划为绘画中心，、（在的右侧）为两面作品展示墙（厚度不计），为一条长廊，根据规划要求，，，当长廊的长度最小时，求作品展示墙（）的总长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试联考卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的立方根为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义，即可求解． 【详解】 的立方根为． 故选：D． 2. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，得出，再根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴。 ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若，则括号里应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是单项式的乘除法，根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， ∴括号里应填的单项式是， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求直线与坐标轴围成的三角形的面积，先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出关于轴对称的交点坐标，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴直线与轴的交点关于y轴对称的坐标为，直线过点， ∴直线、直线与x轴围成的三角形面积为， 故选：C． 6. 如图，四边形为平行四边形，对角线与相交于点O，E、F、G、H分别为边的中点，连接，四边形为菱形，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、菱形性质以及平行四边形性质的综合运用，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理和菱形的性质． 利用三角形中位线定理，得出，，依据菱形四条边相等，由推出，根据平行四边形对角线互相平分，由得到 ，进而得出答案． 【详解】∵、、、分别为边、、、的中点， ∴在中，是中位线，在中，是中位线， ∴；， ∴． 同理，在和中，可得 ． ∵四边形为菱形，菱形的四条边相等， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∴． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，连接、、，于点P，若，，则的半径长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、圆周角、等腰三角形性质以及解直角三角形等知识，正确确定的角度以及的长度是解题关键．首先根据圆内接四边形的性质确定的值，进而可得的度数，再根据等腰三角形“三线合一”的性质确定的角度，的长度，然后利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 即的半径长为4． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线（a为常数，且）向左平移6个单位长度得到抛物线，当时，抛物线的最低点到x轴的距离为13，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移等知识，确定平移后的抛物线的对称轴是解题关键．首先确定抛物线的开口向下，对称轴为，则平移后的抛物线的对称轴为，易得当时，抛物线上的点为最低点，此时，进而可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵抛物线（a为常数，且）， ∴其开口向下，对称轴为， 根据题意，将抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线， 则， ∴抛物线的对称轴为， ∵，，且， ∴若，当时，抛物线上的点为最低点， 此时， ∴可有，解得或（舍去）， ∴a的值为． 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个小于的无理数：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数概念以及数的大小比较知识，解题关键是熟练掌握无理数定义及负数比较大小法则． 首先，依据无理数定义，选取确定常见无理数形式中．利用负数比较大小规则通过比较所选无理数与绝对值的大小，判断其是否是符合要求的无理数． 【详解】∵ ∴， ∴，即． 故答案为：（答案不唯一） 10. 如图，正六边形与正方形的边长均为4，则正六边形与正方形的面积之差为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形可分成6个边长相等的等边三角形，再结合等边三角形的面积，正方形的面积计算即可． 本题考查了正六边形和正方形的面积计算，正确应用正六边形的面积是解题的关键． 【详解】∵正六边形可分成6个边长相等的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴正六边形与正方形的面积之差为：． 故答案为：． 11. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字． 观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置． 【详解】观察杨辉三角形的规律是： 每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1 每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和． 第n行有n个数， ∴第7行有7个数． ∵第5行是1 4 6 4 1， 根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1． ∴第6行是1 5 10 10 5 1． 第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即． ∴第7行：1 6 15 20 15 6 1 ∵第7行共7个数，最中间是第4个数， ∴第7行最中间数字是20． 7个数的中间位置是第4个． ∴第7行最中间的数字是20． 故答案为：20． 12. 已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点A、B的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得m、k的值，再求出n的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：将点、代入得，，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 如图，在菱形中，，，连接，E、M分别在边、上，交于点F，交于点N，若点B关于的对称点与点D关于的对称点重合于点O处，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接、、、，记与的交点为P，与的交点为H，如图，易得与均为等边三角形，和分别为和的高，，设，，则，，即，则，进而可得． 【详解】解：连接、、、，记与的交点为P，与的交点为H，连接交于，如图， 在菱形中，，则，， 则，，， ∵， ∴，则为等边三角形， ∵点，点关于的对称，， ∴为等边三角形，同理均为等边三角形，， ∴， 设，， 则，同理， 即，则， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及实数的混合运算，根据相关运算法则计算出各项结果，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： =10 15. 解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集． 【答案】， 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．对不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，并在数轴上表示该不等式的解集即可． 【详解】解：去分母、去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图所示： 16. 先化简，然后再从1，，2，四个数中选择一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，当时，值为；当时，值为 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式． 根据题意，得，，， ∴m的值可以是2或． 当时，原式； 当时，原式． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在内求作一点H，连接、，使得是以为底边的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点H即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，等腰直角三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．根据尺规作图——作垂线的方法，过点作，交于点，以点为圆心，在上截取，即可． 【详解】略 18. 如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】略 19. 某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 20. 陕西历史博物馆是中国第一座大型现代化国家级博物馆，被誉为“古都明珠，华夏宝库”．