专题4.11 一次函数（8大知识点7大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.11 一次函数（8大知识点7大考点17类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. （1）相交；（2）平行；（3）垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点与题型目录 【考点一】函数和它的表示方法 【题型1】函数概念..................................................................4; 【题型2】函数解析式自变量取值范围..................................................5； 【题型3】函数图象..................................................................5； 【考点二】正比例函数 【题型4】正比例函数的图象与性质....................................................6； 【题型5】正比例函数与几何综合......................................................7； 【考点三】一次函数图象 【题型6】一次函数图象的位置........................................................8； 【题型7】一次函数图象的位置求参数取值范围..........................................9； 【题型8】一次函数图象的平移（行）与对称............................................9； 【题型9】一次函数图象的与坐标轴交点坐标...........................................10； 【考点四】求一次函数的解析式 【题型10】求一次函数的解析式......................................................11； 【考点五】一次函数性质 【题型11】判断一次函数的增减性....................................................11； 【题型12】一次函数的增减性求参数取值范围..........................................12； 【题型13】比较一次函数值或自变量的大小............................................12； 【考点六】一次函数与方程、不等式 【题型14】一次函数与方程（组）....................................................12; 【题型15】一次函数与不等式........................................................13; 【考点七】一次函数的应用 【题型16】行程问题................................................................14； 【题型17】经济问题................................................................16. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】函数和它的表示方法 【题型1】函数概念 【例1】（22-23七年级下·山西临汾·期末）地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系： 深度/ 1 2 3 4 5 温度/ 55 90 125 160 195 （1）上表中自变量x是______，因变量y是_______． （2）请写出y与x的关系式． （3）根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【题型2】函数解析式自变量取值范围 【例2】（2022九年级下·全国·专题练习）求函数的自变量的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期末）一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式（指出自变量t的取值范围） ． 【题型3】函数图象 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： （1）图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； （2）图①中的图形的面积是多少？ （3）图②中b的值是多少？ 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）某天，我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇追赶（如图①）．图②中，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶 时间之间的关系，下列结论错误的是（   ） A．表示船到海岸的距离与追赶时间之间的关系 B．快艇的速度是 C．快艇在时追上了船 D．船逃到距离海岸前，快艇追上了船 【变式2】（2025·宁夏银川·一模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的面积为 ．    【考点二】正比例函数 【题型4】正比例函数的图象与性质 【例3】（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． （1）当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； （2）如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则k的值是（　　） A． B．4 C． D．2 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【题型5】正比例函数与几何综合 【例5】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． （2）求原点到直线的距离； （3）点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 【考点三】一次函数图象 【题型6】一次函数图象的位置 【例5】【变式1】【变式2】（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【题型7】一次函数图象的位置求参数取值范围 【例5】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）若关于的不等式组无解，且关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数的和是 ． 【题型8】一次函数图象的平移（行）与对称 【例7】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 【题型9】一次函数图象的与坐标轴交点坐标 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且． （1）直接写出点A、B、C 的坐标； （2）在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则 ． 【考点四】求一次函数的解析式 【题型10】求一次函数的解析式 【例9】（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象经过． （1）一次函数的表达式． （2）如果点关于原点O中心对称的对称点恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【考点五】一次函数性质 【题型11】判断一次函数的增减性 【例10】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 （1）当时，______；当时，______； （2）y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； （3）函数图象经过第______象限； （4）函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【题型12】一次函数的增减性求参数取值范围 【例11】（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． （1）当随的增大而增大时，求的取值范围； （2）若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； （3）若，当时，求的取值范围． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【题型13】比较一次函数值或自变量的大小 【例12】（22-23八年级上·福建厦门·期中）已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）若点和都在一次函数的图象上，试比较的大小，并说明理由． 【变式1】（19-20八年级上·广西贺州·期中）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【变式2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【考点六】一次函数与方程、不等式 【题型13】一次函数与方程（组） 【例13】（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． （1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 （2）求直线的解析表达式； （3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【题型15】一次函数与不等式 【例14】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接． （1）求两直线交点D的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______； （3）求的面积． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    【考点七】一次函数的应用 【题型16】行程与分配问题 【例15】（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； （2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【变式1】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小智和小能从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小智比小能先出发，且速度保持不变，小能出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为，小智和小能行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，有以下说法：①小智比小能先出发15秒；②小能提速后的速度为；③；④从小能出发至送餐结束，小能和小智最远相距． 正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【题型17】经济问题 【例16】（24-25九年级下·云南文山·期中）为实现乡村振兴目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了A，B两种新型农产品，并投入市场试销了3天，第一天销售产品100件，产品80件，销售额为4600元；第二天销售产品120件，产品100件，销售额为5600元． （1）求试销期间A，B两种产品的单价； （2）三天后开始网上试销，网上每天销售A，B两种型号的产品共200件，且每天销售B产品的数量不少于产品的数量的一半，产品价格保持市场销售价格不变．已知产品每件成本12元，产品每件成本8元，问两种型号产品各销售多少件时，可以使销售利润最大？ 【变式1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【变式2】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．（其中） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.11 一次函数（8大知识点7大考点17类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】函数的有关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 （3）一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点5】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点6】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点7】两条直线间的位置关系 设直线，. （1）相交；（2）平行；（3）垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点8】一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题的步骤： 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 考点与题型目录 【考点一】函数和它的表示方法 【题型1】函数概念..................................................................4; 【题型2】函数解析式自变量取值范围..................................................6； 【题型3】函数图象..................................................................7； 【考点二】正比例函数 【题型4】正比例函数的图象与性质...................................................11； 【题型5】正比例函数与几何综合.....................................................13； 【考点三】一次函数图象 【题型6】一次函数图象的位置.......................................................18； 【题型7】一次函数图象的位置求参数取值范围.........................................20； 【题型8】一次函数图象的平移（行）与对称...........................................22； 【题型9】一次函数图象的与坐标轴交点坐标...........................................24； 【考点四】求一次函数的解析式 【题型10】求一次函数的解析式......................................................28； 【考点五】一次函数性质 【题型11】判断一次函数的增减性....................................................31； 【题型12】一次函数的增减性求参数取值范围..........................................33； 【题型13】比较一次函数值或自变量的大小............................................35； 【考点六】一次函数与方程、不等式 【题型14】一次函数与方程（组）....................................................37; 【题型15】一次函数与不等式........................................................41; 【考点七】一次函数的应用 【题型16】行程问题................................................................43； 【题型17】经济问题................................................................48. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】函数和它的表示方法 【题型1】函数概念 【例1】（22-23七年级下·山西临汾·期末）地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系： 深度/ 1 2 3 4 5 温度/ 55 90 125 160 195 （1）上表中自变量x是______，因变量y是_______． （2）请写出y与x的关系式． （3）根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度． 【答案】（1）深度，温度；（2）；（3） 【分析】（1）由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度； （2）由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35，可得，整理即可； （3）将代入，计算求解即可． 解：（1）解：由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度， 故答案为：深度，温度； （2）解：由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35， ∴， ∴y与x的关系式为； （3）解：将代入得， ∴地表以下7处岩层的温度为． 【点拨】本题考查了自变量、因变量，用关系式表示变量间的关系，求函数值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； B．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； C．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故是的函数； D．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如图，故不是的函数； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 【题型2】函数解析式自变量取值范围 【例2】（2022九年级下·全国·专题练习）求函数的自变量的取值范围． 