清单05 因式分解（考点清单，知识导图+6个考点清单&9大题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材青岛版

清单05 因式分解 （6个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 清单02 公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； 清单04 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 清单05 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 清单06 分组分解 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 【考点题型一】 判断是否是因式分解（） 【例1】（24-25八年级上·山东东营·期中）下列各等式从左到右属于因式分解变形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形中属于因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【变式2-1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【变式2-2】（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式2-3】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】公因式（）、 【例3】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023八年级上·全国·专题练习）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东淄博·期中）多项式的公因式为 ． 【考点题型四】提公因式（） 【例4】（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【变式4-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）因式分解： ． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）因式分解： ． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 【考点题型五】运用公式法因式分解（） 【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解： ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： ． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期末）分解因式： ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（） 【例6】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）分解因式： ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式6-2】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）分解因式： ． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）因式分解： ． 【考点题型七】十字相乘法分解因式（） 【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【考点题型八】分组分解法分解因式（） 【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 因式分解 （6个考点梳理+9大题型解读+提升训练） 清单01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式 清单02 公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 清单03 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； 清单04 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 清单05 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 清单06 分组分解 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 【考点题型一】 判断是否是因式分解（） 【例1】（24-25八年级上·山东东营·期中）下列各等式从左到右属于因式分解变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不是因式分解，不符合题意； B、，选项因式分解错误，不符合题意； C、，选项因式分解错误，不符合题意； D、，是因式分解且分解正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列等式变形中属于因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，即：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A．，符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意； B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左边到右边的变形是否是因式分解，只需根据定义来确定即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（） 【例2】（24-25八年级上·云南昭通·期末）若多项式能因式分解为，则的值是（   ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式2-1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，将展开，利用对应项相同，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式2-2】（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 【变式2-3】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 【考点题型三】公因式（）、 【例3】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得公因式是，解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：C． 【变式3-1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选D． 【变式3-2】（2023八年级上·全国·专题练习）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式，找出多项式中各项的系数的最大公约数，以及相同字母的最低指数次幂，即可得到答案． 【详解】解：系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴公因式为． 故选：C． 【变式3-3】（23-24八年级上·山东淄博·期中）多项式的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式中， 系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是， 因此公因式是． 故答案为：． 【考点题型四】提公因式（） 【例4】（24-25八年级上·云南临沧·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式4-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，先对式子进行变形，提取公因式，即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 【答案】220 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解的应用，先因式分解，然后将，，，代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 故答案为：220． 【考点题型五】运用公式法因式分解（） 【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，由即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式5-1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法分解因式，涉及完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键；整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（） 【例6】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式6-2】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合提公因式法和公式法分解因式， 先提公因式b，然后利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【考点题型七】十字相乘法分解因式（） 【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； 根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 【考点题型八】分组分解法分解因式（） 【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法． 先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． （1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 【考点题型九】因式分解的应用（） 【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$