专题02 圆与扇形（考点串讲，3考点+15题型+5易错）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 圆与扇形 （3考点+15题型+5易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 十五种重难点题型 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期末真题对应考点练 圆 半径 圆的认识 圆心 圆的周长与弧长 πd或2πr 直径 圆的面积 圆环的面积 πr2 πR2－πr2或π(R2－r2) 扇形的面积 在同圆或等圆中，扇形的面积和圆心角有关。 知识结构 · O 圆心 半径r 直径d · 圆是由一条曲线围成的封闭图形。 d＝2r r＝d÷2 知识梳理 知识点一： 圆的周长与弧长 围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 圆的周长的计算公式： C＝πd或C＝2πr。 1.圆的认识 如果用l表示弧长，r表示半径，那么n°的圆心角所对的弧长的计算公式是 2.弧长 圆所占平面的大小叫作圆的面积。 S ＝ πr 2 知识点二： 圆与扇形的面积 1.圆的面积 在大圆中间挖去一个小圆，剩下的部分就形成了一个圆环，组成圆环的是两个同心圆。 S环＝πR2 －πr2 S环＝π（R2 －r2） 2.圆环的面积 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 圆心角 半径 弧 半径 O A B 表示为扇形AOB 3.扇形的认识 圆心角越大，扇形的面积越大 半径越大，扇形的面积越大 必须在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积越大。 n° r O A B 如果用S表示扇形的面积，r表示半径，那么圆心角为n°的扇形面积的计算公式是 4.扇形的面积 考点1 两个概念 1．填一填。 (1)在一个边长是6 cm的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是(　　)cm，半径是(　　)cm。 6 3 点拨：在正方形中画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，即6 cm，半径是6÷2＝3(cm)。 针对训练 (2)在同圆或等圆中，半径与直径的比是(　　)。 (3)如图，梯形的高是3 cm，梯形的上底是(　　　)cm。 1：2 点拨：根据题图可知，梯形的上底是圆的直径，高是圆的半径，已知圆的半径是3 cm，则梯形的上底是 3×2＝6(cm)。 6 2． 7 9 2 9 点拨： 考点2 两个公式 3．求下面圆的周长。 3.14×0.8＝2.512(m) 点拨：根据题图可知，圆的直径为长方形的宽，即圆的直径是0.8 m，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算即可。 4．计算下面圆的面积。 12÷2＝6(cm)　 3.14×62＝113.04(cm2) 点拨：根据题图可知，圆的直径为12 cm，则圆的半径为12÷2＝6(cm)，根据圆的面积S＝πr2，代入数据计算即可。 5．一个圆形花圃的直径是40 m，刘奶奶每天早晨绕着花圃走10圈，刘奶奶每天早晨大约走多少米？ 3.14×40×10＝1256(m) 答：刘奶奶每天早晨大约走1256 m。 考点3 两种应用 点拨：根据圆的周长公式C＝πd ，求出这个花圃的周长，用花圃的周长乘走的圈数就是刘奶奶每天早晨大约走的路程。 6．实验小学有一个依墙而建的半圆形菊花园，半径为 8 m。现在学校要扩建这个菊花园，形状不变，将直径增加2 m，现在菊花园的面积比原来增加了多少平方米？ 2÷2＝1(m)　8＋1＝9(m) 3.14×(92－82)÷2＝26.69(m2) 答：现在菊花园的面积比原来增加了26.69 m2。 点拨：由题意可知，增加的部分是一个圆环的一半，小半圆形的半径是8 m，将直径增加2 m，则半径增加2÷2＝1(m)，所以大半圆形的半径是8＋1＝9(m)，将数据代入圆环的面积公式S＝π(R2－r2)求出整个圆环的面积，再除以2即可求出菊花园增加的面积。 7．下面是一扇古建筑上的窗户，这扇窗户中间的圆形窗棂是透光的。已知窗户上正方形木框的周长是6 m，则不透光部分的面积是多少平方米？ 6÷4＝1.5(m) 1.5×1.5－3.14×(1.5÷2)2＝0.48375(m2) 答：不透光部分的面积是0.48375 m2。 点拨：因为正方形木框的周长是6 m，所以正方形的边长是6÷4＝1.5(m)，即圆形窗棂的直径是1.5 m，观察题图可知，不透光部分的面积是正方形木框的面积减去圆形窗棂的面积。根据正方形面积公式和圆的面积公式代入数据计算即可。 1. 填空。 (1) 在同一个圆中，直径的长度是半径的( )，半径与直径的比是( )。 题型1 圆的相关概念的应用 2倍 1∶2 (2)【湖州市改编】 在一张周长为16 cm的正方形纸上画一个最大的圆，圆规两脚间的距离应取( )cm。 点拨：圆的直径等于正方形的边长，16÷4 ＝ 4(cm)，圆规两脚间的距离应取直径的一半。 2 技巧点拨 (3) 有两个大小不同的圆形纸片，分别对折一次后，量得大圆的折痕长6 cm，小圆的折痕长4 cm，则大圆的直径是( )cm，小圆的直径是( )cm，大圆和小圆直径的比是( )。 6 4 3∶2 点拨：将两个大小不同的圆形纸片分别对折一次后，大圆的折痕是大圆的直径、小圆的折痕是小圆的直径，进而求出它们直径的比。 2. 选择。 (1) 在长10 cm、宽8 cm 的长方形内画一个最大的圆，它的半径是( )cm。 A. 5 B. 4 C. 3 点拨：在长方形内画一个最大的圆，则圆的直径等于长方形的宽，即8 cm，所以圆的半径是8÷2＝4(cm)。 B (2) 甲圆的半径是2 cm，乙圆内最长的线段是4 cm，那么甲、乙两圆的直径比是( )。 A. 2∶4 B. 1∶2 C. 1∶1 点拨：甲圆的半径是2 cm，则甲圆的直径是2×2＝4(cm)；乙圆内最长的线段是4 cm，根据直径是圆中最长的线段可知，乙圆的直径是4 cm，所以甲、乙两圆的直径比是1∶1。 C (3) 圆的半径是3 dm，圆内最长的线段长( )cm。 A. 6 B. 30 C. 60 点拨：圆内最长的线段是圆的直径，已知圆的半径是3 dm，所以圆的直径是6 dm，6 dm ＝ 60 cm。 C (4)下列说法中正确的是( )。 A. 两端都在圆上的线段就是直径 B. 在同一个圆中，两条半径就是一条直径 C. 同一个圆，半径扩大到原来的几倍，直径也扩大到原来的几倍 C 点拨：直径一定过圆心，A 选项错误；如果这两条半径不在一条直线上，就不能说这两条半径是一条直径，B 选项错误；在同一个圆中，直径是半径的2 倍，所以直径随着半径的变化而变化，C 选项正确。 3. 如图，长方形的周长是42 cm，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 题型2 借助长方形解决有关圆的实际问题 42÷2 ＝ 21(cm) 21×＝6(cm) 21×＝15(cm) 6×15＝90(cm2) 答：这个长方形的面积是90 cm2。 4. 如图，长方形中有大小不同的两个圆，大圆的半径是( )cm，小圆的直径是( )cm。 7 10 点拨：大圆的半径＝ 长方形的宽÷2 ＝14÷2 ＝ 7(cm)，小圆的直径是24 － 14 ＝ 10(cm)。 5. 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，圆的对称轴是( )所在的直线。 题型3 圆的特征的应用 无数 直径 6. 在下列各图中，你能分别画出几条对称轴？画一画，填一填。 3 4 4 1 点拨：根据轴对称图形的特征，画出所有的对称轴，再数一数即可。 7. 在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门。位于杭州万松书院的圆形拱门，已知它的直径是2.4米，这个圆形拱门的周长是多少米？ 题型4 已知直径求周长 点拨：已知圆形拱门的直径是2.4 米，根据公式C＝πd 计算即可。 2.4×3.14＝7.536(米) 答：这个圆形拱门的周长是7.536 米。 8. “中国天眼”是世界最大单口径射电望远镜。半径为 250 m的“中国天眼”周围建了6座等距离的馈源塔，每相邻两座馈源塔之间的距离约是多少米？(得数保留整数) 题型5 已知半径求周长 3.14×250×2÷6 ≈262(米) 答：每相邻两座馈源塔之间的距离约是262 米。 9. 用一根长 5米的绳子围着一棵树干绕2圈，还多0.29米，这棵树的直径是多少？(树干的一圈近似于圆) 题型6 已知周长求直径 (5－0.29)÷2＝2.355(米) 2.355÷3.14＝0.75(米) 答：这棵树的直径是0.75 米。 点拨：根据已知条件可以求出树干一圈的长度为(5－0.29)÷ 2＝2.355(米)，根据圆的周长公式可以求出这棵树的直径为2.355÷3.14 ＝0.75(米)。 10. 李师傅要做一张半径是 1.5米的半圆形的桌面，需要用木条先将半圆形桌面的边固定起来，需要多长的 木条？ 题型7 求半圆形的周长 点拨：半圆形的周长是圆周长的一半加直径的长，即× 3.14×2×1.5 ＋ 2×1.5 ＝ 7.71(米)。 ×3.14×2×1.5＋2×1.5＝7.71(米) 答：需要7.71 米长的木条。 11. 花园里有一个半圆形花坛，它的周长是51.4 m，它的半径是多少米？ 题型8 已知半圆形的周长求半径 点拨：设半径是r m，根据圆周长的一半＋直径的长度＝ 半圆形花坛的周长，可列方程3.14r＋2r＝51.4，据此求解即可。 解：设半径是r m。 3.14r＋2r＝51.4 r＝10 答：它的半径是10 m。 12. 将一个圆平均分成若干份后，拼一个宽等于半径的近似长方形，这个长方形的周长比圆的周长多 60 cm，求这个长方形的周长。(π取 3.14) 题型9 根据增加的周长求圆的周长 点拨：由题意可知，长方形两条长的长度和等于圆的周长，长方形的周长比圆的周长多的部分正好是两条半径的长。 圆的半径：60÷2＝30(cm) 2×3.14×30＋60＝248.4(cm) 答：这个长方形的周长是248.4 cm。 13. 求下图中涂色部分的周长。 题型10 求组合图形的周长 3.14×(2＋6)＝25.12(cm) 14. 把直径都是 10 cm的啤酒瓶分别捆成下图所示(从底面方向看)的形状，如果接头处的绳长不计，那么每个图形至少需要多长的绳子？ 题型11 圆的周长的实际应用 点拨：由题图可知，绳子的长等于1 个圆的周长加上3 条直径的长，据此计算即可。 3.14×10＋3×10＝61.4(cm) 答：每个图形至少需要61.4 cm 长的绳子。 15. 填一填。 (1) 聪聪用圆规画了一个圆，圆规两脚间的距离是2 cm，聪聪画出的圆的面积是( )cm2。 题型12 运用公式求圆的面积 点拨：圆规两脚间的距离即为圆的半径，也就是2 cm，所以聪聪画出的圆的面积是3.14×22＝12.56(cm2)。 12.56 (2) 一个圆形桌面的直径是1.6 m，做这个桌面需要木板( )m2。 点拨：需要木板的面积就是这个圆形桌面的面积，根据圆的面积S＝π2，列式计算为3.14×2＝2.0096(m2)。 2.0096 (3) 一个圆形花坛的周长是125.6 m，这个圆形花坛的占地面积是( )m2。 点拨：根据题意可知， 圆形花坛的半径＝ 125.6÷3.14÷ 2＝20(m)，这个圆形花坛的占地面积＝ 3.14×202＝1256(m2)。 1256 16. 蓝蓝家的挂钟表面是一个圆形，挂钟的时针长为20 厘米，一天下来时针所扫过的面积是多少平方厘米？ 点拨：挂钟的时针长20 厘米，根据圆的面积公式：S＝ πr2可求出旋转一周扫过的面积，一天时针旋转两周，再乘2可求出一天扫过的面积。 3.14×202×2＝2512(平方厘米) 答：一天下来时针所扫过的面积是2512 平方厘米。 17. 公园里有一个圆形荷花池，荣老师告诉同学们，他围着荷花池走一圈，正好走了628 步，平均每步长0.5 m。这个荷花池的占地面积是多少平方米？ 0.5×628＝314(m) 314÷3.14÷2＝50(m) 3.14×502＝7850(m2) 答：这个荷花池的占地面积是7850 m2。 点拨：根据题意可知，荣老师走一圈的路程就是圆形荷花池的周长，先用走的步数乘平均每步的长度求出圆形荷花池的周长，再根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆形荷花池的半径，最后代入圆的面积公式S＝πr2 即可求解。 18. 玉璧是良渚文化中出现的新生事物，为良渚文化玉器乃至中国玉器的典型代表之一。把玉璧表面看成一个圆环(如图)，它的面积是多少？ 题型13 计算圆环面积 14－12＝2(cm) 3.14×(142－22)＝602.88(cm2) 答：它的面积是602.88 cm2。 点拨：由题图可知圆环的外圆半径是14 cm，环宽是12 cm，则内圆半径是14－12＝2(cm)，S圆环＝ 3.14×(142－22)＝ 602.88(cm2)。 19. 为弘扬雷锋精神，学校做了一个雷锋雕像，雕像的基座是圆形的，周长是94.2 dm，在它的周围铺上5 m 宽的环形草坪，草坪的面积是多少平方米？ 94.2÷3.14÷2＝15(dm) 15 dm＝1.5 m 1.5＋5＝6.5(m) 3.14×(6.52－1.52)＝ 125.6(m2) 答：草坪的面积是125.6 m2。 点拨：因为圆形基座的周长是94.2 dm，根据r＝C÷π÷2求出圆形基座的半径是94.2÷3.14÷2＝15(dm)，即内圆的半径是1.5 m，则外圆的半径是1.5 ＋ 5＝6.5(m)，再根据圆环的面积公式S ＝π(R2－r2)算出草坪的面积。 20. 如图所示，平行四边形的面积是24 cm2，圆的面积是多少平方厘米？ 题型14 求组合图形面积 解：设圆的半径为r cm。 2r×r＝24 r2＝12 3.14×12＝37.68(cm2) 答：圆的面积是37.68 cm2。 点拨：设圆的半径为r cm，由题图可知，平行四边形的底是圆的直径，即2r cm，高是圆的半径，即r cm，则2r×r ＝24，r2＝12，将r2＝12直接代入圆的面积公式即可求出圆的面积。 21. 已知正方形的面积是36 cm2，求下图中涂色部分的面积。 题型15 外方内圆和外圆内方图形面积的计算 由题意可知正方形的边长是6 cm。 36－3.14×(6÷2)2＝7.74(cm2) 答：涂色部分的面积是7.74 cm2。 点拨：由题意可知，正方形的面积是36 cm2，那么正方形边长为6 cm，即圆的半径是6÷2＝3(cm)，所以圆的面积是3.14×32＝28.26(cm2)，所以涂色部分的面积＝ 正方形的面积－ 圆的面积。 22. 华华家有一张可折叠的圆桌，桌面(如图)的直径是 1.2 m，折叠后变成了一个正方形，折叠部分(涂色部分)的面积是多少平方米？ 点拨：把正方形看作两个三角形，三角形底边是圆的直径，高是圆的半径，涂色部分的面积等于圆的面积减两个三角形的面积，据此求解即可。 3.14×(1.2÷2)2－1.2×(1.2÷2)÷2×2＝0.4104(m2) 答：折叠部分(涂色部分)的面积是0.4104 m2。 1．(易错题)如图，长方形中有两个完全一样的圆重叠一部分放在一起，圆的半径和直径分别是多少厘米？ 18÷3＝6(cm)　 6×2＝12(cm) 答：圆的半径是6 cm，直径是12 cm。 易错点1：圆的认识 易混易错 2．(易错题)(1)求半圆形的周长。 点拨： 易错点2：圆的周长 2．(易错题)光明小学新建了一个操场(如图)，华华每天绕操场跑5圈，她每天至少要跑多少米？ 3.14×50＋80×2＝317(m) 317×5＝1585(m) 答：她每天至少要跑1585 m。 3．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面积是多少平方厘米？ 3.14×18＝56.52(cm2) 答：这个圆的面积是56.52 cm2。 点拨：正方形的面积是18 cm2，且由题图可知正方形的边长等于圆的半径，所以圆的面积是3.14×18＝56.52(cm2)。 易错点3：圆的面积 4．(易错题)如图，正方形的边长是10 cm，4个圆的圆心分别是正方形的4个顶点，涂色部分的面积是多少平方厘米？ 102－3.14×(10÷2)2＝21.5(cm2) 答：涂色部分的面积是21.5 cm2。 5．(易错题)图中涂色部分的面积是50，求圆环的面积。 3.14×50＝157 点拨：由题意可知R2－r2＝50，圆环的面积为πR2－πr2＝π(R2－r2)，即3.14×50＝157。 易错点4：圆环面积 6．(易错题)已知直角梯形的上底是10 cm，下底是14 cm，每个扇形的半径为4 cm。求四个扇形的面积和。 3.14×42＝50.24(cm2) 答：四个扇形的面积和是50.24 cm2。 易错点5：扇形面积 1.（2023秋•浦东新区期末）如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为S1、S2，则( ____ ) A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.不能确定 【解析】解：S1=42-π×22=16-4π(平方厘米)， S2=42-4×π×12=16-4π(平方厘米)， ∴S1=S2． C 故选：C． 押题预测 52 2.（2023秋•浦东新区期末）下列选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是( ____ ) _________ A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) B 【解析】解：图(1)中阴影部分面积=正方形的面积-圆的面积，不符合题意； 图(2)中阴影部分面积=正方形的面积-以正方形对角线为直径的半圆的面积，符合题意； 图(3)中阴影部分面积=正方形的面积-圆的面积，不符合题意； 图(4)中阴影部分面积=正方形的面积-圆的面积，不符合题意； 答：阴影部分的面积与其他三个不同的图案是图(2)，故选：B． 53 3.（2025春•闵行区校级月考）如图，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了 ____ ． 【解析】解：∵ =2， ∴另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了2圈． 故答案为：2圈． 2圈 54 4.（2025春•闵行区校级月考）求阴影部分的周长和面积． 【解析】解：根据题意可知，阴影部分的周长为： π×4+ π×8+ π×（4+8） =2π+4π+6π =12π(cm)， 面积为： ． 55 5.（2023秋•金山区期末）已知一个圆形花坛的周长是25.12米，沿着它的外侧铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积． 【解析】解：圆形花坛的半径为： ≈ =4(米)， 所以小路外沿所在圆的半径为：4+1=5(米)， 故这条小路的面积为：π(52-42)=9π≈9×3.14=28.26(平方米)． 56 把一个圆分成两个扇形，其中大扇形圆心角的度数与小扇形圆心角度数的比是7∶2，大扇形占整个圆的，小扇形占整个圆的。 大扇形圆心角的度数与小扇形圆心角度数的比是7∶2，就是把1个周角平均分成(7＋2)份，大扇形圆心角的度数占其中的7份，所以大扇形占整个圆的，即；小扇形圆心角的度数占其中的2份，所以小扇形占整个圆的，即。 3.14×10×＋10＝25.7(cm) 半圆形的周长＝圆的周长×＋直径。 $$