专题2.7 菱形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.7 菱形（3大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度..............................................2 【题型2】利用菱形的性质求线段长............................................3 【题型3】利用菱形的性质求面积..............................................4 【题型4】利用菱形的性质证明................................................5 【考点2】菱形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形..........................................5 【题型6】证明四边形是菱形..................................................6 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度........................................7 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长......................................8 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形......................................8 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考.........................................................9 【题型11】拓展延伸........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，菱形中，，F是的中点，的延长线交的延长线于E，直线与直线相交于E，求度数． 【题型2】利用菱形的性质求线段长 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南郑州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 【题型3】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【变式1】（2025·广东清远·一模）如图，在菱形中，于点，，，则的长是（    ） A． B．6 C． D．12 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 【题型4】利用菱形的性质证明 【例4】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．有一个角是 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【考点2】菱形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【题型6】证明四边形是菱形 【例6】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则四边形是 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图所示，E，F分别在和上，，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形 【例9】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【变式2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【例2】（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，直接写出四边形的面积． 【例2】（2020·山东临沂·中考真题）如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）当点E在上运动时，的大小是否变化？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 菱形（3大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度..............................................2 【题型2】利用菱形的性质求线段长............................................5 【题型3】利用菱形的性质求面积..............................................8 【题型4】利用菱形的性质证明...............................................10 【考点2】菱形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形.........................................12 【题型6】证明四边形是菱形.................................................14 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度.......................................17 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长.....................................20 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形.....................................23 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考........................................................27 【题型11】拓展延伸........................................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示，在菱形中，以点为圆心，一定长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得平分，由菱形的性质结合角平分线的定义，求出，进而求出，最后根据三角形的外角求即可． 解：∵菱形， ∴， ∴， 由作图步骤可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，菱形中，，F是的中点，的延长线交的延长线于E，直线与直线相交于E，求度数． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，连接，先证是等边三角形，求出，再证明求出，即可求出结论． 解：连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【题型2】利用菱形的性质求线段长 【例2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 由菱形的性质可得、，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，再根据等边对等角即可解答． 解：∵四边形是菱形， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 【变式2】（2025·河南郑州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定及斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质、勾股定理、矩形的判定及斜边中线定理是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，进而根据勾股定理及矩形的性质可进行求解． 解：（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【题型3】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东清远·一模）如图，在菱形中，于点，，，则的长是（    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可． 解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而根据等面积法求出的长即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4】利用菱形的性质证明 【例4】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质；根据菱形的性质，利用证明即可判断①；根据得到，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明，判断不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④ 解：在菱形中，， 为等边三角形， ， 又， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ， 则在和中， ， ，即， 不成立，故③错误； ，过点作，垂足为， ，， 菱形的面积为：，故④错误； 故正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．有一个角是 【答案】A 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键．根据菱形和平行四边形的性质逐项判断即可得． 解：A、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意； B、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，则此项不符合题意； C、菱形和平行四边形的对边都平行，则此项不符合题意； D、菱形和平行四边形都不一定有一个角是，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【答案】详见分析 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 解：证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【考点2】菱形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加一个条件：（答案不唯一），证明见分析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定是解题的关键． 由可证，可得，从而可得出四边形为平行四边形，再由菱形的判定可求解． 解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【题型6】证明四边形是菱形 【例6】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理的逆定理证明，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形是菱形即可． 解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定．根据作图可得是线段的垂直平分线，得到，，，由，得到，利用等角对等边求得，据此即可得到结论． 解：根据作图可得是线段的垂直平分线， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故选：C． 【变式2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，． （1）求证：； （2）E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明； （2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形． 本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键． 解：（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，， ，． ， ，即， 为直角三角形，， ． （2）证明：由（1）知为直角三角形． E，F分别是和的中点， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形． 又∵， 平行四边形是菱形． 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图所示，E，F分别在和上，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 【变式1】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则折痕的长为 cm． 【答案】 【分析】连接，，根据折叠性质可求出，设，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，判定出四边形为菱形，根据菱形面积的求解可求出最后结果． 解：如图，连接，， ∵折叠，点D与点B重合， ， 设， ，， 在中， ， 解得：， ， ， ∵四边形是矩形，， ，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】A 【分析】由已知条件，，，结合勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线的性质，可得；由已知条件，，可得四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形，即可解答 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定是解题的关键 解：∵，，， ∴ ∵D为的中点， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∵ ∴菱形的周长为 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 解：（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点拨】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形 【例9】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接，，设的边上的高为h，与于点O，先证明，得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 解：连接，，设的边上的高为h，与于点O， ∵折叠，使点C与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即的边上的高是， 故选：A． 【变式2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 【例2】（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【答案】（1）见分析；（2）（ⅰ）；（ⅱ）见分析 【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形； （2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出； （ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论． 解：（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD， ∴DO=BO， ∵， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵CE⊥BD， ∴四边形BCDE为菱形． （2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE， ∵BO=DO， ∴∠BEO=∠DEO， ∵DE垂直平分AC， ∴AE=CE， ∵EG⊥AC， ∴∠AEG=∠DEO， ∴∠AEG=∠DEO=∠BEO， ∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°， ∴． （ⅱ）连接EF， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∵ ∵AE=AF， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∴（AAS）， ． 【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，且时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）证明、为等边三角形，得出，，结合旋转的性质可得，，即可得证； （2）由题意可得平行四边形是菱形，得出，连接，作于，则，求出，由直角三角形的性质可得，再由面积公式计算即可得解． 解：（1）解：由旋转的性质可得：，，，，，， ∴、为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 连接，作于，则， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【例2】（2020·山东临沂·中考真题）如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）当点E在上运动时，的大小是否变化？为什么？ 【答案】（1）见分析；（2）；（3）不变，理由见分析. 【分析】（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF和CF=AF即可得证； （2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解； （3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，再由AF=CF=EF，得到∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，从而推断出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，从而可求出∠ABF=∠CEF=30°，即可证明. 解：（1）连接CF， ∵FG垂直平分CE， ∴CF=EF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴A和C关于对角线BD对称， ∴CF=AF， ∴AF=EF； （2）连接AC， ∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点， ∴MN=AF，NG=CF，即MN+NG=（AF+CF）， 当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时， AF+CF最小，即此时MN+NG最小， ∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1， 即MN+NG的最小值为； （3）不变，理由是： 延长EF，交DC于H， ∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA， ∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA， ∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得： ∠AFD=∠CFD=∠AFC， ∵AF=CF=EF， ∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE， ∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF， ∴∠ABF=∠CEF， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABF=∠CEF=30°，为定值. 【点拨】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$