精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

泰安一中2024-2025学年第二学期期中检测 高一数学试题 时间：120分钟总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 2. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】应抽取一年级的人数为人. 故选：B 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值． 【详解】因为，所以 因为，所以 所以 ，所以 故选：A． 4. 以下说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B. 用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台 C. 已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则 D. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项：正棱柱要求底面是正多边形且侧棱垂直底面，仅底面正多边形不能确定侧棱垂直底面，所以不一定是正棱柱． 对于B选项：圆台需用平行圆锥底面的平面去截圆锥，若平面不平行底面，得到的不是圆台． 对于C选项：根据线面垂直性质判断． 对于D选项：两个平面都与第三个平面垂直时，这两个平面可能平行也可能相交，如墙角处平面，所以不能得出平行． 【详解】正棱柱的定义是底面为正多边形，且侧棱垂直于底面的棱柱．仅底面是正多边形，不能确定侧棱与底面垂直，所以底面是正多边形的棱柱不一定是正棱柱，选项错误．  用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分才是圆台．若平面不平行于圆锥底面，得到的就不是圆台，选项错误．  线面垂直的性质为：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直．已知，，即直线垂直于平面，直线在平面内，所以，C选项正确．  当时，与可能平行，也可能相交．例如墙角处的三个平面，两两垂直，所以不能得出，选项错误．  故选：C． 5. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三棱锥三条侧棱两两垂直求出三棱锥的体积，再求出底面三角形的面积，最后根据三棱锥体积公式反推出三棱锥的高． 【详解】 因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以可把当作底面，当作高． 可得． 再根据三棱锥体积公式，可得．  在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得．  由，，可知是等腰三角形，底边上的高． 可得．  设三棱锥的高为，根据三棱锥体积公式， 已知，，则，解得．  此三棱锥的高为． 故选：D． 6. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积. 【详解】已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，. 又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）. 如图，得到原图. 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径，高； 根据圆台体积公式，可得. 故选：B. 7. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设，则，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形， 又， ， 则，即， 设， 则 又，则时，取最小值. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若是的重心，则 C. 若为的垂心，，则 D. 若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，即， 所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误； 对于B，由题意可作图如下： 则为的中点，且，所以，故B正确； 对于C，由题意可作图如下： 则，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 则分别为的中点，， 可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据正方体的性质可得：（或其补角）即为所求，进而求解即可. 【详解】如图，连接，则， 故（或其补角）即为所求， 又，所以， 故答案为：. 12. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由余弦定理得到为直角三角形，解得，再根据得到与的关系，而后由三棱锥的体积最大值为得到，此时，即可求得，代入球的表面积公式可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 即，又，解得. 因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径； 记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为， 则有， 当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有 ， 再由，可知， 故，解得，此时， 故答案为：. 13. 在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解. 【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R. 由正弦定理得：,即，解得：，所以. 设则. 所以 . 因为O为的外心，所以,所以. 同理：,. 因为，所以， 所以. 由二倍角的余弦公式可得：. 所以. 故答案为：. 【点睛】向量的基本运算处理的常用方法： (1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理； (2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求的值； （2）求边的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果. （2）△中应用余弦定理求即可. 【小问1详解】 由题设，，故， 又，则. 【小问2详解】 由，，故， 所以，故. 15. 的内角为，角的角平分线为在上. （1）用表示； （2）若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 【答案】（1） （2）为的中点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线定理得出，由此推出，再利用向量加法和减法法则，将用与表示出来． （2）设，先求出关于与的表达式，再计算，得到一个含$λ$的式子．最后根据已知，建立方程求解，从而确定的位置． 【小问1详解】 由角平分线定理得，所以， 所以 【小问2详解】 设.因为， 所以 因为，所以，解得.故为的中点. 16. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. 【小问2详解】 取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 17. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. 【小问3详解】 由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 18. 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【小问1详解】 在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得 又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. 【小问3详解】 三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影， 又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中2024-2025学年第二学期期中检测 高一数学试题 时间：120分钟总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 以下说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B. 用一个平面去截圆锥，截面和圆锥底面之间的部分是圆台 C. 已知表示两条不同直线，表示平面，若，，则 D. 已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，若，则 5. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若是的重心，则 C. 若为的垂心，，则 D. 若分别表示的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________. 12. 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 13. 在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）求的值； （2）求边的值. 15. 的内角为，角的角平分线为在上. （1）用表示； （2）若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 16. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 18. 如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $