专题03 二元一次方程组（考题猜想，六大题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材青岛版

专题03 二元一次方程组（六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程(组)的定义 · 题型二 二元一次方程（组）的解 · 题型三 解二元一次方程组（重点） · 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型五 二元一次方程组的特殊解（易错） · 题型六 二元一次方程组的应用（重点） 【题型1】二元一次方程(组)的定义 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【题型2】二元一次方程（组）的解 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【题型3】解二元一次方程组（重点） 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组： (1) (2) 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组： (1) (2) 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： (1) (2) 15．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1) (2) 16．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组： (1) (2)． 【题型4】已知二元一次方程组的解求参数 17．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组的解满足，则为 ． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 20．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为 【题型5】二元一次方程组的特殊解（易错） 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 23．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 24．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【题型6】二元一次方程组的应用（重点） 25．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期中）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 28．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 29．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）春节临近，某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． (1)求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 30．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 31．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 33．（24-25七年级下·北京·期中）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 34．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 35．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． $$专题03 二元一次方程组（六大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二元一次方程(组)的定义 · 题型二 二元一次方程（组）的解 · 题型三 解二元一次方程组（重点） · 题型四 已知二元一次方程组的解求参数 · 题型五 二元一次方程组的特殊解（易错） · 题型六 二元一次方程组的应用（重点） 【题型1】二元一次方程(组)的定义 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误； B．，属于三元一次方程，故此选项错误； C．，属于二元二次方程，故此选项错误； D．，属于二元一次方程，故选项正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【详解】解：中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，则A不符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：②中含有三个未知数，④未知数的最高次数是2，都不符合二元一次方程组定义， ①③符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，共两个； 故选B． 4．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故不符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故符合题意； D．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【题型2】二元一次方程（组）的解 6．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的一个解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得： ， ， 解得， 故选：A． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）下面是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程中进行判断即可． 【详解】解：A、，故是二元一次方程的解，符合题意； B、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）数学课堂上，老师要求写出一个以为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是将给定的解代入方程组中，判断等式是否成立． 把分别代入各个选项中的方程组，看是否能使方程组中的两个方程都成立． 【详解】A、将代入得，故该选项错误； B、将代入得，代入得，故该选项错误； C、将代入得，故该选项错误； D、将代入得，将代入得，两个方程都成立，故该选项正确． 故选：D． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 【题型3】解二元一次方程组（重点） 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消法即可得解； （2）先对第二个方程进行整理和变形，然后再利用加减消元法即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． （2）解： 由得：③， 由得：，解得， 将代入②中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解方程组：， 解：①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解是； （2）解：解方程组： 解：①＋②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先将方程组整理，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 将代入①，得， 则方程组的解为； （2）解：， 方程①两边同时乘以，得， ，得：， 解得：， 将代入②，解得：， 则方程组的解为． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法和代入法是解题的关键． （1）用加减法求解即可； （2）用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴． （2）解：， 由得， 把代入，得， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法． （1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 15．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用加减消元法求解即可． （2）运用加减消元法求解即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． （2）解： 得，， 解得， 把代入，解得，， 故方程组的解为． 16．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，方程组选择哪种解法，可根据组中各方程的系数特点灵活选择． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴原方程组的解为． 【题型4】已知二元一次方程组的解求参数 17．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）若方程组的解中与的值互为相反数，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是已知二元一次方程组的解求参数，二元一次方程的解法，由与的值互为相反数，可得，再代入原方程组求解即可． 【详解】解：∵方程组的解中与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选B 18．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组的解满足，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，熟练掌握二元一次方程组是解答本题的关键．将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将，的值代入得出答案即可． 本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得， 将代入， 得， 解得． 故答案为：． 20．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，联立，解出，再代入即可求解，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：联立 得：，解得， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入得， 解得：， 故答案为：． 【题型5】二元一次方程组的特殊解（易错） 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】①D；② 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组， ①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． ②将方程变形为，同①的方法即可求解． 【详解】解：①依题意， 解得： 故选：D． ②即 ∵的解是 ∴ 解得： 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 23．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 24．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 【题型6】二元一次方程组的应用（重点） 25．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图示有2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽，据此列出对应的方程并组成方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的方程组不正确，符合题意， 故选：D． 26．（24-25七年级下·福建泉州·期中）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键．设木长尺，绳子长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺，绳子对折再量长木，长木剩余1尺可得答案． 【详解】解：设木长尺，绳子长尺， 根据题意有：， 故选：C 27．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值，代入求值即可． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 则． 故答案为：64． 28．（24-25七年级下·北京·期中）我校节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方、连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1），并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分）． 项目 项目得分 学生 七巧拼图 三阶幻方 连环解锁 数独比拼 折算后总分 甲 66 95 68    乙 66 80 60 68 70 丙 66 90 80 68 80 若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和，以下说法正确的是 ． ①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式； ②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和，则它们的折算百分比之和为0.25； ③在②的基础上，若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由乙、丙两位同学三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分列二元一次方程，可判断①说法；根据题意得出乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分，列二元一次方程组求解，可判断②说法；在②的基础上，计算出甲的折算后总分，可判断③说法． 【详解】解：由题意可知，乙、丙两位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，但折合后总分相差分，即三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和相差分， 设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为和， 则， 即，①说法正确； 若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和， 则乙、丙两位同学的三阶幻方和连环解锁两个项目分数之和分别为分、分， 由题意得：，解得：， 每个项目得分的折算百分比之和为1， 七巧拼图和数独比拼两项的折算百分比之和为，②说法错误； 由②可知，，， 则， 即甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖，③说法正确； 故答案为：①③ 29．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）春节临近，某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． (1)求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ (2)若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 【答案】(1)A，B两种农产品每件的进价分别是80元，100元 (2)这次购买有3种方案，分别是：①购进A种农产品15件，B种农产品4件；②购进A种农产品10件，B种农产品8件；③购进A种农产品5件，B种农产品12件，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系式是解题的关键． （1）设A，B两种农产品每件的进价分别是x元，y元，根据“第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元”列方程组求解即可； （2）设第三次购进A，B两种农产品各m件，n件，根据“购买总费用为1600元”列出二元一次方程，然后根据m，n都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种农产品每件的进价分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两种农产品每件的进价分别是80元，100元； （2）解：设第三次购进A，B两种农产品各m件，n件， 根据题意，得， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴或或， ∴这次购买有3种方案，分别是：①购进A种农产品15件，B种农产品4件；②购进A种农产品10件，B种农产品8件；③购进A种农产品5件，B种农产品12件． 30．（24-25八年级上·四川成都·期末）某景点的门票价格如表： 购票人数（人） 100以上 门票单价（元） 40 36 32 (1)某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付3868元，两个班各有多少名学生？如果两班联合起来作为一个团体购票能省多少钱？ (2)该校八、九年级自愿报名游览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人且不超过100人．若两个年级分别购票，总计支付门票费3600元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费3456元，问八年级、九年级各报名多少人？ 【答案】(1)七年级1班人数为49人，则2班人数为53人，联合购票，节省604元 (2)八年级报名人数为人，九年级报名人数为人 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组是解题的关键： （1）设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，根据售票方式，列出方程，进行求解即可； （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人，根据两种不同的购票方式，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设七年级1班人数为人，则2班人数为：人，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴七年级1班人数为49人，则2班人数为53人； 联合购票，节省：（元） 答：七年级1班人数为49人，则2班人数为53人；联合购票，节省604元． （2）设八年级报名人数为人，九年级报名人数为人， 若，则：，解得：，不合题意，舍去； ∴， ∴，解得：， 答：八年级报名人数为人，九年级报名人数为人． 31．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题： 葡萄酒种类 A B C 每辆无人车装载量（箱） 6 8 9 (1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？ (2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？ 【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车； (2)无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案． 【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车， 根据题意得：， 解得：． 答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车； （2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒， 根据题意得：， ， 又，，均为不小于11的正整数， 或或， 无人车的装运方案共有3种， 方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒； 方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒； 方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒． 32．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 33．（24-25七年级下·北京·期中）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 34．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 35．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料：名句“运筹椎幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． $$