第17章 专项2 勾股定理与最短路径问题&专项3 勾股定理中的教学思想方法-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（人教版）

参考答案及解析 题型变式 5.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90°， 1.C[解析]因为ac2-bc2=(a-b)(a2+b),所以 因为AB+BC2=52+12=13=AC, (a-b)(a2+62-e2)=0.所以a-b=0或a2+6 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° c2=0,即a=b或a2+b=e2,因此△ABC是等腰三 因为∠BEC=90°， 角形或直角三角形 所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE的长， 2.解：如答图，连接AC 由Sam=号B·BC=4C·BE,得跳= 在R△ACD中，由勾股定理，得AC=/AD+CD =4+3=5(米)， 骨海里 在△ABC中，：AC2+BC=52+12=169,AB2=13 由C+BE=BC,得CE=岩海里. =169. 借135-085（时）=51（分 144 .AC +BC2 =AB, ,△ABC是直角三角形. 所以走私艇C到点E的时间为10时4分. ∴这块地的面积为5：-S。心=宁x5x12-号 答：走私艇C最早在10时41分进人我国领海. 专项2勾股定理与最短路径问题 ×3×4=24(米2). 1.3[解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E,与 AD交于点P,此时PE+PC的值最小，，△ABC是 等边三角形，且D是BC的中点，∴AD⊥BC,PC =PB,PE+PC=PB+PE=BE,即BE的长就是 2题答图 PE+PC的最小值.：△ABC是一个边长为2的等 3.解：BD+AD=6+82=10=AB, 边三角形，∴CE=1,∴在R△BCE中，由勾股定 :△ABD是直角三角形.：AD⊥BC 理，得BE=、2-下=3，.PE+PC的最小值 在R△ACD中，CD=/AC-AD=15, 是3 ∴.BC=BD+CD=6+15=21. 4.解：如答图，以AP为一边作等边三角形APQ,连接 CQ,则∠QAP=∠APQ=60°，AQ=PQ=AP=√3. :∠BAC=∠PAQ=60°， ∴，∠BAP=∠CAQ 1题答图 2题答图 在△ABP和△ACQ中， 2.B[解析]如答图，连接ED交AC于点F',连接BF AP=AQ. :四边形ABCD是正方形， ∠BAP=∠CAQ, 点B与点D关于AC对称.BF=DF LAB=AC, .△BF'E的周长=BF+EF'+BE=DE+BE,此时 .△ABP≌△ACQ(SAS), 4题答图 △BEF的周长最小 CQ =BP=2. 由勾股定理，得DE=5,则△BFE的周长=DE+ 在△PCQ中，PQ+CP=CQ, BE=5+1=6. ∴.△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°， 3.C4.B ∠AP℃=60°+90°=150 5.15[解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行 ·15· 八年级数学（下册） 的最短路程.由题意，得CD=9cm,AD=3+9= PC2=10.综上所述，AP2的值为10或13. 12(cm),∴，AC=√AD+CD=√⑨2+12= 15(cm). 1题答图① 1题答图② 2.解：分两种情况： 5题答图 ①当高CD在△ABC内部时，如答图①. 6.解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平 CD⊥AB,∠CDA=90 面，连接CD,如答图①，沿DC爬行路程最短。 CD=5,AD=1. ,长方体盒子的长、宽、高分别是12cm,8cm, ∴.AC=AD+CD=2. 30cm, .AB =2AC,.'.AB=4, .AD=DE+AE=20 cm.AC=AB=15 cm. .BD=AB-AD=4-1=3, 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD= .BC=√BD+CD=√32+(5)2=23： √/AD+AC=√202+15=25(cm). ②当高CD在△4BC外部时.如答图②. 同理，可得AC=2,AB=4. 故最短路程是25cm. ,.BD=AB+AD=4+1=5 .BC=√CD+BD=√(3)2+52=2万. 综上所述，BC的长为23或2万 6题答图① 6题答图② (2)如答图②，连接AG,BG. 2随容图① 2题答图② 在Rt△BFG中.GF=12cm,BF=8cm, 3.C[解析]在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,所 由勾股定理，得GB=GF+BF=√12+8= 以AB2=AC2+BC,所以△ABC是直角三角形，因 4√13(cm). 为AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,所以 在Rt△AGB中，GB=413cm,AB=30cm, AD=DB,设CD为x,则AD=DB=8-x,在Rt△CDB 由勾股定理，得AG=√AB+GB 中，由勾股定理，得CD+BC2=DB,即x2+62= 302+(413)2=2/277(cm). （8-到.解得x=子，即C0=子 故能放入木棒的最大长度是2/277cm. 4.3cm[解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG 专项3勾股定理中的数学思想方法 ∴.FD=CD=AB=6cm,FG=CG,∠DFG=∠C 1.10或13[解析]分两种情况：①如答图①，当点P =90°， 是靠近点B的三等分点时，因为AC=BC=3,所以 在Rt△BCD中，BC=8cm,CD=AB=6cm, PB=}BC=1,所以CP=2,所以AP=AC+PC= 根据勾股定理，得BD=√8+6=10(cm), .BF=BD-DF =10-6=4(cm). 13:②如答图②，当点P是靠近点C的三等分点时， 在R△BGF中，设FG=CG=xcm,则有BG=BC- AC=BC=3,所以PC=宁BC=l,所以AP=AC+ CG=(8-x)cm, ·16· 参考答案及解析 根据勾股定理，得(8-x)2=x2+42, .△DEF≌△FGH(AAS),∴DE=FG,EF=GH.在 整理，得-16x+64=16.即16x=48, Rt△DEF中，由勾股定理，得DF=DE+EF2=DE 解得x=3,则FG=3cm +Gf,∴.Se=S,+Sc=4+3=7. 5.解：由折叠性质可知，BE=BC=3cm,DE=DC. ∠BED=∠C=90°， ∴.∠AED=90°， 7题容图 ·AB=5cm.:∴，AE=AB-BE=2cm 易错疑难集训二 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, 1.解：当第三边为斜边时，6和8分别是两直角边的长， .AC=√AB-BC=4cm 由勾股定理，得第三边的长为√6+8=10.当第 设AD=xem,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm, 边为直角边时，斜边长为8，由勾股定理，得第三边的 在R△ADE中，AE2+DE2=AD,即22+(4-x) 长为、82-6=2/7..第三边的长为10或2万. =x2 解得x=2.5,∴.AD=2.5cm 易错分析 6.C[解析]分三种情况： 在直角三角形中，已知两边求第三边，且没 (1)经过前面和右面或经过左面和后面，这时妈蚁 有说明哪条边是斜边时，应分两种情况讨论：① 爬行的最短路线是长为4+6=10(cm),宽为3cm 已知两边为直角边：②两边中的较长边为斜边： 的长方形的对角线（如答图①中的AB),其长 2.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 为/109cm. 由题意可得，△ABC的周长=AB+AC+BC=15+ (2)经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是 长为3+6=9(cm),宽为4cm的长方形的对角线 13+14=42. 当△ABC为钝角三角形时，如答图②， (如答图②中的AB),其长为√97cm 在RI△ACD和R△ABD中， (3)经过左面和上面，这时妈蚁爬行的最短路线是 由勾股定理，得 长为3+4=7(cm),宽为6cm的长方形的对角线 CD=√AC2-AD=√132-122=5 (如答图③中的AB),其长为85cm BD=√/AB2-AD=√/152-122=9. 比较(1)(2)(3)的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的 ∴BC=BD-CD=9-5=4. 长为√85em. ∴.△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+4=32. 综上所述，△ABC的周长为42或32 6题答图①6题答图② 6题答图③ 7.B[解析]如答图，A,B,C都是正方形，DF= FH,∠DFH=9O°.：∠DFE+∠HFG=∠EDF+ 2题容图① 2题答图② ∠DFE=90°，∴.∠EDF=∠HFG :囂易错分析 ,∠EDF=∠GFH, 只考虑到三角形是锐角三角形的情形，容 在△DEF和△FGH中，{∠DEF=∠FGH, 易忽略了三角形是钝角三角形的情形，因此导 DF FH, 致漏解 ·17八年级数学（下册） 专项2 勾股定理与最短路径问题 [答案P15】 类型①平面图形上的最短路径问题 类型④长方体（或正方体）表面的最短路径问题 ①如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E,1 ⑤如图，有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要 P分别是线段AC,AD上的一个动点，已知AB= 沿正方体的表面从顶点A爬到点C(点C在一 2,AD=√3，则PE+PC的最小值是 条棱上，距离顶点B3cm处)，则这只蜜蜂需爬 行的最短路程是 cm. 1题图 5题图 2(恩施州中考)如图，正方形ABCD的边长为4,6如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动 12 cm,8 cm,30 cm. 点，则△BFE周长的最小值为 (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从 D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程 最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大 长度是多少？ 2题图 A.5 B.6 C.7 D.8 类型②台阶中的最短路径问题 3如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶 6题图 的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬() 50 10 单位：cm 3题图 A.13 cm B.40 cm C.130 cm D.169 cm 类型③圆柱表面的最短路径问题 4如图，有-一个长、宽各为2dm,高为3dm且封闭 的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点 B,那么这只昆虫爬行的最短路程为 4题图 A.3 dm B.4 dm C.5 dm D.6 dm 见此图标眠科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第十七章勾股定理 专项3勾股定理中的数学思想方法 [答案P16] 类型①分类讨论思想在勾股定理中的应用 5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC= ①在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC= 3cm,点D为AC上的一点，将△BCD沿BD折 3,点P为边BC的三等分点，连接AP,则AP2的 叠，使点C恰好落在AB上的点E处，求AD的长 值为」 2已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=√3， AD=1,AB=2AC,求BC的长 5题图 类型⑧转化思想在勾股定理中应用 类型②方程思想在勾股定理中的应用 6如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm,3cm的 3(洛阳伊滨区期中)如图，已知△ABC中，AB= 长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 10,AC=8,BC=6,AB的垂直平分线分别交AC, 处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对 AB于点D,E,连接BD,则CD的长为() 的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路 线的长是 () 3题图 6 cm 4 cm A.1 B.5 c D25 4 6题图 4(云南是明八中月考)把一张长方形纸片ABCD A.(3+2√97)cm B.√97cm 按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点 C.√85cm D.√/109cm F重合(E,F两点均在BD上)，折痕分别为BH, (林州文军实验学校期中)如图，直线1上有三个 DG.若AB=6cm,BC=8cm,则线段FG的长为 正方形A,B,C.若正方形A,C的面积分别为4 和3，则正方形B的面积为 () 7题图 A.6 B.7 C.10 D.25 4题图 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 23