精品解析：海南省三亚市2025年初中学业水平模拟测试(二）数学学科试卷

三亚市2025年初中学业水平模拟测试（二） 数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分120分） 特别提醒： 1．选择题用2B铅笔填涂，其余答案一律用黑色笔填写在答题卡上，写在试题上无效． 2．答题前请认真阅读试题有关说明． 3．请合理分配答题时间． 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 中国是世界上最早使用负数的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果支出500元记作元，那么元表示（　　） A. 收入80元 B. 支出80元 C. 收入580元 D. 支出580元 2. 当时，代数式的值是（ ）． A. －1 B. 1 C. 3 D. 5 3. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，数据1581000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. x2x3＝x6 B. （m+3）2＝m2+9 C. a10÷a5＝a5 D. （xy2）3＝xy6 6. 若分式的值等于0，则 的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 点和点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将 绕点 按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 9. 将一个含有的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中， ，点D，E分别为 ， 的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交于点M，连接．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 11. 如图， 是的外接圆，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形 为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与 的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 因式分解 的结果是______． 14. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 15. 如图，在中，， ，，点 为 边上一个动点，以 为边在 的上方作正方形，过点 作 于点，则_____，当 取得最小值时， 的长为_____． 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF．求证：AE∥DF． 18. 今年5月10日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息，求每束鲜花和一个礼盒的价格. 19. 4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（ ：政史类，：文学类， ：科技类， ：艺术类， ：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； （2）在扇形统计图中， “科技类”所对应的圆心角度数是_____度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从 三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 20. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 21. 如图，抛物线经过点、，与轴交于点 ，点 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求 的取值范围． 22. 问题背景：如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是 ，的中点，连接 ， ，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形 中，， ，点 是 的中点，点 在边上，， 与 交于点，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ，， ，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三亚市2025年初中学业水平模拟测试（二） 数学学科试卷 （考试时间100分钟，满分120分） 特别提醒： 1．选择题用2B铅笔填涂，其余答案一律用黑色笔填写在答题卡上，写在试题上无效． 2．答题前请认真阅读试题有关说明． 3．请合理分配答题时间． 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 中国是世界上最早使用负数的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果支出500元记作元，那么元表示（　　） A. 收入80元 B. 支出80元 C. 收入580元 D. 支出580元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数的意义可求解． 【详解】解：如果支出500元记作元，那么元表示收入580元． 故选：C． 2. 当时，代数式的值是（ ）． A. －1 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将代入代数式中求值即可． 【详解】解:将代入,得 原式= 故选B． 【点睛】此题考查的是求代数式的值,解决此题的关键是将字母的值代入求值即可． 3. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，数据1581000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中 ，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据1581000000用科学记数法表示为． 故选：A 4. 如图是由4个完全一样的小正方体组成的几何体，这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三视图中的主视图，在正面得到的由前向后观察的视图叫做主视图．掌握这一方法是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（　　） A. x2x3＝x6 B. （m+3）2＝m2+9 C. a10÷a5＝a5 D. （xy2）3＝xy6 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可得到答案. 【详解】x2•x3＝x5，故选项A不合题意； （m+3）2＝m2+6m+9，故选项B不合题意； a10÷a5＝a5，故选项C符合题意； （xy2）3＝x3y6，故选项D不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方的运算. 6. 若分式的值等于0，则 的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分子为零，分母不为零计算判断即可． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，根据条件列出符合题意的等式和不等式计算是解题的关键． 7. 点和点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象经过第一、二、四象限，随 的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：直线中，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，随 的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A ． 8. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将 绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可． 【详解】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键． 9. 将一个含有的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，过直角顶点作直线，得到，推出，求解即可． 【详解】解：如图，过直角顶点作直线， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； 故选C． 10. 如图，在 中， ，点D，E分别为， 的中点，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接交 于点M，连接．若，则 的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，根据作图判断，根据直角三角形斜边中线的性质求出 ，根据三角形中位线定理求出 即可． 【详解】由作图可知垂直平分 ． ． ∵ ， ． ∵点D，E分别为， 的中点， 为 的中位线． ． 11. 如图，是 的外接圆，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 并延长到点D，根据圆周角定理，三角形外角性质，得到，代入计算即可． 【详解】如图，连接 并延长到点D， ∴， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键． 12. 如图，矩形 为一个正在倒水的水杯的截面图，cm，杯中水面与 的交点为E，当水杯底面 与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ）cm A. 9 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点F，如图，则的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点B作于点F，如图，则， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴cm，即杯中水的最大深度为cm； 故选：D. 【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键. 二、填空题（本大题满分9分，每小题3分） 13. 因式分解 的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，， 即当车速为时，视野角度为40度． 故答案为：40 15. 如图，在中，， ，，点 为 边上一个动点，以 为边在 的上方作正方形，过点 作 于点，则_____，当 取得最小值时， 的长为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由四边形 是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得 取得最小值时，，即可得到答案． 【详解】解： 四边形 是正方形， ，， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则 也最小， 此时， 故答案为：2；． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数表图象与性质，用含 的代数式表示是解决问题的关键. 三、解答题（本大题满分75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂化简解答即可； （2）根据一元一次不等式组的解法解答即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 解不等式 ，得， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为：． 17. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF．求证：AE∥DF． 【答案】 证明：∵AB∥CD  ∴ ∠B＝∠C    ∵ CE＝BF　　 ∴ CE＋EF＝BF＋EF 即CF＝BE 在△ ABE和△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(SAS)　 ∴ ∠AEB＝∠DFC        ∴ AE∥DF 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠B，再根据等式的性质可得CF=BE，然后利用SAS判定△AEB≌△DFC，根据全等三角形对应边相等可得∠AEB=∠DFC即可解决问题． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 18. 今年5月10日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息，求每束鲜花和一个礼盒的价格. 【答案】每束鲜花价格33元，每一个礼盒价格55元. 【解析】 【分析】首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元. 【详解】解：设每束鲜花价格x元，每一个礼盒价格y元，由题意可得， 解得， 答：每束鲜花价格33元，每一个礼盒价格55元. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握是解题的关键. 19. 4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园－我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（ ：政史类，：文学类， ：科技类， ：艺术类， ：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为_____人，其中喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为_____人； （2）在扇形统计图中， “科技类”所对应的圆心角度数是_____度； （3）若该校有4000名学生，请你估计最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为_____人； （4）学校数学兴趣小组中，甲同学从 三类书籍中随机选择一种，乙同学从三类书籍中随机选择一种，则甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为_____． 【答案】（1）100，25 （2）144 （3）800 （4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）根据A的人数及所占比值求出总人数，总人数减去A、B、C、E的人数，可求D人数即可； （2）360度乘以C所占总人数的比值，即可求出 C“科技类”所对应的圆心角度数； （3）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： 人， 即学校此次被调查的学生总人数为100人， 人， 即喜欢D“艺术类”书籍的学生人数为25人； 故答案为：100；25 【小问2详解】 解：， 即 “科技类”所对应的圆心角度数是144度； 故答案为：144 【小问3详解】 解：人， 即最喜欢阅读“文学类”书籍的学生人数为800人； 故答案为：800 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 故答案为： 20. 阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3，243；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：等比数列的公比为3，第5项是； 故答案为：3，243； （2）根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为： （3）设①， 则②， 得， ． ∴． 21. 如图，抛物线经过点、，与轴交于点 ，点 是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，，连接 ，再根据计算即可得解； （3）当 时，记函数的函数值为，由题意可得抛物线开口向上，且对称轴，再分三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入解析式，得， 解得， 函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：函数表达式配方得， 顶点 当时，， 连接 ， ； 【小问3详解】 解：当 时，记函数的函数值为， ，抛物线开口向上，且对称轴， ①当时，，， ，即，解得， ； ②当时，，， ，符合题意； ③当时，，， ， 解得，，（舍）． 综上所述，n的取值范围为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 22. 问题背景：如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是， 的中点，连接 ， ，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形 中，， ，点 是的中点，点 在边 上，， 与 交于点，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ，， ，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∵ ， 分别是， 的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取 的中点，连接， ∵ 是的中点，是 的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵ ，是 的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点 ， 分别是， 的中点，可得，即可得证； 问题探究：取 的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点 作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明 垂直平分，进而得出 ，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点 作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵ ，由（2） ∴ ， 又∵ 是的中点， ∴ 垂直平分 ∴ ，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $