精品解析：湖北省部分高中协作体联考2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期五月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[–2.5]=–3，若[x–2]=–1，则x的取值范围为 A. 0<x≤1 B. 0≤x<1 C. 1<x≤2 D. 1≤x<2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，据此求解不等式即可确定 x的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是第三象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制定义即可判断其所在象限，再利用正弦函数和余弦函数以及正切函数的性质即可判断. 【详解】对ABD，因为，所以是第二象限角，，故A错误，B正确，D错误； 对C，因为在上单调递增，所以，故C错误. 故选：B. 3. 如图，在平行四边形中，是的中点，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算可用表示出，由此可得的值，从而求得结果. 【详解】，，， . 故选：C. 4. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】如图三棱锥是由正方体截去四个小三棱锥，从而可得答案. 【详解】如图三棱锥是由正方体截去四个小三棱锥 又 所以 故选：B 5. 在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. - 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出，根据异面直线夹角公式即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，，得， 且，在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设异面直线AB与CD所成角为，则， 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选：B. 6. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由题得到，结合，即可求得. 【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点, 若是正三角形,则，即，即， 即有，则，解得. 故选：C. 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. 20 B. 30 C. 36 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再用累加法计算可得； 【详解】解：因为，，所以 所以 所以 故选：A 8. 若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直性质可得，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可 【详解】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.， 设函数与直线切于点， 所以，故， 即，，解得或. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，下列结论正确的是（ ） A. C组人数为10人 B. C组人数为45人 C. 单位人数为100人 D. 单位人数为450人 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据分层抽样的定义求出样本中抽取的C组人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率求出C组人数，然后根据分层抽样的定义求出单位人数即可. 【详解】因为员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1， 所以从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组人数为， 设C组员工总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为，即， 解得.设单位员工总数为x，则由，可得. 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线过定点 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误． 【详解】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距， 故点在第二象限，所以A正确； 对于B中，由直线方程，整理得， 所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确； 对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确； 由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为， 所以D错误． 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 11. 已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果. 【详解】由可得， 若对，都有成立，即， 整理可得，所以对都成立； 当为奇数时，恒成立，所以，即； 当为偶数时，恒成立，所以，即； 所以的取值范围是，则整数的值可能是. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米 【答案】 【解析】 【分析】首先求得OD,OC的长度，然后利用余弦定理求解该扇形的半径即可. 【详解】依题意得， 连接，易知 ， 因此由余弦定理有， 即 . 即该扇形的半径为. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质求出斜率，由点斜式求出直线方程，然后求出交点坐标，由三角形面积公式可得结果. 【详解】双曲线的右顶点，右焦点， ，所以渐近线方程为， 不妨设直线FB的方程为， 将代入双曲线方程整理，得， 解得，， 所以， 所以 故答案为：. 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】同构变形得到，构造，得到，求导，得到单调性，得到，构造，，求导得到其单调性，从而得到函数最大值，得到. 【详解】，由可得，，即 设，则(*)， 在上恒成立，故在上单调递增， 其中，，故， 故由（*）可得，即，也即， 令，， 故，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，最大值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知 . （1）解关于的不等式 （2）若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案. 【小问1详解】 由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式的解集为，所以方程的两根为， 所以，解得， 故的值为，的值为. 16. 已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． （1）求证：直线EF与BD是异面直线； （2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 【答案】（1）证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面， 所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾． 故直线EF与BD是异面直线． （2）45°. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 17. 在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. （1）是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； （2）试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】（1）存在， （2）过定点或 【解析】 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【小问1详解】 由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． 【小问2详解】 设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 18. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【小问1详解】 解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； 【小问2详解】 解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1）； （2）由（1）知，当时，，即， 所以， 得， 所以，即证. 【解析】 【分析】（1）求出，对进行讨论，利用函数的单调性求出最值可得答案； （2）利用，可得，得到，利用裂项相消可得证明. 【小问1详解】 因为，， 当时，，符合题意， 当时，，在上单调递减， 而，不合题意， 当时，令，得， 令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了利用导数求参数的范围的问题，关键点是求出导数对a进行分类讨论以及进行适当的放缩证明不等式，考查了学生的分析问题、解决问题的能力， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期五月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[–2.5]=–3，若[x–2]=–1，则x的取值范围为 A. 0<x≤1 B. 0≤x<1 C. 1<x≤2 D. 1≤x<2 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是第三象限角 3. 如图，在平行四边形中，是的中点，，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. - 6. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. 20 B. 30 C. 36 D. 28 8. 若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，下列结论正确的是（ ） A. C组人数为10人 B. C组人数为45人 C. 单位人数为100人 D. 单位人数为450人 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线过定点 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 11. 已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米 13. 双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________． 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知 . （1）解关于的不等式 （2）若不等式的解集为，求实数的值. 16. 已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． （1）求证：直线EF与BD是异面直线； （2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． 17. 在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. （1）是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； （2）试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 18. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $