清单03 二元一次方程组（考点清单，知识导图+3个考点清单&12大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材青岛版

清单03二元一次方程组 （3个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误； B．，属于三元一次方程，故此选项错误； C．，属于二元二次方程，故此选项错误； D．，属于二元一次方程，故选项正确． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程．两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项都是一次的方程，叫做二元一次方程． 【详解】解：A、只含有一个未知数，不是二元一次方程，该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是二元一次方程，该选项不符合题意； C、是二元一次方程，该选项符合题意； D、含有未知数的项的次数为二次，不是二元一次方程，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级下·广东广州·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为的方程是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含有的未知数的项的次数为，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是整式方程，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，不符合题意； C、方程组中含有两个未知数，每个未知数的次数为，符合题意； D、方程组中含有两个未知数，中未知数的次数为，不符合题意． 故选：C． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）二元一次方程的所有正整数解有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，正确理解二元一次方程的解得概念是解题的关键． 直接写出二元一次方程的所有正整数解即可． 【详解】解：由二元一次方程可得，正整数解为： 或或或或，共个， 故选：． 【变式2-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程中进行判断即可． 【详解】解：A、，故是二元一次方程的解，符合题意； B、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级下·吉林长春·期末）按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定义是解答此题的关键．根据题意，运算程序即计算，选择满足方程的、即可． 【详解】解：根据题意，运算程序即计算，即， A选项，当时，，符合题意； B选项，当时，，不符合题意； C选项，当时，，不符合题意； D选项，当时，，不符合题意． 故选：A． 【考点题型三】解二元一次方程组（） 【例3】（23-24七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， ∴； （2）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ①＋②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①䅞：， 解得：， 方程组的解为． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得 ∴方程组的解为； （2）解：，得，③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为． 【变式3-3】（23-24七年级下·浙江·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为：． 【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（） 【例4】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键． 将方程②变形为，再整体代入即可求方程组． 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． （1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1） 把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， 得，． 【变式4-2】（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可． 【详解】解：（1）设则原方程组可化为， 根据的解为，可得： 解得 即； （2）方程组可变形为： 设， 原方程可化为 解得： 即，解得 原方程组的解为 【变式4-3】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，再由即可求解． 【详解】（1）解：， 由得：； 由得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由得：． 【考点题型五】解二元一次方程组的应用（） 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）将代入原方程组，得到关于x和m的二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，由原方程组得， 变形得， 得：， 解得； （2）解： 得：， 将代入，得：， 解得． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．根据题意得到关于x、y的二元一次方程组求解，再代入求出a的值即可． 【详解】解：由题意得，解得：， 将代入得， 解得：， 故答案为：1． 【变式5-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解方程组的解是解答本题的关键． 先解方程组，求得、的值，再将、的值代入，即可求得的值． 【详解】解：方程组的解满足， ， 得：， 把代入得：， 方程组的解为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 【变式5-3】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ． 故选：C． 【考点题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期中）李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．先把代入中求出的值，然后把和的值代入中求出▲表示的数，即可得到答案． 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 故选：A ． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于的方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 【考点题型七】方案问题（） 【例7】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式7-3】（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 【考点题八】分配问题（） 【例8】（23-24七年级下·全国·课后作业）一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设用钢材做A部件，用钢材做B部件，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设用钢材做A部件，用钢材做B部件， 根据题意，得 解得 所以． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套． 【变式8-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 【变式8-2】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【答案】应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，根据题意抽象出两个二元一次方程，再求解是解题关键．设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件， 由题意，得：， 解得：． 答：应安排35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 【变式8-3】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型九】销售经济问题（） 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【答案】(1)甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶 (2)6天 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种洗手液的单价为x元，乙种洗手液的单价为y元，由题意可得方程组，解方程组即可得解； （2）设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种洗手液的单价为x元/瓶，乙种洗手液的单价为y元/瓶，由题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两种洗手液的单价分别为18元/瓶，30元/瓶． （2）解：设七年级采购甲、乙两种洗手液各m瓶，n瓶，由题意得： ， ∴， ∴（天）； 答：这批洗手液可使用6天． 【变式9-1】（22-23七年级上·广东河源·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元 (2)到乙商场购买更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意， 得 解得 答：一个暖瓶70元，一个水杯30元． （2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）； 若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）． ， 到乙商场购买更合算． 【变式9-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【答案】(1)5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 (2)7折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． （2）解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 【变式9-3】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）天气逐渐炎热，某商场又迎来了空调的售卖旺季，某商场购进A，B两种型号的空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元．5月份该商场购进5台A型空调和7台B型空调共43000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元． (1)求m，n的值； (2)7月份该商场计划花费54000元购进这两种型号空调（两种型号都要有），试问有哪几种进货方案？ 【答案】(1)m的值为3000，n的值为4000 (2)有4种进货方案，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进x台A型空调，y台B型空调，根据题意列出二元一次方程，然后根据x，y均为正整数分情况求解即可． 【详解】（1）依题意得： 解得： 答：m的值为3000，n的值为4000； （2）设购进x台A型空调，y台B型空调， 依题意得：， ． x，y均为正整数， 或或或 共有4种进货方案， 方案1：购进A型空调14台，B型空调3台； 方案2：购进A型空调10台，B型空调6台； 方案3：购进A型空调6台，B型空调9台 方案4：购进A型空调2台，B型空调12台． 【考点题型十】几何问题（） 【例10】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 【变式11-1】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 【变式11-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 【变式11-3】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 【变式11-4】（2024·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为 ，宽为 ，可列方程组： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小长方形地砖的长为 ，宽为 ，由图示可得等量关系：①个长个长个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为 ，宽为 ，由题意得： ， 故答案为：． 【考点题型十一】古代问题（） 【例11】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 【变式11-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意直接列出方程组即可． 【详解】解∶根据题意，得，即， 故选；C 【变式11-2】（24-25八年级上·山东济南·期末）《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 故选：A． 【变式11-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）有一首与《西游记》有关的算诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？大意：孙悟空顺风去查妖怪的行踪，就飞跃1000里（1里），逆风返回时走了600里，则风速是 里． 【答案】50 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设孙悟空静风速度为里，风速为里，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设孙悟空静风速度为里，风速为里，由题意，得： ，解得：， 故风速为里； 故答案为：50． 【考点题型十二】其他问题（） 【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启2道正门和1道侧门，1min内可以通过390名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，3min内可通过720名学生． (1)求平均每分钟1道正门和1道侧门各可以通过多少名学生． (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有50名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 【答案】(1)1道正门平均每分钟通过150名学生，1道侧门平均每分钟通过90名学生 (2)这4道门符合安全规定，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的的应用等知识，准确列出方程组是解题的关键． （1）设1道正门平均每分钟通过名学生，1道侧门平均每分钟通过名学生，当同时开启2道正门和1道侧门，1min内可以通过390名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，3min内可通过720名学生．据此列出方程组并解方程组即可； （2）求出共有学生数和在拥挤的状态下5min通过人数并比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设1道正门平均每分钟通过名学生，1道侧门平均每分钟通过名学生， 根据题意，得 解得 答：1道正门平均每分钟通过150名学生，1道侧门平均每分钟通过90名学生； （2）共有学生数：（人）， 在拥挤的状态下5min通过人数：（人）， 因为，所以这4道门符合安全规定 【变式12-1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 蛋白质 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ (2)若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 【答案】(1)选用甲种食品包，乙种食品包 (2)选用甲种食品1包，乙种食品6包 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设选用甲种食品包，乙种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用甲种食品包，选用乙种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量正好是100克”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：选用甲种食品包，乙种食品包． （2）设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得，整理得：， ∵，均为正整数， ∴只能取2，4，6， 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 故选用甲种食品1包，选用乙种食品6包． 【变式12-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）为了落实“双减”政策，丰富学生的课余生活，某校开设智能机器人编程的校本课程并购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型贵100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等． (1)A型和B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)现在需要购买A型机器人模型5台，B型机器人模型8台，则共需花费多少钱？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价为400元，B型机器人模型的单价为300元 (2)一共需要4400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用． （1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等，列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元． 由题意得：， 解得：， 答：A型机器人模型的单价为400元，B型机器人模型的单价为300元． （2）解：（元）， 答：一共需要4400元． 【变式12-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03二元一次方程组 （3个考点梳理+12大题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·广东广州·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）二元一次方程的所有正整数解有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·吉林长春·期末）按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】解二元一次方程组（） 【例3】（23-24七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【变式3-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组： (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【变式3-3】（23-24七年级下·浙江·期中）解方程组：． 【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（） 【例4】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【变式4-2】（23-24七年级下·山西临汾·期中）【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【变式4-3】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【考点题型五】解二元一次方程组的应用（） 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）关于的方程组 (1)当时，求的值； (2)若方程组的解与满足条件，求的值． 【变式5-1】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 【变式5-3】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【考点题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 【例6】（24-25七年级下·福建泉州·期中）李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【变式6-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【变式6-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为 ． 【考点题型七】方案问题（） 【例7】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式7-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【变式7-3】（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【考点题八】分配问题（） 【例8】（23-24七年级下·全国·课后作业）一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【变式8-1】（24-25八年级上·河北保定·期中）工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【变式8-2】（23-24七年级下·吉林松原·阶段练习）某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人? 【变式8-3】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【考点题型九】销售经济问题（） 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）某校要购置规格分别为/瓶和/瓶的甲、乙两种洗手液若干瓶，已知购买3瓶甲种洗手液和1瓶乙种洗手液需要84元，购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液需要126元． (1)求甲、乙两种洗手液的单价． (2)七年级师生共有2000人，平均每人每天都需使用的洗手液．若七年级采购甲、乙两种洗手液共花费了7200元，则这批洗手液可使用多少天？ 【变式9-1】（22-23七年级上·广东河源·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【变式9-2】（23-24七年级下·湖南永州·期末）某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【变式9-3】（23-24七年级下·湖南怀化·期末）天气逐渐炎热，某商场又迎来了空调的售卖旺季，某商场购进A，B两种型号的空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元．5月份该商场购进5台A型空调和7台B型空调共43000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元． (1)求m，n的值； (2)7月份该商场计划花费54000元购进这两种型号空调（两种型号都要有），试问有哪几种进货方案？ 【考点题型十】几何问题（） 【例10】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【变式11-1】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【变式11-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【变式11-3】（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【变式11-4】（2024·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为 ，宽为 ，可列方程组： ． 【考点题型十一】古代问题（） 【例11】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【变式11-1】（24-25八年级上·山东青岛·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25八年级上·山东济南·期末）《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）有一首与《西游记》有关的算诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？大意：孙悟空顺风去查妖怪的行踪，就飞跃1000里（1里），逆风返回时走了600里，则风速是 里． 【考点题型十二】其他问题（） 【例12】（23-24七年级下·全国·课后作业）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启2道正门和1道侧门，1min内可以通过390名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，3min内可通过720名学生． (1)求平均每分钟1道正门和1道侧门各可以通过多少名学生． (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有50名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 【变式12-1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 蛋白质 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ (2)若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 【变式12-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）为了落实“双减”政策，丰富学生的课余生活，某校开设智能机器人编程的校本课程并购买了A、B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型的单价比B型机器人模型贵100元，购买3台A型机器人模型的费用恰好与购买4台B型机器人模型的费用相等． (1)A型和B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)现在需要购买A型机器人模型5台，B型机器人模型8台，则共需花费多少钱？ 【变式12-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$