清单04 整式的乘除（考点清单，知识导图+3个考点清单&12大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材青岛版

清单04 整式的乘除（3个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点题型一】同底数幂的乘法运算（） 【例1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选A． 【变式1-1】（2021·浙江丽水·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，求代数式的值，解题的关键是掌握：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知：，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方可得，然后根据同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：64． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（） 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，则（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练运用幂的运算法则理清指数的变化是解题的关键； 根据幂的运算法则将变形，将其转化为与已知条件，相关的形式，即把变形为，然后代入进行计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 利用积的乘方运算和幂的乘方法则计算，然后得到，，进而求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，要区分不同运算法则并准确运用．先算积的乘方，再算幂的乘方即可． 【详解】解：． 故选A． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意可得，，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 故选A． 【考点题型三】同底数幂的除法运算（） 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式3-1】（24-25八年级上·天津河北·期末）已知 ，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由可得，，再由即可求解．本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由得出，的值． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键． 由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（） 【例4】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （2）先算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再算乘法，后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）计算： 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键，直接利用实数运算的法则和性质计算即可． 【详解】解： 【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（） 【例5】（24-25八年级上·广东珠海·期末）在制作酸奶的实验中，某种球状乳酸菌的直径仅为0.6微米（1米微米），将0.6微米用科学记数法表示为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1米微米， 0.6微米米米． 故选：B． 【变式5-1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：700纳米米米， 故选：B． 【变式5-2】（2024·青海·一模）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·海南海口·期末）某化学研究所检测一种材料分子的直径为米．将用科学记数法表示为的形式，则的值是（   ） A． B． C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【考点题型六】整式的乘法（） 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是（   ）． A．0 B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，根据，得到，利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，再利用整体代入法求值即可．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算是关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘单项式，根据多项式乘单项式的法则进行计算，即可作答． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键． 根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方及整式的乘法混合运算． （1）先计算积的乘方，单项式乘单项式，再合并即可得解； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型七】整式乘法的应用（） 【例7】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积． 根据已知图形得出阴影部分的面积是：，求出结果即可得解． 【详解】解：阴影部分的面积是： ， ， ， 故选：A． 【变式7-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算的应用．先求得改变后花坛的长为，宽为，再利用长方形的面积公式列式即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长为，宽为， 则这个花坛扩展后的面积为， 故选：D． 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，若要拼出一个面积为的长方形，则需要C号卡片 张． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：∵； ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片13张． 故答案为：13． 【变式7-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式运算的实际应用： （1）用长方形的面积公式进行计算即可； （2）用大长方形的面积减去泳池的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：长方形游泳池面积为； （2）解：； 答：休息区面积为． 【变式7-4】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ； (2)由图3可得等式： ； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积，即可得出结论； （2）大正方形的面积，大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积，即可得出结论； （3）利用（2）中的结论进行求解即可； 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． 【考点题型八】整式除法运算（） 【例8】（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可 本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 【详解】解： 故选：A 【变式8-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握整式乘除运算的法则是解题的关键． 先运用积的乘方和幂的乘方进行化简，然后分子分母约去公因式即可得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 【考点题型九】平方差及几何意义（） 【例9】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解； ②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 【变式9-1】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 【变式9-2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： （1）用两种方式表示剩余的面积，即可得出结论； （2）利用（1）种结论，进行计算即可； （3）先利用（1）种结论进行化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以， 故选：C； （2），且， ； （3） ． ． 【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【考点题型十】完全平方及几何意义（） 【例10】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形. (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题： ①已知小长方形的周长为，面积为，则阴影部分的边长是________. ②若，，求. 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，平方根的定义，二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式正确解答的关键． （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）①设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可； ②根据完全平方公式变形求值，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）由（1）知：图2中阴影部分的面积为， 阴影部分的面积也可以看作大正方形与个小长方形的面积差，即为， ∴代数式，和之间的数量关系是：； （3）解：①这个小长方形的长为，宽为，则，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴阴影部分的边长是． 故答案为：． ②∵，， ∴ ∴ 【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是； （2）先求出，得出，再根据即可得出答案； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． 【变式10-2】（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 【变式10-3】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 【例11】（24-25七年级上·江苏南京·期中）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项即可得出答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式四则混合运算，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的运算． （1）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式11-2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行积的乘方运算，然后进行单项式乘以单项式运算即可； （2）首先进行单项式乘以单项式运算、积的乘方运算和同底数幂除法运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十二】整式的化简求值（） 【例12】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，整式的化简求值是解题的关键． 根据完全平方公式，多项式乘以多项式计算，然后合并同类项，进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-1】（24-25八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，原式利用多项式乘单项式，多项式乘多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】                                                                             当， 时，原式． 【变式12-2】（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式的化简求值，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内单项式乘以多项式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后根据平方和绝对值的非负性求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 整式的乘除（3个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 清单02 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单03 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 【考点题型一】同底数幂的乘法运算（） 【例1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2021·浙江丽水·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知：，则 ． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（） 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，则（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【变式2-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】同底数幂的除法运算（） 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·天津河北·期末）已知 ，则（　　） A． B．1 C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ． 【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（） 【例4】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算： 【变式4-1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）计算：． 【变式4-2】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算 (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）计算： 【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（） 【例5】（24-25八年级上·广东珠海·期末）在制作酸奶的实验中，某种球状乳酸菌的直径仅为0.6微米（1米微米），将0.6微米用科学记数法表示为（   ）米． A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·青海·一模）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25八年级上·海南海口·期末）某化学研究所检测一种材料分子的直径为米．将用科学记数法表示为的形式，则的值是（   ） A． B． C．8 D．7 【考点题型六】整式的乘法（） 【例6】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是（   ）． A．0 B．1 C． D．无法确定 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东湛江·期末）计算：__________． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南安阳·期中）计算： (1) (2)． 【考点题型七】整式乘法的应用（） 【例7】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，若要拼出一个面积为的长方形，则需要C号卡片 张． 【变式7-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 【变式7-4】（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ； (2)由图3可得等式： ； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【考点题型八】整式除法运算（） 【例8】（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ． 【变式8-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【考点题型九】平方差及几何意义（） 【例9】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【变式9-1】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【变式9-2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【考点题型十】完全平方及几何意义（） 【例10】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形. (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题： ①已知小长方形的周长为，面积为，则阴影部分的边长是________. ②若，，求. 【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【变式10-2】（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)填空：①若，则 ； ②若，则 ． (3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式10-3】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【考点题型十一】整式的混合运算（） 【例11】（24-25七年级上·江苏南京·期中）化简 (1)； (2)． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式11-2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式11-3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 【考点题型十二】整式的化简求值（） 【例12】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式12-1】（24-25八年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式12-2】（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）先化简，再求值：，其中满足． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$