精品解析：湖北省九师联盟2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 2. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 5. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 6. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极小值 D. 是的极小值 10. 设离散型随机变量分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求曲线在点处切线方程． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大项. 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 18. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 19. 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 2. 数列，，，，，…一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B 3. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为. 故选：C. 4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可. 【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法， 再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法， 根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为． 故选：D． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 6. 抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，需要先分别求出、，再代入公式计算． 【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以． 故选：D． 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 8. 在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先并项求和得，则可得，再由裂项相消法求和可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以数列的前项和. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是的极小值 D. 是的极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD. 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 设离散型随机变量分布列为 2 3 4 0.3 04 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由的递推公式可判断A，由可判断B，确定数列中含的个数，可判断CD； 【详解】对于A：由， 可得：， 所以：， 所以，正确， 对于B： 所以， 即是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以 则，不是等比数列，错误； 对于C：数列的第106项为213， 又，，，，，，， 所以， 所以的前项和为 ， C对，D错； 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用赋值法求解即可. 【详解】在中， 令，得. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的片段和性质列式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 即，即，解得. 故答案为：7 14. 若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，设，求导得到函数单调性，得到，令，则，求导得到函数单调性和极值最值情况，求出，设，求导得到单调性，并求出，所以，所以，得到答案. 【详解】不等式，即， 所以． 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又， 所以，所以， 所以a的最大值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：变形为，从而构造，其中，利用导函数得到函数单调性和极值最值情况进行求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式得到，再结合给定条件建立方程，求解参数即可. （2）先求出切点，再利用导数的几何意义得到斜率，进而求出切线方程即可. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由上问得，所以，则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． 【小问2详解】 因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【小问1详解】 由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 18. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【答案】（1） （2）方案一略好 【解析】 【分析】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，利用全概率公式求出，再由独立重复试验的概率公式计算可得； （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，求出相应的概率，计算出期望，即可判断. 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 19. 若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围； （3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定定义判断并证明即可. （2）利用给定定义结合导数建立不等式，再用分离参数法求解即可. （3）利用给定条件结合换元法转化为一元不等式的证明问题，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 函数是函数在区间上的1级控制数． 理由如下：因为，且，所以， 所以，即成立， 所以函数是函数在区间上的1级控制函数． 【小问2详解】 由函数是函数在区间上的级控制函数， 得，又，由指数函数性质得在上单调递增， 所以，即恒成立． 令，所以当，且时，恒成立， 故在上恒成立．因为，所以在上恒成立， 则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增， 故，则，由题意得，所以， 综上，可以得到实数的取值范围是． 【小问3详解】 因为函数在区间上存在两个零点， 所以我们不妨设，且， 因为函数是函数在区间上的级控制函数， 所以， 即， 可以得到． 要证，即证， 即证，即证， 令，构造， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即时，， 即成立，所以得证． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定条件结合换元法将目标不等式转化为一元不等式的证明，然后利用导数证明不等式，得到所要求的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$