精品解析：2025年甘肃省定西市安定区城区三校联考三模数学试题

定西市安定区城区联考三模 九年级数学试卷 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 图中几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 若，则的余角为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点M为的中点，连接，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 6. 如图，是的直径，弦与相交，连接，过点C作的切线，交的延长线于点P，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 定西某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，校团委以“我喜欢的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查（每名被调查的学生必须选择且只能选择一个书籍类型），收集整理学生喜欢的书籍类型（A：科普，B：文学，C：体育，D：其他）后，绘制的统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　） 类型 人数（人） A B 60 C D 30 A. 本次抽样调查中喜欢文学类书籍的人数是60人 B. 本次抽样调查的样本容量为200 C. 本次抽样调查中喜欢其他类书籍的人数占比为15% D. 若该校有3000名学生，则该校学生中喜欢科普类书籍的人数约为500人 9. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，线段BP的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　） A. (4，) B. (4，) C. (3，) D. (3，) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：=______． 12. 对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则___________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则___________．（写出一个满足条件的值） 14. 函数中自变量x的取值范围是________． 15. 某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是___________m． 16. 在中，，， ，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中 20. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题： 如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）； ④作射线、，则射线、即为所求射线． 21. 为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C．足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等． （1）小军选修的课程是篮球的概率　　　． （2）若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率． 22. 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，是A到l的小路．现新修一条路到公路l．小明测量出，，．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度？（精确到；参考数据，，，，，）． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了更好地满足家长和学生的需求，扬州某中学校积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，开设了“法眼看世界，科幻时空，羽你争锋，篮球小将．．．．．．”等社团课程供学生自由选择．为了了解学生对课后延时服务的满意情况（A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意），在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）=______，=______； （2）扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角为______度； （3）若该校有4000名学生，请你估计全校学生对课后延时服务满意度达到A级和B级共有多少人？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． （1）分别求出直线与双曲线的函数解析式； （2）求的面积． 25. 如图，已知为的外接圆，为的直径，作射线，使得，过点A作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 26. 【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 27. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定西市安定区城区联考三模 九年级数学试卷 （满分：120分时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 2. 图中几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大， 故选D． 3. 若，则的余角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了余角，正确把握余角的定义是解题关键．余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 直接利用余角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故选：B． 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则，单项式除以单项式法则，积的乘方法则，单项式乘以单项式法则逐项判定即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故不符题意； B．，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 5. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点M为的中点，连接，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质及点M为的中点，得到，由，得到，推出是等边三角形，得到，即可的代结果． 【详解】解：在菱形中，， ， 点M为的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6. 如图，是的直径，弦与相交，连接，过点C作的切线，交的延长线于点P，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，利用切线的性质和三角形内角和定理求出，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：D． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 定西某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，校团委以“我喜欢的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查（每名被调查的学生必须选择且只能选择一个书籍类型），收集整理学生喜欢的书籍类型（A：科普，B：文学，C：体育，D：其他）后，绘制的统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　） 类型 人数（人） A B 60 C D 30 A. 本次抽样调查中喜欢文学类书籍的人数是60人 B. 本次抽样调查的样本容量为200 C. 本次抽样调查中喜欢其他类书籍的人数占比为15% D. 若该校有3000名学生，则该校学生中喜欢科普类书籍的人数约为500人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频繁数统计表和扇形统计图，由样本估计总体，解题的关键是：从统计图表中获得信息． 由频数统计表可知：本次抽样调查中喜欢文学类书籍的人数是60人，即可判定A；由喜欢文学类书籍的人数除以占比，即可判断B；由喜欢其他类书籍的人数除以样本容量乘以，求出喜欢其他类书籍的人数占比即可判断C；用该校人数乘以样本中喜欢科普类书籍的人数占比，即可判断D． 【详解】解：A、由频数统计表可知：本次抽样调查中喜欢文学类书籍的人数是60人，正确，故此选项不符合题意； B、本次抽样调查的样本容量为（人），正确，故此选项不符合题意； C、本次抽样调查中喜欢其他类书籍的人数占比为，正确，故此选项不符合题意； D、若该校有3000名学生，则该校学生中喜欢科普类书籍的人数约为（人），原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在中，，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，线段BP的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　） A. (4，) B. (4，) C. (3，) D. (3，) 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点的坐标与三角形的边之间的关系．根据图2确定点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，然后求值即可． 【详解】解：由题意可知，当点在边上时，的值先减小后增大，当时，当时y有最小值, ∴，， ∴，， ∴ 当点运动到点C时，线段达到最大，即点M的位置， ∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度， ∴点M的坐标为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 12. 对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，有理数混合运算．理解新定义是解题的关键． 根据新定义的运算得到，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则___________．（写出一个满足条件的值） 【答案】1（答案不唯一小于都行） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解题意，掌握根的判别式是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得，， ∴， 故答案为：1（答案不唯一小于都行）． 14. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 15. 某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是___________m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是用待定系数法求出函数关系式． 由题意得，右侧抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入，求出a值，即可得到抛物线解析式，然后把人攻求出x，即可得到点E坐标，又由点C、E关于对称，求得点C坐标，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，右侧抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 当时，则， 解得：，， ∴， ∵点C、E关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，， ，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及解直角三角形三角形，得出，的长是解题关键． 解直角三角形求得，由点D是边的中点得出，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D是边的中点． ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质先化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求解两个不等式，即可得出不等式组的解． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先运算乘法，化简得，再进行减法，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入， 得． 20. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的，但对于特定度数的已知角，如角，角等，是可以用尺规进行三等分的，请你完成下面的作图题： 如图，已知，点C是上一点，求作射线、，使得射线与将三等分．（按下列步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以O、C为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点D，在下方交于点F，连接； ②作直线交于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交线段于点E（点E不与点C重合）； ④作射线、，则射线、即为所求射线． 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】此题考查了圆的性质，等边三角形的性质，根据作法补全图形即可；首先证明出为等边三角形，然后得到，然后根据直径的性质得到，然后根据三线合一性质证明即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ， ， 为的直径， ， 又， 平分（等腰三角形三线合一）， ， ， 即射线三等分． 21. 为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C．足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等． （1）小军选修的课程是篮球的概率　　　． （2）若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率． （1）根据没有篮球课程，可得小军选修的课程是的概率为0，即可； （2））画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两人恰好同时选修球类课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵没有篮球课程， ∴小军选修的课程是的概率为0； 故答案为：0 【小问2详解】 解：画树状图如图：    共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种， 则两人恰好同时选修球类的概率是． 22. 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，是A到l的小路．现新修一条路到公路l．小明测量出，，．请你帮小明计算他家到公路l的距离的长度？（精确到；参考数据，，，，，）． 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，，代入数值化简得，在中，，代入数值化简得，结合，，代入数值进行计算，可得答案．本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，灵活的应用锐角三角函数建立方程是解本题的关键． 【详解】解：设， ∵，， ∴在中，， 即， ∴， ∴在中，， 即， ∴， ∵，， ∴， 解得 ∴小明家到公路的距离的长度约为． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为了更好地满足家长和学生的需求，扬州某中学校积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，开设了“法眼看世界，科幻时空，羽你争锋，篮球小将．．．．．．”等社团课程供学生自由选择．为了了解学生对课后延时服务的满意情况（A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意），在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）=______，=______； （2）扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角为______度； （3）若该校有4000名学生，请你估计全校学生对课后延时服务满意度达到A级和B级共有多少人？ 【答案】（1）63，44 （2）18 （3）2960 人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键． （1）由比较满意的学生人数有90人，占，求出参与调查的总人数，进而求出m，n的值即可； （2）用D的学生人数除以参与调查的总人数乘以即可； （3）用总人数乘以达到A级和B级的百分比之和即可． 【小问1详解】 解：由条形图与扇形统计图可知：比较满意的学生人数有90人，占， 参与抽查的学生人数为人， ， ， ， 故答案为：63，44； 【小问2详解】 扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角为， 故答案为：18； 【小问3详解】 根据题意可得：人， 答：对课后延时服务满意度达到A级和B级共有2960人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． （1）分别求出直线与双曲线的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）双曲线的函数解析式为，直线的函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求得，再把代入求得，进而利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据题意求得，即，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， ∴双曲线的函数解析式为， ∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， 解得， ∴， ∵直线经过点，， 把、代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：过点A作的延长线交于点D， ∵轴，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次解析式和反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，已知为的外接圆，为的直径，作射线，使得，过点A作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接； ∵为的直径， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识． （1）要证为的切线，连接，只证即可． （2）根据三角函数的知识可求出，从而根据勾股定理求出的长，根据三角函数的知识即可得出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的半径为． 26. 【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 【答案】 （1）解：．理由如下： ∵， ∴， ， ∵正方形， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ； （2）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． ∵正方形， ∴， ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ． 由（1）知， ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，关键是要能根据题意构造出全等三角形，即作出合适的辅助线，截取等长线段作辅助线是解决此类题型常用的方法． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，连接．再证明．由（1）知，即可得出结论； （3）在上取一点，使，连接，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）． 如图，在上取一点，使，连接， 由平行且等于得四边形为平行四边形， 平行且等于． ，． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 27. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设，则，然后求出，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，然后过点B作，使，连接，，则有，则可得到当，G，C三点共线时，取得最小值，然后解题即可． 【小问1详解】 解： 抛物线过点， 解得． ． 【小问2详解】 解：设，则， 由，得， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 点在直线上， ， ． 将代入， 解得（不合适的值已舍去）， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，． 过点作，使，连接， ． ， ． 要使的值最小，则的值最小， 当三点共线时，取得最小值． 又， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $