精品解析：山西省太原市常青藤中学校、朔州市平鲁区李林中学2024-2025学年高二下学期联考数学试题

太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2024-2025年度下学期联考 高 二 数学 试 题 卷面分数：150分 答题时间120分钟 一、单选题 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项结合条件计算即可. 【详解】由题可知，得，，得， 所以的公差. 故选：B 3. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 4. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故选：A. 5. 由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有（ ） A. 120个 B. 30个 C. 36个 D. 48个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意按照个位数为5或0分类求解即可. 【详解】因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类： 当个位数字为5时，首位数字从1，2，3，4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有（个）； 当个位数字为0时，前面两位数字从1，2，3，4，5中选2个排列，所以有（个）， 所以所求的三位数共有（个）． 故选：C. 6. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. 27 B. 3 C. 1或3 D. 1或27 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等差数列，由，求得公比即可. 【详解】设等比数列的公比为q， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 化简得， 所以（不合题意，舍去）， 所以. 故选：A. 7. 已知函数在时有极值为，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由题意列方程组及不等式，从而解出，的值． 【详解】解：， 由题意，解得，. 此时，， 当时，，当时，， 故函数在时取得极小值，合乎题意. 因此，. 故选：A． 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式可利用同构思想构造函数判断函数单调性，即求即可，再利用导数求得可求出. 【详解】易知的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得. 所以正实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式恒成立利用指对同构等，通过构造函数转化为求函数极值、最值问题. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果. 【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ，得，故C正确； 选项D，因为，所以或，即或6，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数的递减区间是 C. 任意，都有 D. 对任意两个正实数、，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据函数的导数，判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最小值，判断最小值的正负，判断A,B,C选项，D.函数的极值点为，可以判断关于对称的函数值的大小，进而判断出，则的对错. 【详解】因为，定义域为，， 令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，， 令， 则． 在上为减函数，则， 令，由，得， 则，当时显然成立． 对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确． 故选：BCD 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，极值点偏移问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题． 三、填空题 12. 数列的前项和为，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消法即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 13. 甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3人相邻，则不同的站法共有_______种． 【答案】36 【解析】 【分析】排列相邻问题，甲、乙、丙捆绑有，与另外2人排也有，再利用乘法原理计算可求. 【详解】甲、乙、丙捆绑并排列有种，与另外2人排有种，故共有种. 故答案为：36. 14. 定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则使得成立的x的取值范围为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造函数且为偶函数，对函数求导，可得函数的单调区间，进而可得函数的零点，结合函数图象即可得出结果. 【详解】 设，为偶函数 当时， 所以时，单调递减，且 时，单调递增，且 所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由，根据乘法的求导法则，构造函数是解题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为 （2）极大值16，极小值 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）根据函数的单调性，求出函数的极值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 令，解得， 则，随的变化情况如下表： 2 0 0 取极大值 取极小值 故函数的单调增区间为和，单调减区间为; 【小问2详解】 由小问1知，当时，函数取得极大值16; 当时，函数取得极小值． 16. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）6 （2）4860 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义求解即可； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可. 【小问1详解】 由展开式的第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2， 得，即，而， 所以. 【小问2详解】 二项式的展开式通项公式为， 由，得，则， 所以展开式中的常数项为4860. 17. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【小问1详解】 设的公差为，则，， 解得，. 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，① 则，② ①②，得 ， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）如对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：. 【答案】（1） （2） （3）由（2）得，时，对于任意的恒成立，即, 又时，， 为证，只需证明, 令, 则, 当时在上单调递增， 又在时，恒成立. 所以当时， 成立. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义得到在处的切线的斜率，并根据函数的解析式求得处的切点坐标，然后利用直线的点斜式方程得到切线的方程； （2）求得后，根据在上的取值的正负情况对进行分类，并利用导数研究函数的单调性，借助于,进行分析，得到的取值范围； （3）借助于（2）中的结论，得到当时的不等式，利用基本不等式的性质和分析方法转化为，然后构造函数，利用导数研究单调性和最值，从而证得. 【小问1详解】 当时，，则, 所以,而, 所以切线方程为; 【小问2详解】 因为，所以且， 当时，在上，恒成立，且至多在处取得等号， 在上单调递增，又对任意的恒成立，符合题意； 当时，令,解得,当时,在上单调递减,.与已知矛盾,不符合题意. 综上所示，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 【答案】（1） （2）①； ②当时，由， 所以，， 所以， ，， 要证明 ， 只需证明 而， 令，则，欲证明 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以 【解析】 【分析】（1）求导，f（x）为增函数，恒成立，参变分离得到，再对进行基本不动处理可解实数a的取值范围. （2）①对函数求导，分类讨论，根据极值确定零点，求得实数a的取值范围. ②根据极值点偏移及齐次化证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立. 即恒成立，，即， ∵，当时取等， ∴. 【小问2详解】 ① 定义域为， 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是，即， 又， 所以在上存在一个零点. 当时，，所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. ② 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市常青藤中学 平鲁区李林中学2024-2025年度下学期联考 高 二 数学 试 题 卷面分数：150分 答题时间120分钟 一、单选题 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 5. 由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有（ ） A. 120个 B. 30个 C. 36个 D. 48个 6. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. 27 B. 3 C. 1或3 D. 1或27 7. 已知函数在时有极值为，则（ ） A. B. 或 C. D. 8. 若函数，且，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数的递减区间是 C. 任意，都有 D. 对任意两个正实数、，且，若，则 三、填空题 12. 数列的前项和为，若，则_____. 13. 甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3人相邻，则不同的站法共有_______种． 14. 定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则使得成立的x的取值范围为__________________. 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 16. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 17. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）如对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：. 19. 已知函数 （1）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. （2）已知有两个零点，， ①求实数a的取值范围 ②当时，证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $