精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试卷

滨海新区田家炳中学2024-2025-2高一年级期中考试 数学试卷 一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】. 故选：A 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：A. 3. 三角形 中，则B=（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. 【详解】在中，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 4. 在中，，则B=（ ） A. 60° B. 120° C. 60° 或120° D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，即可求得的值，得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得，可得， 又因为，可得，所以或. 故选：C. 5. 如图，在平行四边形中，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直. B. 如果一个平面内的两条直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行； C. 在空间垂直于同一条直线的两条直线平行； D. 垂直于同一平面的两条直线平行. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合线面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直，所以A错误； 对于B中，如果一个平面内的两条相交直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B错误； 对于C中，在空间垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面，所以C不正确； 对于D中，根据线面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两条直线平行，所以D正确. 故选：D. 7. 已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出边长为的正三角形的面积，即可得解. 【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥为正四面体，每一个面均为正三角形， 又边长为的正三角形的面积为， 所以这个三棱锥的表面积是. 故选：C 8. 已知向量，，且则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由及数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以，又， 所以，解得. 故选：B 9. 棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的体对角线即为外接球的直径，即可得解. 【详解】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为, 则，即， 所以外接球的表面积. 故选：B 10. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则 (2)若，则; (3)若，则; (4) ，则. 上面四个命题正确的有（ ） A. (1)，(3) B. (2)，(4) C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4). 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）中，若，由面面平行性质，可得，所以（1）正确； （2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得， 又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确； （3）中，若，则与平行或异面，所以（3）不正确； （4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确. 故选：C. 11. ，是非零向量，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义及向量夹角余弦值的表示方法可得. 【详解】设为，向量的夹角， 则在投影向量是. 故选： 12. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方体体积减去截去的八个四面体体积即可. 【详解】截去的四面体体积，正方体体积， 所以石凳的体积为. 故选：B. 二、填空题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.) 13. 已知则的夹角的大小是_________________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以. 故答案为：. 14. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 由，所以，所以. 故答案为： 15. 三角形中，，，，____________ 【答案】或 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理， 可得，解得或，经检验符合题意 故答案为：或 16. 已知复数为纯虚数， 则________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值. 【详解】因为， 又复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 17. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 故答案为：. 18. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而可表示两几何体的体积，进而可得答案 【详解】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为， 所以球与圆柱的体积之比为 . 故答案为： 19. 已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，得到，求得，结合圆的面积公式和圆锥的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，所以， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 20. 在平行四边形中， 点是中点， ，，，. (1)用，表示向量，_____________； (2)若，_____________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则表示出，同理表示出，由得到，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为点是的中点，，， 所以， 又， 因为，所以，即， 即，即，所以，即. 故答案为：； 三、解答题: (本题共4道小题， 共50分， 21、22题每题12分， 23、24题每题13分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 21. 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，即可求出、，再由两角和的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理， 则. 【小问3详解】 由，所以，所以为锐角，故， 所以， 所以， 所以 . 22. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出、、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，则，所以， 由正弦定理，即，解得； 【小问3详解】 由（2）可得， ， 显然，则， 所以 23. 如图， 在正方体中， 是的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证； （3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； 【小问2详解】 连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． 【小问3详解】 设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 24. 如图， 已知是平面外一点，平面，. （1）证明：平面； （2）过点作垂直于，证明：； （3）若，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； 【小问3详解】 在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海新区田家炳中学2024-2025-2高一年级期中考试 数学试卷 一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 三角形 中，则B=（ ） A 30° B. 60° C. 150° D. 120° 4. 在中，，则B=（ ） A. 60° B. 120° C. 60° 或120° D. 以上都不对 5. 如图，在平行四边形中，，则 （ ） A B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直. B. 如果一个平面内两条直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行； C. 在空间垂直于同一条直线的两条直线平行； D. 垂直于同一平面的两条直线平行. 7. 已知三棱锥的所有棱长都是，则这个三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，且则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题: (1)若， 则 (2)若，则; (3)若，则; (4) ，则. 上面四个命题正确的有（ ） A. (1)，(3) B. (2)，(4) C. (1)，(2)，(4) D. (1)，(3)，(4). 11. ，是非零向量，则在上投影向量是（ ） A. B. C. D. 12. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.) 13. 已知则的夹角的大小是_________________； 14. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 15. 三角形中，，，，____________ 16. 已知复数为纯虚数， 则________________； 17. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为_______________； 18. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______. 19. 已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是_______________； 20. 在平行四边形中， 点是中点， ，，，. (1)用，表示向量，_____________； (2)若，_____________； 三、解答题: (本题共4道小题， 共50分， 21、22题每题12分， 23、24题每题13分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 21. 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 22. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 23. 如图， 在正方体中， 是的中点. （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值. 24. 如图， 已知是平面外一点，平面，. （1）证明：平面； （2）过点作垂直于，证明：； （3）若，，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$