精品解析：2025年安徽安庆安师联盟九年级数学中考摸底考试试卷

安师联盟九年级中考摸底卷·数学 注意事项：1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 2024年安徽省经济运行持续回升向好，全省生产总值突破5万亿元台阶，约为万亿元．数据万亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数；据此求解即可． 【详解】解：万亿， 故选：C． 3. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体．由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图再与题目图形进行比较即可． 【详解】解：A选项的俯视图是一个长方形，故本选项不符合题意； B选项的俯视图是一个长方形中间有一个长方形，故本选项不符合题意； C选项的俯视图是一个长方形右面有个小的长方形，故本选项符合题意； D选项的俯视图是一个长方形后面有个小的长方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数图象与系数的关系．先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确． 故选：C． 7. 如图，在中，，平分，过点D作交于点E．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合平行线的性质推出，设，则，利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 8. 在中，点D是边上的中点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法不正确的是（ ） A. ，则四边形是菱形 B. ，则四边形是菱形 C. ，则四边形是矩形 D. ，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，，证明四边形是平行四边形，再证明，，根据中位线性质得出，，根据菱形的判定，垂直平分线的性质，即可判定A、B正确；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，证明，即可判定C正确，根据，无法证明四边形是矩形，即可判定D错误． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴、为的中位线， ∴，； A．若，则， ∴， ∴四边形是菱形；选项A正确，不符合题意； B．若，则垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；选项B正确，不符合题意； C．若，则， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形；选项C正确，不符合题意； D．无法证明四边形是矩形，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行线分线段成比例，中位线的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 9. 已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，代数变形，关键将等式进行变形为．先将变形为，并将其代入，得出，最终得出和的结论． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， 将代入得， ， ，， 故选：A． 10. 在中，是的角平分线，点分别为边，上的点（不与端点重合），且满足，设的面积为，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，涉及三角形全等的判定与性质，二次函数的图象，角平分线，等边三角形的判定及性质，解题的关键是求出与的函数关系式；取的中点，连接，作，垂足为点，则，证明是等边三角形，进一步证明，利用面积公式建立与的函数关系式即可判断． 【详解】解：如图，取的中点，连接，作，垂足为点，则． ，平分， ，． 点是的中点， ， 是等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ． 在中，， ， A选项正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 小智参加学校科技节的“未来发明挑战赛”，展台上有四张科技项目的评分卡，分别是：智能垃圾分类机（分）、太阳能飞行背包（分）、虚拟现实晕眩问题（分）、3D打印材料不足（分）．规则是随机抽一张卡记下分数后不放回，再抽一张，如果两次分数相乘是正数就能赢得奖品．则小智获奖的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，根据题意列出表格，找到所有等可能情况数和符合题意的情况数，利用概率公式即可得到答案． 【详解】解：列表如下 共有12种等可能的结果，其中两次分数相乘是正数共有4种， ∴小智获奖的概率是， 故答案为： 14. 如图，在正方形中，点是边上一点，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，请完成下列探究： （1）的大小为______； （2）当时，的值为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，进而证明，推出，结合正方形的性质即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，进而得到，证明，得到．过点作，垂足为点，求出，再根据平分，得到，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， ，，． 在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 在中，． 在中，， ． ， ，即． 过点作，垂足为点． 在中，， ，即． 平分， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法并根据方程的特点灵活选择是关键．利用公式法进行解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．的三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）请仅用无刻度的直尺画出边上的中线，保留作图痕迹； （3）若内存在一个格点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图所示，即为所作． （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的性质，矩形的性质，勾股定理及格点的特点是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据矩形的性质作图即可； （3）根据格点与勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， 【小问2详解】 解：如图所示，取矩形，连接对角线交于点，连接， ∵矩形的对角线相互平分，即点是中点 ∴即为所作． 【小问3详解】 解：根据格点特点，作交轴于点， ∴点的坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司计划组建直播带货团队，需协调直播与短视频制作两类项目．已知，每场直播需配备1名主播和3名运营人员，单场成本为1.2万元；每场短视频制作需配备2名剪辑人员和1名运营人员，单场成本为0.8万元．若总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，问应安排直播和短视频制作各多少场？ 【答案】安排直播2场，安排短视频制作4场 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设安排直播场，安排短视频制作场，根据：总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，即可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设安排直播场，安排短视频制作场． 由题意可得，， 解得； 答：安排直播2场，安排短视频制作4场． 18. 【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）； （2）； （3）原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某智能机器狗从起点出发执行峡谷设备定位任务，它沿倾斜角为的岩壁攀爬到达崖顶点，从点继续向正东方向水平移动至观测点，在点测得峡谷对岸谷底设备点的俯角为．已知峡谷垂直深度（为点正下方的谷底点，点为固定在谷底的微型传感器，与点同水平面）．请计算起点到设备点的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】起点到设备点的水平距离约为20.3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．如图，过点作于点，过点作于点，在中，，在中，．最后计算得到最终的答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则，由题意可得， ，， 在中，（） 在中，（）， 起点到设备点的水平距离（） 答：起点到设备点的水平距离约为20.3 20. 如图，内接于，是的直径，是的切线，是上的一点，，垂足为点，与相交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． （1）利用切线性质和圆的半径相等所带来的等腰三角形性质，通过角度等量代换证明角平分线．进行解答即可； （2）通过证明，利用相似三角形对应边成比例来计算的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ． ， ， ， 又， ， ， 即． ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某农业基地为比较、两品种小麦的株高表现，分别从、种植区域随机各抽取株成熟小麦，测量其株高（单位：），并对数据进行整理分析．以下是部分信息： ．品种小麦株高频数分布表（不完整） 分组/ 频数 频率 合计 ．品种小麦株高在这组的数据 ．统计量对比表 品种 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题． （1）品种株高频数分布表中的值为 ，的值为 ； （2）求出统计量对比表中的值； （3）根据考察的结果，将小麦按株高从高到矮进行排序后，株高为的小麦在 （填或）种小麦中排名更靠前，株高更稳定的是 （填“”或“”）种小麦； （4）若此农业基地共有万株品种小麦，且规定：株高的小麦定义为“优品”，试估算该基地中品种小麦优品的数量． 【答案】（1），； （2）； （3），； （4）估计品种小麦“优品”的数量约为万株． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，直方图，平均数、中位数、众数、方差等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由“频数总数频率”即可求解； （）根据中位数定义即可求解； （）根据方差和中位数定义即可求解； （）通过样本估算总体即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由品种株高频数直方图和中位数定义可知， 中位数为这组数的第个与第个的平均数， 故中位数为：（）； 【小问3详解】 解：根据考察的结果，将小麦按株高从高到矮进行排序后，株高为的小麦在种小麦中排名更靠前， ∵的方差小于的方差， ∴株高更稳定的是种小麦； 故答案为：，； 【小问4详解】 解：品种小麦在范围内频率为， 故品种小麦“优品”的数量约为（万株）， 答：估计品种小麦“优品”的数量约为万株． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点在上，点在上，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，交于点，连接． 如图，当时，求证：平分； 如图，当时，的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，取的中点， ∵和都是直角三角形， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； ② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据正方形性质可得，，证明，则，然后通过角度和差即可求证； （）取的中点，可得点在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理得，又，则，从而求证； 先证明，则，设，，则，故，求出，（舍去），所以，然后代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 解：∵，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设，，则， ， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最大值为5，求a的值； （3）设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 【答案】（1），抛物线的对称轴为直线 （2）或 （3）最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当自变量的值为0时的函数值即可得到点A的坐标，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴； （2）抛物线顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大，则当时，为最大值，当时，抛物线开口向下，则时，取最大值，据此分别建立方程求解即可； （3）求出线段的函数解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，用含a的式子表示出，并利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ∴． ∵抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为 抛物线顶点坐标为． ①当时，抛物线开口向上，则离对称轴越远，函数值越大， ， 当时，为最大值， 即，解得． ②当时，抛物线开口向下， 时，取最大值， ，解得． 综上所述，或． 【小问3详解】 解：由（2）可得：抛物线的顶点坐标为， 设线段的函数解析式为， 由题意可知，，解得． 线段的函数解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为，如图， 当时， ． ， ， 当时，有最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安师联盟九年级中考摸底卷·数学 注意事项：1．本卷满分150分，答题时间120分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2024年安徽省经济运行持续回升向好，全省生产总值突破5万亿元台阶，约为万亿元．数据万亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是某几何体的俯视图，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，在中，，平分，过点D作交于点E．若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 在中，点D是边上的中点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法不正确的是（ ） A. ，则四边形是菱形 B. ，则四边形是菱形 C. ，则四边形是矩形 D. ，则四边形是矩形 9. 已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. D. 10. 在中，是的角平分线，点分别为边，上的点（不与端点重合），且满足，设的面积为，则关于的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 13. 小智参加学校科技节的“未来发明挑战赛”，展台上有四张科技项目的评分卡，分别是：智能垃圾分类机（分）、太阳能飞行背包（分）、虚拟现实晕眩问题（分）、3D打印材料不足（分）．规则是随机抽一张卡记下分数后不放回，再抽一张，如果两次分数相乘是正数就能赢得奖品．则小智获奖的概率是______． 14. 如图，在正方形中，点是边上一点，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，请完成下列探究： （1）的大小为______； （2）当时，的值为______ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 用适当的方法解方程：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．的三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）请仅用无刻度的直尺画出边上的中线，保留作图痕迹； （3）若内存在一个格点，使得，请直接写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某公司计划组建直播带货团队，需协调直播与短视频制作两类项目．已知，每场直播需配备1名主播和3名运营人员，单场成本为1.2万元；每场短视频制作需配备2名剪辑人员和1名运营人员，单场成本为0.8万元．若总参与人员限制为20人，且总成本预算为5.6万元，问应安排直播和短视频制作各多少场？ 18. 【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某智能机器狗从起点出发执行峡谷设备定位任务，它沿倾斜角为的岩壁攀爬到达崖顶点，从点继续向正东方向水平移动至观测点，在点测得峡谷对岸谷底设备点的俯角为．已知峡谷垂直深度（为点正下方的谷底点，点为固定在谷底的微型传感器，与点同水平面）．请计算起点到设备点的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，内接于，是的直径，是的切线，是上的一点，，垂足为点，与相交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某农业基地为比较、两品种小麦的株高表现，分别从、种植区域随机各抽取株成熟小麦，测量其株高（单位：），并对数据进行整理分析．以下是部分信息： ．品种小麦株高频数分布表（不完整） 分组/ 频数 频率 合计 ．品种小麦株高在这组的数据 ．统计量对比表 品种 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题． （1）品种株高频数分布表中的值为 ，的值为 ； （2）求出统计量对比表中的值； （3）根据考察的结果，将小麦按株高从高到矮进行排序后，株高为的小麦在 （填或）种小麦中排名更靠前，株高更稳定的是 （填“”或“”）种小麦； （4）若此农业基地共有万株品种小麦，且规定：株高的小麦定义为“优品”，试估算该基地中品种小麦优品的数量． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点在上，点在上，且，连接，交于点． （1）求证：； （2）连接，交于点，连接． 如图，当时，求证：平分； 如图，当时，的值． 八、（本题满分14分） 23. 平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当时，y的最大值为5，求a的值； （3）设抛物线的顶点为B，点M是线段上的动点，过点M作轴，交抛物线于点N．若，试求出的最大值（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $