专题02 相交线与平行线（考点串讲，7考点+5模型+2技巧+3易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 相交线与平行线 （7考点+5模型+2技巧+3易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理+针对训练 五大解题模型+二大技巧点拨 三大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期末真题对应考点练 两个角有________，并且两边互为___________，那么具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角. 对顶角性质：_____________. A O C B D 1 3 2 4 公共顶点 反向延长线 对顶角相等 知识梳理 知识点一：对顶角 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫______. 1.垂线的定义 2.经过直线上或直线外一点，_____________一条直线 与已知直线垂直. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到 直线的距离. 3.直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短. 有且只有 垂线段 距离 直角 垂线 垂足 知识点二：垂线 同位角、内错角、同旁内角的结构特征: 同位角 “F”型 内错角 “Z”型 同旁内角 “U”型 三线八角 知识点三：同位角、内错角、同旁内角 1.在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线. 3.平行于同一条直线的两条直线_______. 2.经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行. 4.平行线的判定与性质： 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 不相交 有且只有 平行 知识点四：平行线 1.一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知的事情推断出的事项. 2.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题. 知识点五：命题与证明 3.证明的步骤 “证明”是在"已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程．在初中平面几何中，通常遵循步骤： (3)写出由条件推出结论的完整过程 (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知"和“求证”； (1)根据题意画出示意图； 考点1 三个概念 概念1 相交线与垂线 1.如图，已知直线，相交于点 ，下列说法错误的是( ) D A. B.若，则 C.若 ，则 D.若 ，则 针对训练 概念2 同位角、内错角、同旁内角 2.如图，用图中标出的5个角填空：与____是同位角， 与____是同 旁内角， 与____是内错角. 10 3.在如图所示的6个角中，同位角有___对，它们是________________； 内错角有___对，它们是__________________；同旁内角有___对，它们 是____________________________________. 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与 11 概念3 平行线 4.下列说法中，正确的是( ) C A.两条不相交的直线叫作平行线 B.一条直线的平行线有且只有一条 C.在同一平面内，若直线，，则 D.若两条线段不相交，则它们互相平行 12 考点2 三个性质 性质1 对顶角的性质 5.如图，两条直线，交于点，平分，若 ，则 _____. 13 性质2 相交线的性质 6.如图 ，直线AC 和直线 BD 相交于点M， ME 平 分 ∠ BMC，若∠ 1+ ∠ 2=100°，则∠ 3的度数为______ ° . 65 思路引导： 解：由对顶角相等可知∠ 1= ∠ 2， 又∵∠ 1+ ∠ 2=100° ，∴∠ 1= ∠ 2=50° . ∴∠ BMC=180° - ∠ 1=130° . 又∵ ME 平分∠ BMC，∴∠ 3= ∠ BMC=× 130° =65° . 性质3 平行线的性质 7. 如图，已知， ， ，则 ______. 16 考点3 一个判定——平行线的判定方法 8.如图，下列条件：； ； ； .其中能判定 的是________. ①②③ 17 9.如图，已知， ，试猜想 与 之间有怎样的位置关系？并说明理由. 解： ，理由如下： 因为 （已知）， 所以 （同旁内角互补，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同位角相等）. 又因为（已知），所以 （等量代换）， 所以 （内错角相等，两直线平行）. 18 考点4 两个基本事实 基本事实1 平行线的基本事实 10.如图，在直线外有一点，经过点可以画无数条直线，如果 ， 那么过点的其他直线与直线 一定不平行，理由是_________________ ___________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 19 基本事实2 垂线的基本事实 11.如图，直线，直线垂直于直线，那么直线 垂直 于直线 吗？请说明理由. 解： .理由如下：如图. 因为，所以 .因为，所以 ，所以 . 20 考点5 点到直线的距离 12.如图，， ，下列结论：①线段 的长是点到的距离；②线段是点到 的距离；；④线段是点到 的距离； .其中正确的结论有 ( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 21 13.把一块含 30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若∠ 1=45°，则∠ 2=（　　） A.10° B.15° C.20° D.30° 考点6 平行线的性质与判定 B 解： 如图 所示 . ∵ AB ∥ CD， ∴∠ BAD= ∠ 1=45° . ∵∠ 2+ ∠ DAE= ∠ BAD， ∠ DAE=30° ， ∴∠ 2=15° . 答案： B 解题秘方：三角尺与平行线的综合是中考常考题型，利用三角尺中特殊角的度数与平行线的性质不难求解 . 14.如图 ，在三角 形 ABC 中，点 D， E 分 别 在 AB， BC 上，且DE ∥ AC，∠ 1= ∠ 2. （1）求证： AF ∥ BC. （2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度数 . 思路引导： 证明： ∵ DE ∥ AC， ∴∠ 1= ∠ C. 又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ C= ∠ 2. ∴ AF ∥ BC. （1）求证： AF ∥ BC. 解： ∵ AF ∥ BC， ∠ B=36° ， ∴∠ BAF=180° -36° =144° . 又∵ AC 平分∠ BAF， ∴∠ BAC= ∠ 2=72° . 又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ 1=72° . （2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度数 . 15.下列命题中，真命题的个数是（ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等 . A.4 B.3 C.2 D.1 考点7 命题与证明 解题秘方：依次判断，正确的即为真命题. 解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；②是真命题；图形平移的方向有很多，不一定是水平的，故③是假命题；两直线平行，内错角才相等，故④是假命题 . D 16.如图，在①AB//CD,②∠A=30°，③∠CBD=30°，④∠CDA=30°四项中，请选择其中两个作为条件，一个作为结论，构造一个真命题，并证明。 命题:已知AB // CD，∠A=30°，求证∠CDA=30° 因为AB//CD(已知条件) 根据两直线平行，内错角相等的性质 所以∠A和∠CDA是内错角，它们相等 又因为∠A =30°(已知条件) 故∠CDA =30°(等量代换) 模型归纳 过拐点作其中一条直线的平行线，然后利用平行线的性质求解。 1.单拐点模型 平行线中常见的拐点模型 解题模型 29 2.多拐点模型 30 模型一 单拐点模型 类型1 “ ”形图 1. 如图，,为,之间的一点，已知 , ，求 的度数。 31 [答案] 解法一：过点 作射线 ,如图①所示。 因为， ,所以 ， 。 所以 ， 所以 。 所以 。 32 解法二：过点作射线 ,如图②所示。 因为，,所以， 。所以 。 因为 , 所以 。 所以 。 33 类型2 “ ”形图 2.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直 杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知 垂直于 水平地面 。当车牌被自动识别后，“曲臂直杆道闸” C A. B. C. D. 的段绕点缓慢向上旋转， 段则一直保持水平状态上升 （即与始终平行），在该过程中 始终等于( ) 34 类型3 “ ”形图 3.如图， , , 。请问：与 平行吗？请说明理由。 35 解： 。理由如下： 如图，过点作 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 因为 ，所以 ， 所以。又因为，所以 。 36 类型4 “ ”形图 4.如图，,则,, 有何数量关系？为什么？ 37 解： 。理由如下： 如图，过点作 , 所以 。 因为, , 所以，所以 ， 所以 。 38 类型5 “ ”形图 5.如图，已知， ， ，求 的度数。 39 解：如图,过点作 。 因为， ， 所以， 。 所以 。 所以 。 所以 。 40 模型二 多拐点模型 6.如图，一环湖公路的 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东 西方向的段，求 的度数。 41 解：如图，分别过点，作的平行线， ， 由题意知 ， 所以 ， 则 ， ， ， 所以 ， 即 。 42 7.如图，已知，，试说明 。 43 解：如图，作， ， 所以， 。 因为，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 。 44 8.如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐 ， 第二次拐弯形成的拐角 ，第三次拐弯后的道路恰好和第一 次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 45 解：如图，过点作，延长到点 。 因为， ， 所以。因为第一次向右拐 ，所以 ， 所以 。 因为 ， 所以 。 又因为，所以 。 所以第三次应向左拐 。 46 类型1 利用相交线的性质求角度 1. 如图，直线，相交于点，平分 。若 ，求 的度数。 技巧点拨 47 [答案] 解法一：如图，因为与 是对顶角， 所以 。 又因为平分 ， 所以 。所以 。 48 解法二：如图，因为与 是对顶角， 所以 。 又因为平分 ， 所以 。 又因为 ， 所以 。 49 2.如图，已知直线和相交于点 ，射线 于点，射线于点 。 （1）若 ，求与 的度数。 解：因为，所以 。 因为 ，所以 ，所以 。 因为，所以 ， 即 ， 所以 。 50 （2）若 ，求 的度数。 解：因为 ， 所以 。 51 类型2 利用平行线的性质求角度 3.[2024陕西] 如图，， ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 4.[2024海南] 如图，直线，把一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式放置， 点在直线上， ，若 ， 则 等于( ) D A. B. C. D. 52 5.如图， ，顶点在直线 上，一边 与直线交于点，且 。 （1）判断直线与 的位置关系，并说明理由； 解： ，理由如下: 因为 ，所以 。 因为 ，所以 ，所以 。 53 （2）若平分且，计算 的度数。 解：因为，所以 。 因为平分，所以 。 所以 。 因为，所以 。 因为 , , 所以 。 因为 ，所以易求得 。 54 易错点1.在图形中没有准确找到垂足的位置，导致画错垂线 【例1】作图：如图Z7-1-1，过点B作BE⊥AC，垂足为E. 错解：如图Z7-1-2，BE即为所作. 图Z7-1-1 图Z7-1-2 图Z7-1-3 错解分析：过点B作BE⊥AC时，误认为直角顶点为B，从而导致作图错误. 正解：如图Z7-1-3，BE即为所作. 易混易错 1.如图Z7-1-4，已知三角形ABC，根据下列要求作图（不要求写画法）： （1）作边AB上的高CH； 图Z7-1-4 解：（1）如答图Z7-1-1. CH即为所作. 答图Z7-1-1 （2）过点H作直线BC的垂线，垂足为D. （2）如答图Z7-1-1，HD即为所作. 图Z7-1-4 答图Z7-1-1 易错点2.不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行或两角相等 【例2】如图Z7-1-5，下列由已知条件推出结论正确的是 （　　） A.由∠1=∠5，可以推出AB∥CD B.由AD∥BC，可以推出∠4=∠8 C.由∠2=∠6，可以推出AD∥BC D.由AD∥BC，可以推出∠3=∠7 错解：A或C或D. 图Z7-1-5 错解分析：错选A的原因是误以为内错角∠1与∠5是直线AB，CD被直线BD所截形成的；错选C的原因是误以为内错角∠2与∠6是直线AD，BC被直线BD所截形成的；错选D的原因是误以为内错角∠3与∠7是直线AD，BC被直线AC所截形成的.正确识别一对角是哪两条直线被第三条直线所截而成的方法：从组成角的两边入手，两个角的边所在的同一直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 正解：B. 2.如图Z7-1-6，下列结论中，不一定正确的是 （ ） A.若∠1=∠2，则AD∥BC B.若AD∥BC，则∠1=∠B C.若∠2=∠C，则AE∥CD D.若AE∥CD，则∠1+∠3=180° 图Z7-1-6 B 易错点3.混淆命题的题设与结论 【例3】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 　　　　　　　.  错解：如果两个角相同，那么它们的补角相等. 错解分析：误认为题设是“同角”，结论是“补角相等”. 正解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 3.将“邻补角的平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式：如果　 　　　 　，那么　 　　　　　.  两条射线是邻补角的角平分线 这两条射线互相垂直　 1.（2025春•上海月考）如图，已知AB∥CD，则( ____ ) _ __ A.∠α+∠β+∠γ=360° B.∠α-∠β+∠γ=360° C.∠α+∠β-∠γ=180° D.∠α+∠β+∠γ=180° 【解析】解：过E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠DEF， ∴β=180°-α+γ， ∴∠α+∠β-∠γ=180°． 故选：C． C 押题预测 61 2.（2025春•杨浦区校级月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC=60°，则∠BFE的度数为 ______ ． 【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处， ∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°， ∵∠A'GC=60°=∠FGB'， ∴∠CFB'=30°， ∴∠BFE=∠EFB'= (180°+30°)=105°， 105° 故答案为：105°． 62 3.（2025春•闵行区校级月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 _____ ． 【解析】解：过点C作CF∥AB， ∴∠ABC+∠BCF=180°， ∵DE∥AB，∴DE∥CF， 144° ∴∠CDE+∠DCF=180°，∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF=360°， 即∠ABC+∠DCB+∠CDE=360°， ∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°， ∵∠EDC=126°，∴∠DCB=360°-∠ABC-∠CDE=144°， 故答案为：144°． 63 4.（2024春•松江区期中）如图所示，已知AB∥CD，∠E=90°那么∠B+∠D等于多少度？为什么？请将说理过程补充完整； 解：过点E作EF∥AB， 得∠B+∠BEF=180°( _____________________________ )． 因为AB∥CD(已知)，EF∥AB(已作)， 所以EF∥CD( ______________________________________ )． 得 __________________ (两直线平行，同旁内角互补)， 所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D= _____ °( _____________ )． 即∠B+∠BED+∠D=360°． 因为∠BED=90°(已知)， 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 ∠D+∠DEF=180° 360 等式的性质 所以∠B+∠D= _____ °(等式性质)． 270 64 5.（2024春•杨浦区期中）已知AB∥CD． (1)如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD=50°，则∠AEF=　　． (2)如图2，EF⊥FG垂足为点F，过点F作FH⊥AB于点H，说明∠HFE=∠FGD． (3)如图3，∠BEF、∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG=α°，则∠H= 　　(用含α的式子表示)． _________ 65 ___ ∴∠BEF=∠EFM， ∵AB∥CD，∴FM∥CD，∴∠DGF=∠GFM， ∵∠EFG=∠EFM+∠GFM，∴∠EFG=∠BEF+∠DGF， ∵EF⊥FG，∴∠EFG=90°， ∵∠FGD=50°， ∴∠BEF=∠EFG-∠DGF=40°， ∴∠AEF=180°-∠BEF=140°， 故答案为：140°； 【解析】解：(1)过点F作FM∥AB， 66 (2)∵FH⊥AB，∴∠FHE=90°，∴∠BEF+∠HFE=90°， 由(1)可得：∠BEF+∠DGF=∠EFG=90°，∴∠HFE=∠DGF； (3)由(1)可得：∠EFG=∠BEF+∠DGF=α°，∠H=∠BEH+∠DGH， ∵EH平分∠BEF，GH平分∠FGD， ∴∠BEH= ∠BEF，∠DGH= ∠DGF， ∴∠H= ∠BEF+ ∠DGF， = (∠BEF+∠DGF) = ∠EFG = α°， 故答案为： α°． 67 $$