精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期高二年级期中考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义式化简，结合导数的计算公式可得解. 【详解】由， 又，， 所以， 所以原式等于， 故选：D. 3. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式可得答案. 【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为， 则一列车能正点到达该车站的概率为. 故选：A. 4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 5. 设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得，则 ，则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 6. 已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 7. 设等差数列的公差为,前项和为,则“”是“单调递增”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和的关系，以及数列的单调性得，可得选项． 【详解】充分性：设等差数列的首项为，公差为,且，则，所以不一定成立，即由不能推出数列单调递增，所以充分性不成立； 必要性：数列单调递增，则对任意，，当时，即可满足，∴不能推出，所以必要性不成立. 故选：D． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项，前n项和，数列的单调性，关键在于得出数列的通项与前n项的和关系，属于基础题。 8. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ） （若，则）． A. 10 B. 25 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布性质列出不等关系，求解不等式可得答案. 【详解】由题意，即，，解得. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求导判断． 【详解】，故A对； ，故B错； ，故C错； ，故D对； 故选：AD 10. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭中既有男孩又有女孩，事件B：该家庭中至多有一个男孩，则下列结论正确的是（ ） A. 若该家庭中有两个小孩，则 B. 若该家庭中有三个小孩，则 C. 若该家庭中有两个小孩，则A与B相互独立 D. 若该家庭中有三个小孩，则A与B相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和C，若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断B和D. 【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种情况， (男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)(男，女)，(女，男)， 则A与B不互斥，，，， 于是，所以A与B不相互独立，则A正确、C错误； 若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，共8种情况， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，则A与B不互斥， ，，，于是， 所以A与B相互独立，则C和D均正确. 故选：ABD 11. 设离散型随机变量的取值为，且，则（ ） A. 当数列为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足时， D. 当数列满足时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列性质及可判断A选项；原式可变形为，裂项相消法可判断B选项；根据等比数列求和公式可求出，结合概率的性质求出可判断C选项；根据条件得到递推公式可判断D选项. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为，前项和为， 因为离散型随机变量的取值为，且， 所以，故， 因为，条件不能说明， 所以不正确，故A错误； 对B，由可知， 可变形为， 所以 ，故B正确； 对C，由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，故C错误； 对D，令，， 则， 整理得，，即， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】该同学通过测试的概率为，故答案为. 13. 设（）的个位数为，则______． 【答案】123 【解析】 【分析】先计算确定数列的周期性，再应用数列的周期计算即可. 【详解】因为的个位数分别为， 所以数列是周期为4的周期数列， 所以， 故答案为：123 14. 已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出直线方程为，与曲线方程联立利用韦达定理可得，再利用导数的几何意义求点的坐标得到数列的递推关系式，进而得到通项公式，最后根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点， 设直线方程为，联立方程消去得， 所以， 由求导可得， 由题意可得点在曲线上，则， 过点的切线方程为，代入整理得， 令解得，根据题意可得，即， 所以数列是公比为的等比数列，同理可得也是公比为的等比数列， 所以，，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前项和， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】（1）切线斜率为，方程为；（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线斜率和方程； （2）设出切点，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入，解方程可得切点，进而得到切线方程. 【详解】（1）， ，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 切线方程为即. （2），设切点坐标为，则， 则所求切线方程为， 代入点的坐标得，解得， 则过点且与曲线相切的直线方程为，即. 16. 已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项公式， （2）由（1）的结论，用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，成立， 所以 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，， 所以当时，取最小值为42，所以， 所以实数的取值范围为. 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】（1）答案见解析 （2）甲面试通过的可能性大 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【小问1详解】 设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； 【小问2详解】 由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 18. 已知函数，记，且，． （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）证明见解析；；（ⅱ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案； （2）（ⅰ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和； （ⅱ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论. 【小问1详解】 因为，所以， . 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 又，所以，； 由（1）可知，，所以，， ，所以是以为首项和公差的等差数列， ，所以. ,, 两式相减可得 . （ⅱ），， 所以 因为，所以. 19. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到经验回归方程； （2）由题意可知时，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 由题意，，， ， ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， ． 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 【小问3详解】 由第二问可知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为,最小值为． 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于． 【点睛】关键点点睛：时，，即可根据， 证明时，数列为各项都为1的常数列，进而可求解，对分奇偶，结合单调性求解收敛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期高二年级期中考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875 4. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 设，则随机变量分布列是： 则当在内增大时 A 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 6. 已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ） A 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 设等差数列的公差为,前项和为,则“”是“单调递增”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ） （若，则）． A. 10 B. 25 C. 50 D. 100 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭中既有男孩又有女孩，事件B：该家庭中至多有一个男孩，则下列结论正确的是（ ） A. 若该家庭中有两个小孩，则 B. 若该家庭中有三个小孩，则 C. 若该家庭中有两个小孩，则A与B相互独立 D. 若该家庭中有三个小孩，则A与B相互独立 11. 设离散型随机变量取值为，且，则（ ） A. 当数列为等差数列时， B. 数列的通项公式可能为 C. 当数列满足时， D. 当数列满足时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 13. 设（）的个位数为，则______． 14. 已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 16. 已知数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请从稳定性角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 18. 已知函数，记，且，． （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 19. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $