精品解析：2025江苏省徐州市沛县中考二模数学试题　

2024－2025学年度联校模拟测试 九年级数学试题 （全卷共140分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，、分别在、上，，是的外角，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC．若，则的度数为（ ）． A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 7. 将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 当x______时，分式有意义. 10. 写出一个比3小的无理数__________ 11. 2025年春节期间，徐州的旅游持续火热，共接待游客达826.82万人次，旅游收入68.76亿元，将8268200用科学记数法表示为______． 12. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为______． 13. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．这组数据的众数是______． 14. 关于方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 15. 扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积为______（结果保留）． 16. 如图，在正六边形中，的度数为____． 17. 已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为______． 18. 用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第个图形比第个图形多______枚棋子. … 第1个 第2个 第3个 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）： （2）． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 21. 某校制作了电动车安全充电教育视频课，为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：、、、、，绘制成如下不完整的统计图表． 请根据以上信息解答下列问题． （1）组数据的中位数是 ； ；组所在扇形的圆心角的大小是 ： （2）若该校有名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 22. 清明节这一天，小明、小亮计划去淮海战役烈士纪念塔扫墓，淮海战役烈士纪念塔园区有南、北、东三个入口，小明和小亮同学分别从三个入口中随机选择一个入口进入园区．假设这两名同学选择哪个入口不受任何因素影响，且每一个入口被选到的可能性相等． （1）小明从北入口进入园区概率为 ： （2）求小明和小亮两名同学恰好选择从同一个入口进入园区的概率． 23. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时． （1）求证：； （2）的度数为 ． 24. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 25. 已知为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，为弧上一点，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，若，，求的半径． 26. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 27. （1）如图①，已知点和直线，用两种不同的方法完成尺规作图：求作，使过点，且与直线相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法） 【问题解决】如图②，在中，，，． （2）已知经过点，且与直线相切．若圆心在的内部，则半径的取值范围为 ． （3）点是边上一点，点是边上一点，，请直接写出使得为直角时点个数及相应的的取值范围． 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度联校模拟测试 九年级数学试题 （全卷共140分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法．掌握有理数的减法法则是解题关键．根据有理数的减法法则运算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用幂的、积的乘方和同底数幂的除法以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意， 故选：D． 4. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】A、俯视图是三角形，故本选项符合题意； B、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意； C、俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意； D、俯视图是正方形，故本选项不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握定义，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 5. 如图，在中，、分别在、上，，是的外角，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，再利用三角形的外角的性质可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 6. 如图，AB是圆O的直径，C、D在圆上，连接AD、CD、AC、BC．若，则的度数为（ ）． A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而可以求出∠ABC=55°，再由同弧所对的圆周角相等即可得到∠ADC=∠ABC=55°． 【详解】解：∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90° ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°， ∴∠ADC=∠ABC=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理． 7. 将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：直接根据一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可： ∵将函数y=﹣3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2． 故选A． 考点：一次函数图象与平移变换． 8. 如图1，动点P从菱形点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 当x______时，分式有意义. 【答案】≠2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可求得x的值． 【详解】分式有意义，则≠0，即x≠2. 故答案为:≠2. 【点睛】本题考查了分式的概念，分式概念中一个隐含的条件是分母不为零，分式才有意义．掌握此隐含条件是解答问题的关键． 10. 写出一个比3小的无理数__________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握无理数的定义并熟记常见的无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，结合题目的限定条件，直接写出一个符合条件的无理数即可． 【详解】解：根据无理数的定义，结合题目的限定条件，如 是无理数，且． 故答案为（答案不唯一）． 11. 2025年春节期间，徐州的旅游持续火热，共接待游客达826.82万人次，旅游收入68.76亿元，将8268200用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为： 12. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式．分别计算整个图形的面积与阴影部分的面积，再计算阴影部分的面积在总面积中的占比，即可求解． 【详解】解：整个图形的面积为， 阴影部分的面积为， 故小球停在阴影区域的概率为． 故答案为：． 13. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．这组数据的众数是______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了众数的计算，掌握众数的概念是关键． 众数是指在一组数据中，出现此时最多的数，可以有一个或多个，也可以没有，由此即可求解． 【详解】解：锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80， 出现次数最多的是，即这组数据的众数是75 ． 故答案为：75 ． 14. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形面积公式，是解题的关键．根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵扇形的半径为3，弧长为， ∴扇形的面积为：． 故答案为：． 16. 如图，在正六边形中，的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形得到∠ABC=∠BCD=∠CDE=，AB=BC=CD，进而得到∠ACB=，∠ACD=，∠ADC=，即可求解． 【详解】解：在正六边形中，∠ABC=∠BCD=∠CDE=，AB=BC， ∴∠ACB=，∠ACD=，∠ADC=， ∴∠CAD=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正六边形的性质，灵活运用性质是解题关键． 17. 已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，代数式求值，由题意可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， 故答案：． 18. 用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第个图形比第个图形多______枚棋子. … 第1个 第2个 第3个 【答案】 【解析】 【分析】归纳总结找出第n个图形与第（n-1）个图形中的棋子数，相减即可得到结果． 【详解】解：第1个图形棋子的个数：1； 第2个图形，1+4； 第3个图形，1+4+7； 第4个图形，1+4+7+10； … 第n个图形，1+4+7+…+(3n-2)； 则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子． 故答案为3n-2 【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题,同时还考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）： （2）． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式 ． 20. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：①②得，解得， 把代入①得，，解得． ∴原方程组的解为 ； （2）解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为 ． 21. 某校制作了电动车安全充电教育视频课，为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：、、、、，绘制成如下不完整的统计图表． 请根据以上信息解答下列问题． （1）组数据的中位数是 ； ；组所在扇形的圆心角的大小是 ： （2）若该校有名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数． 【答案】（1）；；； （2）该校学生观看视频课时长超过的人数为人． 【解析】 【分析】（）根据中位数的定义即可求出组中位数，再由组频数及其所占比例可得样本容量，然后减去频数求出的值，再用乘以组频数占总数量的比例即可； （）用总人数乘以样本中观看视频课时长超过的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：由组的数据分别为：，，，，，从小到大排序为、、，，，排在最中间的数为， ∴组数据的中位数是； 由题意可得随机抽取学生数为：（人）， ∴（人）， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：；；； 小问2详解】 解：（人）， 答：该校学生观看视频课时长超过的人数为人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布表，扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握样本容量，众数的定义，用样本估计总体是解题的关键． 22. 清明节这一天，小明、小亮计划去淮海战役烈士纪念塔扫墓，淮海战役烈士纪念塔园区有南、北、东三个入口，小明和小亮同学分别从三个入口中随机选择一个入口进入园区．假设这两名同学选择哪个入口不受任何因素影响，且每一个入口被选到的可能性相等． （1）小明从北入口进入园区的概率为 ： （2）求小明和小亮两名同学恰好选择从同一个入口进入园区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从北入口进入园区的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 北 南 东 北 （北，北） （北，南） （北，东） 南 （南，北） （南，南） （南，东） 东 （东，北） （东，南） （东，东） 共9种等可能的结果，其中3种符合题意． ∴P（从同一个入口进入园区）． 23. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时． （1）求证：； （2）的度数为 ． 【答案】（1）见解析 （2）60 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先由矩形的性质得，，再由等边三角形的性质得，再利用证明即可； （2）由（1）的结论根据全等的性质得，再根据等边三角形的性质得，最后根据平角的定义可求的度数． 【小问1详解】 证明：∵为矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． 24. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】A型机器人每小时搬运化工原料100千克，则B型机器人每小时搬运80千克． 【解析】 【分析】设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，列出方程求解即可. 【详解】解：设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则 解得． 经检验是原方程的解，则x-20=80 所以A型每小时搬100千克，B型每小时搬80千克． 25. 已知为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，为弧上一点，连接，，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】（1）； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质，得到，，求出，根据，求出， 根据圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接 、，与交于点，求出，根据勾股定理求出，设的半径为，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接 、，与交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， 设的半径为，在中，， ∴， 解得：． 26. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． （3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2），，或 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 【小问1详解】 ∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴把代入得， ∴， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线上， 联立，解得或， ∴， ∴直线的解析式是， 函数图象如图： 由图可得，当时，x的取值范围是或； 故答案：，，或； 【小问3详解】 是直角三角形，理由如下： ∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴联立，解得或， ∴，， ∵ ∴顶点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 27. （1）如图①，已知点和直线，用两种不同的方法完成尺规作图：求作，使过点，且与直线相切．（每种方法作出一个圆即可，保留作图痕迹，不写作法） 【问题解决】如图②，在中，，，． （2）已知经过点，且与直线相切．若圆心在的内部，则半径的取值范围为 ． （3）点是边上一点，点是边上一点，，请直接写出使得为直角时点的个数及相应的的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）当时，满足条件点的个数为0；当或10时，满足条件的点的个数为1；当 时，满足条件的点的个数为 【解析】 【分析】(1)过直线外一点作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线确定圆心，从而画圆； (2)分别作出符合题意的临界点图形，确定半径的取值范围; (3)根据圆周角定理，点在以为直径的圆上，从而确定出符合条件的圆的半径的取值范围. 本题考查了切线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，图2中，即为所求． （2）如图： 此时圆的半径最小， ∵圆与相切， ∴， ∵中，，，． ∴ ∴ 根据勾股定理可得： ∴ ∴ 即此时圆的半径； 如图，当圆心在边上时， 根据题意设, 则， ∵，且 ∴ ∴ , ∴， 解得 ∴圆心在的内部，则半径的取值范围为； （3）如图： 根据圆周角定理为直角时，则以为直径的圆与交于点，当时，此时有一个点符合条件， ∵，且由（2）得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得：， 当时，点与点重合，此时， ∴时，有1个点符合题意； 即时，有0个点符合题意； 即时，有2个点符合题意. 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$