清单06 平面图形的认识（考点清单，知识导图+4个考点清单&10大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材青岛版

清单06 平面图形的认识 （4个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，不符合题意； B、，故不能组成三角形，不符合题意； C、，故不能组成三角形，不符合题意； D、，故能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为，则，即．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴A，B间的距离不可能是50米． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为21，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)10，2，9 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组求解即可； （2）由的周长为21，，，解方程组得出答案即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可知，． ，， ，， ， 解得． （2）解：根据题意，得， 解得， ， 解得， ，． 【考点题型二】利用三角形的中线性质求面积（） 【例2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据点E分别是的中点可得，同理可得即可解答． 【详解】解：∵点E分别是的中点， ∴， ∵点D分别是的中点， ∴． 故选C． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的面积为a，分别延长，使，，，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系在实际问题中的灵活应用，有一定难度．连接和，求出的面积为a，的面积为，的面积为a，的面积为a，的面积为，的面积为a，进而可得出答案． 【详解】解：连接和， ∵，的面积为a， ∴的面积为a， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为a，的面积为a， ∵， ∴的面积为，的面积为a， ∴的面积为， 故选：A 【变式2-3】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解： 为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【考点题型三】三角形中角平分线、高的综合运算（） 【例3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （2）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解： ，，， ， 平分， ， 为高， ， ． （2）解：为中线， ， ， . 【考点题型四】三角形角内外角平分线的综合（） 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ． 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【考点题型五】多边形的对角线（） 【例5】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，解题的关键是熟记如果一个多边形有条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成个三角形． 设多边形有条边，然后根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式，求出边数即可． 【详解】解：设多边形有条边，则， 解得， 故多边形的边数为，即它是八边形， 故选：． 【变式5-1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（   ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形． 依题意，得， ∴． 故这个多边形是15边形． 故选D． 【变式5-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 【答案】B 【分析】n边形对角线的总条数为：（，且n为整数），由此可得出答案． 【详解】解：六边形的对角线的条数为． 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·福建三明·期末）若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于能够熟练掌握n边形一个顶点出发可引出条对角线，可分成个三角形，据此求解即可． 【详解】∵过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 【考点题型六】截角问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 【变式6-1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 【变式6-3】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】首先求得内角和为1440°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为1440°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=1440， 解得：n=10． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是9或10或11． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，求出原来多边形的边数是关键． 【考点题型七】(正)多边形内角运算（） 【例7】（24-25八年级上·青海海北·期末）八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角，任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关． 【详解】解：八边形的外角和为， 故选A． 【变式7-1】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）一个n边形的每个内角均为，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．根据多边形的内角和公式：，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：A． 【变式7-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：A． 【考点题型八】多边形的外角（） 【例8】（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·深圳·期末）若一个正n边形的其中一个外角为，则n的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了多边形的外角和定理的应用，根据题意列式即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江·期末）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，如图，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，进而求出的度数，周角求出的度数，再求出的等度数即可． 【详解】解：如图， ∵正多边形的每个内角度数相等，每个外角的度数相等， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 【变式8-3】（24-25八年级上·广西贵港·期末）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键．根据外角和为，得出多边形的边数． 【详解】 ∴这个多边形的边数为 9． 故答案为：9 【考点题型九】多边形内角和外角综合运算（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用； （1）直接利用多边形的内角和定理求解即可； （2）设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，可得，求解，再结合外角和可得答案． 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 【变式9-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【详解】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求出它是几边形； (2)写出它有几条对角线． 【答案】(1) (2)条 【分析】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和是解题的关键． （1）设这个多边形有条边．可得，进一步计算即可求解； （2）根据对角线的计算公式计算即可． 【详解】（1）设这个多边形有条边，可得， 解得：， ∴它是八边形； （2）∵， ∴它有条对角线． 【考点题型十】 多边形内角和和外角和综合实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设边数为，根据题意， ， 则． 故选：C． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 【变式10-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式10-3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 平面图形的认识 （4个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 三角形的相关概念 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 4. 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 清单02 三角形中重要的三种线段 清单03 三角形的内角和外角 1.三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 2.三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 清单04 全等三角形 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 （3）n 边形的外角和： 360° （4）正多边形每个外角的度数： 【考点题型一】三角形的三边关系（） 【例1】24-25七年级上·山东烟台·期末）把一根的铁丝按下面选项中的长度剪开，剪成的三段拉直后首尾顺次相接可以围成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）现有长度分别为和的两根小木棒，下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形（三根小木棒首尾顺次相接）的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·期末）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，． (1)求c的取值范围． (2)若的周长为21，求a，b，c的值． 【考点题型二】利用三角形的中线性质求面积（） 【例2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，点D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的面积为a，分别延长，使，，，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【考点题型三】三角形中角平分线、高的综合运算（） 【例3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【变式3-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式3-2】（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 【考点题型四】三角形角内外角平分线的综合（） 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【考点题型五】多边形的对角线（） 【例5】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【变式5-1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可引12条对角线，则它是（   ） A．十二边形 B．十三边形 C．十四边形 D．十五边形 【变式5-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）六边形的对角线总条数是（   ） A．12条 B．9条 C．6条 D．3条 【变式5-3】（24-25七年级上·福建三明·期末）若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点题型六】截角问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式6-1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式6-2】（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【变式6-3】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 【考点题型七】(正)多边形内角运算（） 【例7】（24-25八年级上·青海海北·期末）八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）一个n边形的每个内角均为，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】多边形的外角（） 【例8】（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·深圳·期末）若一个正n边形的其中一个外角为，则n的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．4 【变式8-2】（24-25八年级上·浙江·期末）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级上·广西贵港·期末）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【考点题型九】多边形内角和外角综合运算（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【变式9-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【变式9-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求出它是几边形； (2)写出它有几条对角线． 【考点题型十】 多边形内角和和外角和综合实际应用（） 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$