精品解析：2025年陕西省延安市富县九年级下学期学业水平考试模拟数学试卷

富县2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 菱形的边长为2，，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象是一个正比例函数图象，则一次函数的图象与轴的交点坐标为( ) A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：__________． 10. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，的度数为________． 11. 围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图所示的棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋和白棋的总个数为9，第②个图形中黑棋和白棋的总个数为14，第③个图形中黑棋和白棋的总个数为19，…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋和白棋的总个数为__________． 12. 如图，平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为_______． 13. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，是的中点，是的中点，，，延长交于点．求证：． 19. 为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 20. 在一个不透明的箱子里装有个红球和个白球，这些小球除颜色外完全相同．将箱子里的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． （1）随机摸球次，其中摸出次白球，则这次摸球中，摸出白球的频率是__________； （2）随机摸球次，用列表或画树状图的方法，求这两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 21. 永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 22. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人选择自行车作为出行、出游的交通工具．明明爸爸爱好骑行，五一节假期第一天早晨8：00从家出发骑行，12：00结束．骑行了后，由于路况变化，明明爸爸调整了骑行速度．明明爸爸骑行的路程（）与骑行的时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数表达式； （2）明明爸爸出发时约了一位骑友同行，他们一起骑行了后分开，他们共同骑行了多长时间？ 23. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答有关人员开展了对，两款聊天机器人的使用满意度的评分调查满分分，并从中各随机抽取份评分数据，进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意；比较满意；满意；非常满意，下面给出了部分信息． 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，． 抽取的对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：          ，          ，           （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱请说明理由写出一条理由即可 （3）在此次调查中，有人对款聊天机器人进行评分，人对款聊天机器人进行评分请通过计算，估计此次调查中对这两款聊天机器人不满意的共有多少人 24. 如图，是的弦，直径于点，为上的一点，连接，交线段于点，为的延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 26. 【问题提出】 (1)如图①，为的一条弦，连接，若，为上一点，且满足，求劣弧的长； 【问题解决】 (2)在2025年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以为腰向正方形内部作等腰为妈妈留作花房，且，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点作于点，点是的内心，连接，将分为肥料区，种植区，剩余部分方便活动．若米，连接，在处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管尽可能短，求水管的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富县2025年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合，寻找对称轴是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断各选项即可． 【详解】解：A中图形找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故选：C． 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意分别解出两个一元一次不等式，继而得到解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：A． 5. 菱形的边长为2，，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．如图，过作于，则，，，在中，由勾股定理求的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移1个单位长度，所得图象是一个正比例函数图象，则一次函数的图象与轴的交点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移、正比例函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数平移的规律是解题的关键．根据题意得到平移后的一次函数为，代入求出的值，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移1个单位长度，得到， 平移后的函数图像经过原点， 代入得，， 解得：， 一次函数解析式为， 令，则， 一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故选：D． 7. 如图，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键． 根据直径所对的圆周角为 90 度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是圆的直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由，可得，即知，故得，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线的定义，熟练掌握根据“三角形内角和为”计算角度是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 围棋源自中国，围棋中棋子与棋盘体现出古代“天圆地方”的东方哲学．如图所示的棋局都是由同样大小的黑棋、白棋按一定规律组成的，其中第①个图形中黑棋和白棋的总个数为9，第②个图形中黑棋和白棋的总个数为14，第③个图形中黑棋和白棋的总个数为19，…，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋和白棋的总个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，准确找出图形的变化与数字的关系是解题的关键．观察图形的变化规律，得出第个图形中黑棋和白棋的总个数为，进而利用规律求解即可． 【详解】解：其中第①个图形中黑棋、白棋一共有（个）， 第②个图形中黑棋、白棋一共有（个）， 第③个图形中黑棋、白棋一共有（个）， …，按此规律排列，则第⑧个图形中黑棋、白棋的总个数为（个）， 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解及旋转的性质，关键是确定点C的坐标．根据题意可得由旋转可得的长，以及轴，轴，则可得到点的坐标，再由等于点的横纵坐标的积求解即可． 【详解】解：，点的坐标为， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ∴轴， ∴轴， 点的坐标为， 点恰好落在双曲线上， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，连接，点G在线段上，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及解直角三角形的计算，利用三角形的面积的关系式求得线段的长度是解题的关键．连接，，过点作于点，利用正方形的性质和勾股定理求得线段，的长度，利用列出等式求得，再利用三角函数求得的长． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图， 四边形为矩形，、分别是、的中点， ，，． ，， ， ， ． ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘法后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ， 检验：当时，． ∴原分式方程的解为． 17. 如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．分别作，的垂直平分线，交于、，结合垂直平分线的性质根据“三个角相等的三角形是等边三角形”即可求解． 【详解】解：作，的垂直平分线，交于、， ∵，， ∴， ∵、分别在，的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴，同理：， ∴为等边三角形． 18. 如图，在中，是的中点，是的中点，，，延长交于点．求证：． 【答案】 证明：∵在中，是的中点，是的中点， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质与判定，先证明是的中位线，得出，结合已知证明，根据全等三角形的性质与判定，即可得证． 【详解】略 19. 为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 【答案】油桃的种植面积为公顷，香梨的种植面积为公顷 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷． 根据题意，得． 解得． ； 答：油桃的种植面积为公顷，香梨的种植面积为公顷． 20. 在一个不透明的箱子里装有个红球和个白球，这些小球除颜色外完全相同．将箱子里的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球次． （1）随机摸球次，其中摸出次白球，则这次摸球中，摸出白球的频率是__________； （2）随机摸球次，用列表或画树状图的方法，求这两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、求频率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）列表或者画树状图可得出所有等可能的结果以及这两次摸出的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：随机摸球次，其中摸出次白球，则这次摸球中，摸出白球的频率是 故答案为：； 【小问2详解】 解法一：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中这两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有种， 这两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 解法二：根据题意，列表如下： 第一次 第二次 红 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 由列表可知，共有种等可能的结果，其中这两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有种， 这两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 21. 永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解相似三角形的应用．证明，得出，即，同理可得，得出，即，进而即可求得 【详解】解：由题可知，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 同理，得． ∴，即． 解得米，米． 答：永宁门吊桥门楼的高度为米． 22. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人选择自行车作为出行、出游的交通工具．明明爸爸爱好骑行，五一节假期第一天早晨8：00从家出发骑行，12：00结束．骑行了后，由于路况变化，明明爸爸调整了骑行速度．明明爸爸骑行的路程（）与骑行的时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数表达式； （2）明明爸爸出发时约了一位骑友同行，他们一起骑行了后分开，他们共同骑行了多长时间？ 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键； （1）设当时，与之间的函数表达式为（为常数，且），根据图象将坐标和代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入（1）的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设当时，与之间的函数表达式为（为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得 解得 与之间的函数表达式为 【小问2详解】 当时，． 解得． 答：他们共同骑行了． 23. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答有关人员开展了对，两款聊天机器人的使用满意度的评分调查满分分，并从中各随机抽取份评分数据，进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意；比较满意；满意；非常满意，下面给出了部分信息． 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，． 抽取的对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：          ，          ，           （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱请说明理由写出一条理由即可 （3）在此次调查中，有人对款聊天机器人进行评分，人对款聊天机器人进行评分请通过计算，估计此次调查中对这两款聊天机器人不满意的共有多少人 【答案】（1），， （2） 解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：款“满意”所占百分比为， “不满意”所占百分比为， ； ∵不满意人数为，比较满意人数为 “满意”的数据：； 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是、， ， 在款的评分数据中，出现的次数最多， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：款中“不满意”的有人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 24. 如图，是的弦，直径于点，为上的一点，连接，交线段于点，为的延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 于点， ， ，，， ． ，即． 又是的半径， 是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，，且，得，则，即可证明是的切线； （2）作于点，则，所以，则，即，进而在，，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点． ． ． ． 的半径为， ． ． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 (1)如图①，为的一条弦，连接，若，为上一点，且满足，求劣弧的长； 【问题解决】 (2)在2025年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以为腰向正方形内部作等腰为妈妈留作花房，且，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点作于点，点是的内心，连接，将分为肥料区，种植区，剩余部分方便活动．若米，连接，在处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管尽可能短，求水管的最小值． 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，根据已知得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得半径，再根据弧长公式，即可求解． （2）根据三角形内心的性质得出，进而证明，得出，作的外接圆，连接，，，设的半径为，的最小值即为．过点作交的延长线于点，然后求得的长，即可求解． 【详解】解：如图①，过作，垂足为． ，， ． ，， ． 劣弧的长为 （2）， ． ． 点是的内心， ，分别平分，． ． ． ，，， ． ， 如图②，作的外接圆，连接，，，设的半径为， 则的最小值即为．过点作交的延长线于点． ， 优弧所对的圆心角为． ． ， ． ， ． 四边形是正方形， ，． 又， ． ． ， ． ． ． ． 水管的最小值为米． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内心的性质，圆周角定理的应用，勾股定理，熟练掌握定弦定角模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $