清单02 相交线和平行线（考点清单，知识导图+6个考点清单&11大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材青岛版

清单02相交线和平行线 （6个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】对顶角、邻补角（） 【例1】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 【答案】(1)；，． (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角： （1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为，． 故答案为：；，． （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式1-】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的定义，是简单的基础题，熟记对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义即可求解．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角． 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，点在直线上，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查邻补角的性质，解题的关键是掌握邻补角互补这一知识点． 根据邻补角的性质，与互补，用减去的度数，即可求出的度数． 【详解】 ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型二】点到直线的距离（） 【例2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：根据题意由垂线段最短得， 故选： B． 【变式2-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断． 【详解】解：A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（22-23七年级下·河南安阳·期末）点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且，，，则点O到直线l的距离（    ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，理解“点到直线垂线段的长度是点到直线的距离，垂线段最短；”是解题的关键． 【详解】解：设点O到直线l的距离 ， ， ， 故选：C． 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 【考点题型三】垂线段最短（） 【例3】（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故选：B． 【变式3-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式3-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． 【变式3-5】（23-24七年级下·吉林·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【考点题型四】平行线公理（） 【例4】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线与相交线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 【变式4-1】（23-24七年级下·广西防城港·期末）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即直线a与c互相平行． 故选：B． 【变式4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式4-3】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 【答案】同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行公理，掌握同平行于一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是是同平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：同平行于一条直线的两条直线互相平行． 【考点题型五】同位角，内错角和同旁内角（） 【例5】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，与构成同位角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：与构成同位角的是， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的识别，关键是清楚同位角的概念，即若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角． 根据同位角的定义判断可得选项． 【详解】解：根据同位角的概念判断知，A，C，D中的和符合同位角的定义， 选项B中的和不是两条直线被第三条直线所截形成的，故不是同位角外． 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查角的关系，结合图形理解对顶角、领补角、同旁内角的概念是解题关键．根据对顶角的定义的判定即可． 【详解】解：A、和为对顶角，故符合题意； B、和互为同旁内角，故不符合题意； C、和为邻补角，故不符合题意； D、和为同旁内角，故不符合题意． 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 【考点题型六】两直线平行的条件（） 【例6】如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键． 【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意； B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意； C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意； D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意； 故选：C． 【变式6-1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； ∵， ∴不一定平行，故B选项符合题意， 故选：B． 【变式6-2】如图，能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 利用平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： A．与是与被所截形成的角，若，不符合判定，故本选项不符合题意； B．与是与被所截形成的角，当时，不能判定 ，故本选项不符合题意； C．与是由、被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当时，可判定，故本选项符合题意； D．与是由、被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当时，可判定，不能判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-3】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 【考点题型七】利用平行线的性质求角（） 【例7】（23-24九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图， ，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵， ， 故选：． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的角的运算；过G作，则，由得；由平行线的性质得，则由即可求解． 【详解】解：如图，过G作， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】113 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得 ；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ， ∴ ∵平分，平分， ∴， 由①得：， ∴， ∵比大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点题型八】平行线与折叠综合（） 【例8】（24-25八年级上·全国·期中）一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 【答案】/130度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，由为的外角可求出的度数，再由，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】130 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：130． 【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠，平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，折叠的性质，根据题意延长，根据折叠的性质，则，根据平角的性质，求出，根据平行线的性质，则，再根据平行线的性质，，即可． 【详解】解：延长， ∵纸带进行折叠，折痕， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，将一长方形纸片沿EF 折叠后，点 D，C分别落在点 、的位置， 若， 则 ． 【答案】/68度 【分析】此题主要考查了平行线的性质，首先根据翻折变换可得的度数，再根据平行线的性质可得的度数．关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型九】平行线的生活中的实际应用（） 【例9】（2024·陕西咸阳·一模）如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．由，可得，则，结合，，即可求解． 【详解】解： ， ， ，， ， 故选：B． 【变式9-1】（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 【变式9-2】（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式9-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式9-4】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型十】平行线的性质与判定综合（） 【例10】（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，在中，平分，F是上一点，过点F作交于点E，点G在上且满足． (1)求证：； (2)若于点E，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定和性质， （1）根据得到，由此得到，即可证得． （2）根据，得到，由角平分线定义及平行线的性质求出，，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵（邻补角定义）， ∴， ∴． （2）解：因为，， 所以． 因为平分，， 所以，． 所以． 【变式10-1】（23-24七年级下·浙江·期中）如图，，． (1)圆圆说图中还有一对平行线，请你找出这对平行线，请说明理由； (2)若是的平分线，写出与的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解:， 理由：， ， ， ， ； （2）， 理由：是的平分线， ， ， ， ， ． 【变式10-2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，D，E，F，G分别是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，请求出的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据得 ，进而得，则，再根据，得，据此可得出结论； （2）先由（1）的结论得，进而得，由此可得的度数．最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， 又， ， ， ， ． 【变式10-3】（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质． （1）根据平行线的判定以及性质求角的度数即可． （2）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平角的定义得出，再根据平行线的性质得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：因为， 所以， ∴； （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 【考点题型十一】平行线中常考模型（） 【例11】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和和角平分线的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵和是四边形的外角， ∴，， ∴ ， β ， ∵、分别平分和， ∴； （2）解：．理由： 如图，过点作，    ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴， 又∵、分别平分和， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． 【变式11-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式11-3】（22-23七年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； ②过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ，， ， ， ， 即． 解：②，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， 即． （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， 由（1）可知，， 由材料的结论可知，， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02相交线和平行线 （6个考点梳理+11大题型解读+提升训练） 清单01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】对顶角、邻补角（） 【例1】（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 【变式1-】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，点在直线上，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】点到直线的距离（） 【例2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式2-2】（22-23七年级下·河南安阳·期末）点O是直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，且，，，则点O到直线l的距离（    ） A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【考点题型三】垂线段最短（） 【例3】（23-24七年级下·吉林松原·期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式3-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【变式3-5】（23-24七年级下·吉林·期末）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【考点题型四】平行线公理（） 【例4】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【变式4-1】（23-24七年级下·广西防城港·期末）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【变式4-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【变式4-3】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在划线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 ． 【考点题型五】同位角，内错角和同旁内角（） 【例5】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，与构成同位角的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A．B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-3】（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【考点题型六】两直线平行的条件（） 【例6】如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用平行线的性质求角（） 【例7】（23-24九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图， ，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【考点题型八】平行线与折叠综合（） 【例8】（24-25八年级上·全国·期中）一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 【变式8-1】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，将一长方形纸片沿EF 折叠后，点 D，C分别落在点 、的位置， 若， 则 ． 【考点题型九】平行线的生活中的实际应用（） 【例9】（2024·陕西咸阳·一模）如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024七年级下·全国·专题练习）一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【变式9-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【考点题型十】平行线的性质与判定综合（） 【例10】（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，在中，平分，F是上一点，过点F作交于点E，点G在上且满足． (1)求证：； (2)若于点E，，求的度数． 【变式10-1】（23-24七年级下·浙江·期中）如图，，． (1)圆圆说图中还有一对平行线，请你找出这对平行线，请说明理由； (2)若是的平分线，写出与的数量关系，请说明理由． 【变式10-2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，D，E，F，G分别是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，请求出的度数． 【变式10-3】（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【考点题型十一】平行线中常考模型（） 【例11】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【变式11-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【变式11-3】（22-23七年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：． 证明：如图2，过点作， ， ，， ， ， ． 即． 可以运用以上结论解答下列问题： (1)【类比应用】 ①如图3，已知，已知，，求的度数； ②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (2)【拓展应用】 如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$