【答案】或. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0且分母不为0，即可得出自变量的取值范围． 解：要使函数有意义， 则， 即①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得 ∴自变量取值是或． 【点拨】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，必须满足分母不为0，若函数表达式中有二次根式，则也要满足被开方数大于等于0． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·广东茂名·期末）一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式（指出自变量t的取值范围） ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据总容量蓄水量单位时间内的注水量注入时间就可以表示出与之间的关系式，再根据水池的容积是求出自变量的取值范围． 解：由题意，得， 水池的容积是， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【题型3】函数图象 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： （1）图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； （2）图①中的图形的面积是多少？ （3）图②中b的值是多少？ 【答案】（1）8，24；（2）图①中的图形的面积为；（3） 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 解：（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 综上：． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）某天，我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇追赶（如图①）．图②中，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶 时间之间的关系，下列结论错误的是（   ） A．表示船到海岸的距离与追赶时间之间的关系 B．快艇的速度是 C．快艇在时追上了船 D．船逃到距离海岸前，快艇追上了船 【答案】C 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，方程的应用；根据图象可得表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系，再分别求解，的速度并进一步分析即可． 解：当时，A距海岸，即，故表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系，故A不符合题意； 当时，， ∴快艇的速度是，故B不符合题意； 当时，， ∴船的速度为， ∴快艇追上船的时间为分钟， ∴， 解得：， ∴， ∴C符合题意，D不符合题意； 故选：C 【变式2】（2025·宁夏银川·一模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得， 当点P从B到D时，对应图2中曲线，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 当点运动到的中点处时，． 故答案为： 【考点二】正比例函数 【题型4】正比例函数的图象与性质 【例3】（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． （1）当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； （2）如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案； （2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可． 解：（1）解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； （2）解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）已知正比例函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则k的值是（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，把代入求出k，m的值，再根据y随x的增大而减小，确定k的值． 解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 【题型5】正比例函数与几何综合 【例5】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． （2）求原点到直线的距离； （3）点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 【答案】（1）直线的表达式为，，；（2）；（3）最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数，函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出直线的解析式． （1）先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据平移即可求解； （2）过点作于点，根据（1）可得，，，最后根据即可求解； （3）先求出点的坐标，将点、的坐标分别代入中，求出的范围，即可求解． 解：（1）解：设正比例函数的解析式为，将点代入得：， 正比例函数的解析式为， 正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为：， 令，则；令，则， ，； （2）过点作于点， 由（1）知，， ，，， ， ， 原点到直线的距离为； （3）点是直线：上的一点， ，即， 点， 当直线：经过点时，， 解得：， 当直线：经过点时， ， 解得：， ， 最小值为． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，全等三角形的判定和性质．利用待定系数法求得正比例函数的解析式，求得，过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可． 解：∵设正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图象经过， ∴， ∴， 过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，如图， ∴，， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点三】一次函数图象 【题型6】一次函数图象的位置 【例5】【变式1】【变式2】（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出，，得出函数的解析式为，即可得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可． 解：实数，满足， 即， ，， ，， 函数的解析式为， 此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是解题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 解： 当时，正比例函数的图象经过一三象限，一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意； 当时，正比例函数的图象经过二四象限，一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不平行，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型7】一次函数图象的位置求参数取值范围 【例5】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案． 解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交， ∴函数经过一、三、四象限， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点，设一次函数的解析式为，根据直线经过第一、二、三象限，得到，再根据一次函数的性质即可得出结论，掌握一次函数的性质是解题的关键． 解：设直线的解析式为， ∵直线经过第一、二、三象限， ∴， 由于点在直线上， ∴，即， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∵， ∴，故选项B不符合题意； 当时，， ∵， ∴，故选项C不符合题意； ∴，即，故选项A不符合题意； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）若关于的不等式组无解，且关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，解不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式中两个不等式，再根据不等式组无解求出；根据一次函数图象经过第一、三、四象限时，一次项系数和常数项都为负数列出关于a的不等式组，解不等式组确定a的取值范围，再求出满足题意的整数a，最后求和即可． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， ∴； ∵关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限， ∴， ∴； 综上所述，， ∴符合题意的整数a的值可以为3和4， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 【题型8】一次函数图象的平移（行）与对称 【例7】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【答案】（1），；（2）图象见分析，； 【分析】此题考查了一次函数与几何变换，涉及的知识有：平移的性质及图象的画法，熟练掌握平移性质是解本题的关键． （1）利用平移规律“上加下减”确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律确定出平移后函数解析式，然后再画出图形． 解：（1）由图象知，l1是将的图象向上平移3个单位长度得到的，其函数表达式为； 是将的图象向下平移2个单位长度得到的，其函数表达式为； （2）将的图象向上平移2个单位长度得到的函数表达式为； 将的图象向下平移3个单位长度得到的函数表达式为； 函数图象如图所示： 故答案为：yx+2；yx﹣3． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的值相等列式进行计算即可得解，熟记并利用平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 解：∵直线与直线平行， ∴， 解得：或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 解：将直线向左平移个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 【题型9】一次函数图象的与坐标轴交点坐标 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且． （1）直接写出点A、B、C 的坐标； （2）在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，勾股定理，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）把代入求出x的值，即可得出点A的坐标； 把代入求出y的值，即可求出B的坐标；根据，求出，即可求出点C的坐标； （2）连接，设，则，在中，根据勾股定理可得：，据此列出方程求出x的值，进而得出，即可求出点P的坐标． 解：（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质．根据轴对称的性质求得，推出，和都是等腰直角三角形，利用证明，得到点，据此求解即可． 解：令，则，令，则， ∴，，，， 设， ∵点C落在直线上，则， ∵C是点A关于直线的对称点， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形， ∴， 作轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点直线上， ∴， 解得， ∴点M的纵坐标是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求得交点并利用分数的减法进行变形化简是解题的关键．分别令和，求得直线与坐标轴的交点坐标，再分别求得、和的面积，再进行化简计算即可． 解：令，可得， 令，可得， ∴直线与坐标轴的交点为，， ∴， ， …… ， ∴ ， 故答案为：． 【考点四】求一次函数的解析式 【题型10】求一次函数的解析式 【例9】（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数（）的图象经过． （1）一次函数的表达式． （2）如果点关于原点O中心对称的对称点恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）先求出点关于原点O中心对称的对称点，然后代入求值． 解：（1）解：把代入， 得， 解得， ∴． （2）解：点关于原点O中心对称的对称点， 代入中得， 解得， ∴点A的坐标为． 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 先由函数图象用待定系数法求出一次函数解析式，再逐项判断即可． 解：由图可知：函数图象经过点，， 把，代入得 ， 解得：，     ∴， A、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； B、当时，，所以在一次函数图象上，故此选项符合题意； C、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形面积、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当，则，当，则， ∴，， 设点的坐标为，则， 的面积等于4， ， 解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 【考点五】一次函数性质 【题型11】判断一次函数的增减性 【例10】（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知函数 （1）当时，______；当时，______； （2）y随x的增大而______；图象上有两点，，若，则_____； （3）函数图象经过第______象限； （4）函数图象与x轴的交点坐标为______，与 y轴的交点坐标为______． 【答案】（1）；；（2）减小；>；（3）一、二、四；（4）； 【分析】（1）将代入，求出对应的y值；将代入，求出对应的x值； （2）根据一次函数的增减性作答即可； （3）分别求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标并作出图象，根据图象判断即可； （4）根据（3）作答即可． 解：（1）解：当时，； 当时，得， 解得 故答案为：； （2）， ∴y随x的增大而减小， ， 故答案为：减小； （3）当时，；当时，， 函数经过坐标和， 函数的图象如下： 由图象可知，函数经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． （4）由（3）可知，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 故答案为：； ． 【点拨】本题考查函数值、解一元一次方程、一次函数的图象和性质，掌握一元一次方程的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的值可判断选项A、B、D；令，求得，则可判断选项C． 解：A、当时，，直线在轴上的截距为，故原说法正确， B、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故原说法正确， C、直线在轴上方的点，即，则横坐标的取值范围是，故原说法错误， D、，该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，故原说法正确， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 【题型12】一次函数的增减性求参数取值范围 【例11】（23-24八年级下·河北邢台·期中）已知关于的一次函数． （1）当随的增大而增大时，求的取值范围； （2）若函数图像经过第一、二、三象限，求的取值范围； （3）若，当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）； （1）依题意，，解不等式，即可求解； （2）根据函数图像经过第一、二、三象限，得出，解不等式组，即可求解； （3）依题意，函数解析式为：，根据，随的增大而增大，分别求得时的函数值，即可求解． 解：（1）解：依题意，， 解得： （2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴函数解析式为：， ，随的增大而增大 当时，，当时，， ∴当时， 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键． 根据一次函数图象的性质，分类讨论求解． 解：函数的图象上有两点， 当时，，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当时，即，，随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴，不符合题意； 当，时，，，若， ∴， 解得，， 综上所述，当时，， 故选：A ． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可． 解： ， ， 故答案为：． 【题型13】比较一次函数值或自变量的大小 【例12】（22-23八年级上·福建厦门·期中）已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）若点和都在一次函数的图象上，试比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）详见分；（2）；理由详见分析． 【分析】（1）根据两点确定一条直线，对一次函数取两点、，过这两点作直线即可； （2）解法一：根据一次函数，y随x的增大而减小可得出答案； 解法二：将点和分别代入一次函数之中求出p，q，然后再比较大小即可． 解：（1）对于， 当时，， 当时，， 过点和作直线即为一次函数的图象．    （2）解法一：，理由如下： 对于，y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴． 解法二：理由如下： 将点和分别代入， 得， ∴． 【点拨】本题主要考查一次函数图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】（19-20八年级上·广西贺州·期中）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小． 解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如果、是一次函数图象上不同的两点，那么 0（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题． 解：， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：< 【考点六】一次函数与方程、不等式 【题型13】一次函数与方程（组） 【例13】（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为． （1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为 （2）求直线的解析表达式； （3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ； 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解； （2）将点代入解方程组即可； （3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解． 解：（1）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∴点P的坐标是， ∵直线与相交于点P， ∴关于x，y二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：∵B点坐标为，， ∴将代入得，则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点P的横坐标为，， ， ∴， ①当时，代入解析式可得； ②当时，代入解析式可得. ∴点M的坐标是或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先利用得到点P坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 【题型15】一次函数与不等式 【例14】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接． （1）求两直线交点D的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标； （2）由图可直接得出时自变量x的取值范围； （3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可． 解：（1）解：将代入得，， ∴； 将代入得， 解得：， ∴， 联立：， 解得：， 故D点坐标为； （2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面， ∴当时，自变量x的取值范围为：； （3）解：把代入得， ∴C点坐标为， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 【变式1】（2025·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，直线与x轴的正半轴相交于点A，与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据图象即可确定不等式组的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 解：把代入， 可得， 解得， ， 由图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【考点七】一次函数的应用 【题型16】行程与分配问题 【例15】（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； （2）学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①表格见详解；②60；③2；④；（2）或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 解：（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 【变式1】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小智和小能从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小智比小能先出发，且速度保持不变，小能出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小智行走的时间为，小智和小能行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，有以下说法：①小智比小能先出发15秒；②小能提速后的速度为；③；④从小能出发至送餐结束，小能和小智最远相距． 正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断①②③；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图象即可判断④． 解：结合图象可知，小智比小能早出发15秒，故①正确； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小能提速前的速度是厘米/秒， ∵小能出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小能提速后速度为，故②正确； 故提速后小能行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小智的速度为厘米/秒 ∴秒，故③正确； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小智和小能之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小智和小能之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小智和小能之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小智和小能之间距离最大值为厘米． 综上所述，从小智出发直至送餐结束，小智和小能之间距离的最大值为150厘米，故选项④错误． 故正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【题型17】经济问题 【例16】（24-25九年级下·云南文山·期中）为实现乡村振兴目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了A，B两种新型农产品，并投入市场试销了3天，第一天销售产品100件，产品80件，销售额为4600元；第二天销售产品120件，产品100件，销售额为5600元． （1）求试销期间A，B两种产品的单价； （2）三天后开始网上试销，网上每天销售A，B两种型号的产品共200件，且每天销售B产品的数量不少于产品的数量的一半，产品价格保持市场销售价格不变．已知产品每件成本12元，产品每件成本8元，问两种型号产品各销售多少件时，可以使销售利润最大？ 【答案】（1）试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元；（2）销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，正确找出题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元．根据“第一天销售A产品100件，B产品80件，销售额为4600元；第二天销售A产品120件，B产品100件，销售额为5600元．”列方程组求解即可； （2）设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元，列一次函数求解即可． 解：（1）解：设试销期间A，B两种产品的单价分别为m元、n元． 依题意得 解得 答：试销期间A产品的单价为30元，B产品的单价为20元； （2）解：设销售A产品x件；则销售B产品件，销售利润为y元． 根据题意得． 由，解得， ∴正整数x的最大值为133． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，此时． 答：销售A产品133件、B产品67件时，销售利润最大． 【变式1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．（其中） 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$