精品解析：2024年江苏省徐州市沛县第五中学九年级第二次质量检测数学模拟试题

2024年九年级第二次质量检测模拟 数 学 试 题 温馨提示：本试卷共有三大题、28小题，其中第1题至第8题为选择题，第9题至第26题为非选择题，将答案写在答题卷上．本试题分值为140分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3a+4b＝7ab B. x12÷x6＝x6 C. （a+2）2＝a2+4 D. （ab3）3＝ab6 4. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 6 6. 某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：℃）：16，20，18，16，18，18，20，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 16，16 B. 16，20 C. 18，20 D. 18，18 7. 图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 分解因式：__________． 10. 函数的自变量x的取值范围是___． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______． 12. 把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为______________． 13. 圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 14. 如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为___________． 15. 如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是__________． 16. 如图，在中，点分别是边上的点，连接，若，且， ，则的值是________． 17. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是___________．（填序号） 18. 如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为______． 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 年月日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的是（单位：分）：，根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是为______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______； （2）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 22. “抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D． （1）小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图方法，求小强、小红抽到同一景点的概率． 23. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ 24. 如图，是菱形对角线． （1）在上求作一点E，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，若，求的度数． 25. 如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 26. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号） 27. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： __________； （2）如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； （3）是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级第二次质量检测模拟 数 学 试 题 温馨提示：本试卷共有三大题、28小题，其中第1题至第8题为选择题，第9题至第26题为非选择题，将答案写在答题卷上．本试题分值为140分，考试时间为120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义进行解答即可. 【详解】解：的相反数是 故选：A 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项符不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3a+4b＝7ab B. x12÷x6＝x6 C. （a+2）2＝a2+4 D. （ab3）3＝ab6 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法性质、完全平方公式、积的乘方公式进行判断. 【详解】解：A、3a和4b不是同类项，不能合并，所以此选项不正确； B、x12÷x6＝x6，所以此选项正确； C、（a+2）2＝a2+4a+4，所以此选项不正确； D、（ab3）3＝a3b9，所以此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键. 4. 新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，其中，n为整数，是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】 故选：A． 5. 整数a满足，则a的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 6. 某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：℃）：16，20，18，16，18，18，20，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 16，16 B. 16，20 C. 18，20 D. 18，18 【答案】D 【解析】 【分析】众数为数据中出现次数最多的数；中位数：将数据按大小顺序（从小到大或从大到小）排列，若有奇数个数据，位于最中间的数，若有偶数个数，则是位于最中间两个数的平均数． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：16，16，18，18，18，20， 则这组数据的中位数是18； ∵18出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是18； 故选：D． 【点睛】本题考查众数、中位数的计算，将数据按大小顺序排列是计算中位数的关键． 7. 图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，瓶内液体的最大深度，则的弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得，由垂径定理得出，利用勾股定理计算出的长度，即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故的弦长为． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 12. 把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为即 故答案为：． 13. 圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为， 烟囱帽的侧面积（）， 故答案：． 14. 如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．连接，根据，，证出，求出，在中，，，解得、的长度即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案：5． 15. 如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】分别过点、作、垂直于轴于、，先求出，再由平行四边形面积公式求出即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， 设，， 则，，，，，， 、在双曲线上， 三角形与三角形的面积相等， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ， ，即， ， ， ， 平行四边形面积， ，，即； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质，平行线分线段成比例等知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算． 16. 如图，在中，点分别是边上的点，连接，若，且， ，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 17. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”．在函数①，②，③，④，⑤，⑥的图象上，存在“平衡点”的函数是___________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查函数图象上的点的特点．设平衡点的坐标为，将点分别代入到各个函数中，进行求解，判断即可．掌握“平衡点”的定义，是解题的关键． 【详解】解：设平衡点的坐标为， 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无实数根， ∴的图象上不存在“平衡点”； 把代入，得：，解得：， 经检验是原方程的解； ∴的图象上存在“平衡点”； 把代入，得：，此方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 故答案为：①③⑤． 18. 如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、交于点，可以证明是等边三角形，同时判断直线必过点，作于，连接，由于，于是和的长度均为定值，在中根据三角形三边关系即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接与交于点，作于，连接． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， 直线将矩形的面积分成相等的两部分， 必过点， ， ， ， 、、三点在以为圆点，以为半径的圆上， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，圆周角定理，矩形的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点．判断直线必过矩形中心、判断为等边三角形、取中点构造圆是解答本题的关键． 三、解答题： 19. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程，求不等式组的解集： （1）因式分解法解方程即可； （2）先求出每一个不等式，找到它们的公共部分即为不等式组的解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 21. 年月日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 ．成绩在这一组的是（单位：分）：，根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是为______分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______； （2）这次测试成绩的平均数是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，频数分布表等知识 （1）根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可； （2）将甲的成绩与中位数比较可得结果． 【小问1详解】 解：由表格可得：； 中位数在 成绩在这一组的是（单位：分）：， 这次测试中，成绩中的中位数是第、个数据的平均数， ∴中位数为（分）， 成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：不正确，理由如下： 甲的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数比较， ∵甲的成绩分低于中位数， ∴甲的成绩低于一半学生的成绩． 22. “抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D． （1）小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类以及画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据随机事件的定义：发生的概率在之间的事件为随机事件，进行作答即可． （2）依题意，画树状图，得出一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，小强抽一次签，他恰好抽到A景区是随机事件， 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：画树状图如下所示． 一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种， 小强、小红恰好抽到同一景点的概率为 23. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？ 【答案】30元，40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程，注意分式方程要检验．根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可． 【详解】解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元， 依题意得：. 方程两边乘得 . 解得：， 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为. ∴ 答：每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元． 24. 如图，是菱形的对角线． （1）在上求作一点E，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）作图见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，则，故得到，又，所以得到，故点即为所求； （）由菱形的性质可得，，进而可得，得到，，再由三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，菱形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 又∵， ． 25. 如图，直线l与相切于点，点为直线上一点，直线交于点、，点在线段上，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的判定及性质等知识， （1）首先证明，得出，即可得出直线是的切线； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出，则，以及的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可． 【小问1详解】 解：直线是的切线， 理由：连接，， ∵直线l与相切于点M， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 为直径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 过点O作于点N， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∴， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴，则， ∴图中阴影部分的面积为：． 26. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为28米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点6米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长．（结果保留根号） 【答案】的长为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形， ∵在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， 在中，， ∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴， ∴， ∴的长为米． 27. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： __________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点G，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D线段上时，连接，如图所示： 设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； （3）是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）点坐标为，， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的综合应用，解直角三角形，垂径定理，矩形的性质； （1）结合，由两点式可得抛物线解析式为，求出点坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点），连接、．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出，可得出的值随着的增大而减小，则可得与直线相切，再结合勾股定理可求得点的坐标； （3）分类讨论，①若为边，时，将绕点逆时针旋转得到'，根据证明'，依据全等的性质可得点点的坐标，求出直线的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，由矩形的性质可知，，结合点、、点坐标可得点坐标②若为边，时，同理可求：直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，同理可得点坐标；③若为对角线，由点点坐标可得的中点坐标及的长，点在抛物线上，设点，利用勾股定理可求出的值，选择符合题意的，求出点坐标后结合的中点坐标可知点坐标，综上所述，点的坐标有种情况 【小问1详解】 ， ，， ， ， 点 设经过点， ， ， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 如图，记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点）． 连接、，则，， ， 的值随着的增大而减小． 又， 当取最小值时最大， 即垂直直线时，最大， 此时，与直线相切． ∵，则 ，， 坐标． 根据对称性，另一点也符合题意． 综上可知，点坐标为或． 【小问3详解】 若为边，时，如图，将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ，且， ，， 点，且 直线'解析式为：， ， ， 点， ， ， ， ， ， 点， 若为边，时， 同理可求：直线的解析式为：， ， ， 点坐标 ， ， ， ， ， 点， 若为对角线， 、、、为顶点的四边形成为矩形， ，与互相平分， ， 中点坐标，， 设 ， ， ， ，且的中点坐标， 点 综上所述：点坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$