九年级（2）班班主任带领全班同学参观完陕西历史博物馆后，将该博物馆中的5个单元分别制作成了如图所示的5张卡片（卡片除正面内容不同外其他均相同），班主任将5张卡片背面朝上洗匀后，班长先从这5张卡片中随机抽取一张，不放回，学习委员再从剩下的4张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己所抽取的卡片为准，写一篇对应单元的观后感． （1）班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的概率为________； （2）请用列表法或画树状图法求班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的结果有1种， ∴班长抽取的卡片为“A．《盛唐气象》”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”的结果有12种， ∴P（班长和学习委员都没有抽到“D．《东方帝国》”） 21. 莲花池公园内“春有垂柳映波，夏有莲花香溢，秋有鸟栖满枝，冬有腊梅吐蕊”，承载记录了汉中市四十年来的发展变迁．数学活动小组测量莲花池公园内某段湖水宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量莲花池公园（如图1）内某段湖水的宽度 测量过程及示意图 如图2，甲同学在湖边空地上水平放置一根竹竿，发现地面上的点E、竹竿端点D、湖水的一端A恰好在一条直线上，地面上的点E、竹竿端点C、湖水的一端B恰好也在一条直线上，沿着继续向前走到点F处，测出的度数 测量数据 米，米，米， 测量说明 B、C、E、F在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，计算这段湖水的宽度． 【答案】这段湖水的宽度为100米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 在Rt中，解直角三角形得，则，再证得，得，即，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在Rt中，，即， ∵米， ∵． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴这段湖水的宽度为100米． 22. 最美人间四月天，恰逢春日正盛时．依依和洋洋两人登山以观春日美景，两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）当时，求洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式； （2）当时，x的值为多少时，洋洋距离地面的高度比依依高10米？ 【答案】（1） （2）x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用． （1）设与x之间的函数关系式为，利用待定系数法来求解即可； （2）设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，再令，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入得， ， 解得， ∴当时，洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为， 根据题意得， 解得， ∴与x之间的函数关系式为， 令，得， 解得， ∴x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米． 23. 2025年3月28日缅甸级强震发生后，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，中国云南救援队成为了首支抵达缅甸的外国救援队伍．为了增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，测试卷共有10道题，测试后随机抽取该校20名学生，将他们答对题目的数量进行统计，并将统计结果整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取学生答对题目数量的众数为________道，中位数为________道； （2）求所抽取学生答对题目数量的平均数； （3）若该校共有800名学生，请你估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有多少名？ 【答案】（1）10，8 （2）所抽取学生答对题目数量的平均数为8道 （3）估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名 【解析】 【分析】本题考查了求众数、中位数、平均数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）根据平均数的定义即可求解； （3）先计算答对10题学生的占比，再乘以800即可得出答案． 【小问1详解】 解：由统计图可得，所抽取学生答对题目数量的众数为10道，中位数为8道． 故答案为：10；8． 【小问2详解】 解：（道）， ∴所抽取学生答对题目数量的平均数为8道． 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计该校将这10道测试题目全部答对的学生有240名． 24. 如图，内接于，为的直径，点D在上方的上，连接，过点D作的切线交的延长线于点E，． （1）求证：； （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 则 ∵， ∴． ∵为的直径， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∴， 即 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义，相似三角形的判定以及性质． （1）由圆周角定理得出，即可得出，由直径所对的圆周角等于90度和切线的定义得出，，根据直角三角形两锐角互余可得出，进而可得出． （2）证明，由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的半径为4， ∴，， 由（1）可知，，， ∴ ∴， 即， 解得∶ 25. 2025年3月21日，谷神星一号运载火箭在酒泉卫星发射中心的成功发射标志着我国在商业航天事业方面的持续进步和突破．王飞同学酷爱航天与科技，他某次在对一架无人机进行试飞时，发现无人机飞行的路线近似呈抛物线形，如图，点A为始发点，点B为落地点，点P为抛物线的最高点．根据数据显示，始发点A到地面的竖直高度为2米，最高点P到始发点A的水平距离为4米，以所在水平直线为x轴，所在竖直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a、c为常数，且）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求抛物线的最高点P到地面的高度； （3）求无人机落地点B到始发点A的水平距离． 【答案】（1） （2）抛物线的最高点P到地面的高度为10米 （3）无人机落地点B到始发点A的水平距离为米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解题关键． （1）首先确定点坐标，进而确定，再根据抛物线的对称轴计算的值，即可获得答案； （2）令，求得的值，即可获得答案； （3）令，求得的值，根据题意即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵米， ∴， 将点代入，可得， ∵最高点P到始发点A的水平距离为4米， ∴抛物线的对称轴为，即， ∴， ∴抛物线的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴抛物线的最高点P到地面的高度为10米； 【小问3详解】 令，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴无人机落地点B到始发点A的水平距离为米． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D为边上的动点，连接，若的面积为3，则的最小值为________； 【问题探究】 （2）如图2，为矩形的对角线，于点H，点E为线段上的动点（不与端点重合），连接，以为边向内部作，点F为直角顶点，且，连接，试判断在点E运动的过程中，与是否始终相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素质，计划修建一个多领域社团活动基地，其平面规划示意图如图3所示，在四边形中，米，米，足够长，，，在的中点M处有一个出入口，学校计划在上取点N，在四边形内部取点P，将区域规划为绘画中心，、（在的右侧）为两面作品展示墙（厚度不计），为一条长廊，根据规划要求，，，当长廊的长度最小时，求作品展示墙（）的总长度． 【答案】（1）2； （2）在点E运动的过程中，与始终相等， 理由：∵于点H， ∴， ∵点F为的直角顶点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 即在点E运动的过程中，与始终相等． （3）当长廊的长度最小时，作品展示墙的总长度为米 【解析】 【分析】（1）当时，的值最小，根据三角形面积即可解答 （2）先证，得到，再证明，得到即可解答 （3）将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连接并延长交于点F，连接交于点H，证明，得到随着点N的运动，点P始终在四边形内部所在直线上，过点C作于点，交于点，连接，则当点P位于点的位置时，取得最小值，证明四边形是矩形，得到，点为的中点，即，即可解答． 【详解】解：（1）当时，的值最小， ∴， 解得：． （2）略 （3）将线段绕点M顺时针旋转得到线段， 连接并延长交于点F，连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着点N的运动，点P始终在四边形内部所在直线上， 过点C作于点，交于点，连接，如图， 则当点P位于点的位置时，取得最小值， ∵点M为的中点，米，米， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴点为的中点，即， ∴． ∴当长廊的长度最小时，作品展示墙（）的总长度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判断及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判断及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $