专题03 第四章 三角恒等变换（考点串讲，7大考点&11大题型剖析）（期末复习课件）高一数学下学期北师大版

北师大版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 专题03 三角恒等变换 （7考点&11题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 同角三角函数的基本关系  清单02 两角和与差的余弦公式  考点透视 清单03两角和与差的正弦公式  考点透视 清单04 两角和与差的正切公式 考点透视 清单05 二倍角正弦余弦公式 考点透视 清单06 半角公式 清单07 辅助角公式 题型剖析 【答案】B 题型剖析 题型剖析 【答案】BD 题型剖析 【考点题型四】给定角或者三角函数值，求三角函数值 题型剖析 【考点题型五】给定三角函数值，求角 【答案】A 题型剖析 【考点题型六】逆用两角和差公式 【答案】A 题型剖析 【考点题型七】三角函数综合（选填） 【答案】ABD 题型剖析 【考点题型八】三角函数综合（解答） 题型剖析 题型剖析 【考点题型九】三角函数中的恒（能）成立问题 题型剖析 【考点题型九】三角函数中的恒（能）成立问题 题型剖析 【考点题型九】三角函数中的恒（能）成立问题 题型剖析 【考点题型十】三角函数中零点问题 题型剖析 【考点题型十】三角函数中零点问题 题型剖析 【考点题型十一】三角函数中零点代数和问题 题型剖析 【考点题型十一】三角函数中零点代数和问题 题型剖析 【考点题型十一】三角函数中零点代数和问题 押题预测 B 押题预测 A 押题预测 【答案】BD 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1、平方关系： 2、商数关系:（，） （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： ① ②； ； ③ ① ② ③ (其中) 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为第二象限角，，所以设， 所以，解得，所以. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）． （2） ． 对于D，，D正确. 【例3】（多选）（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 【例4】（24-25高一下·江苏·期中）已知，，则 ． 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 【例5】（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【详解】由，，则， ， ， 则， 故. 故选：A. 【例6】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：A. 【例7】（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．当取得最大值时， D．当取得最大值时， 【详解】由题意得， ， 其中，， 故的最小正周期为，值域为，故A，B正确； 当取得最大值时，， ， ，故C错误，D正确， 故选：ABD 【例8】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 【详解】（1） ， 设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则， 由题意得为偶函数，所以， 解得， 又，所以，所以. 当时，， 所以， 所以，即的值域为. （2）因为， 所以，即， 所以，即， 又， 所以. 所以. 【例8】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数. (1)若，求的值域； (2)若，求的值. 【例9】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （2）由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）， 的最小正周期； 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，函数. (1)求的最小正周期; (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为. 【例11】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数 (1)求函数在区间上的单调递减区间； 【详解】（1）解： ， 因，则， 又在上单调递增，在上单调递减， 由可得， 即函数在区间上的单调递减区间为. (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值. （2）解：将函数的图象上所有的点向右平移个单位， 可得到函数的图象， 再把所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象， 再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象， 当时，，令， 则，令， 令，可得，其中， 作出函数与函数在时的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与函数在时的图象有三个交点， 设，其中， 则点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， 所以，，，则， 所以，，解得. (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根、、，求实数的取值范围和的值. 1．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）因为，，所以， 因为，所以，且； . 因为，所以. 1．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，， 所以，， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 2．（2025·江西鹰潭·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得：， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 3．（2025·江西宜春·二模）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图象关于直线对称 C．的最小值为 D．在上单调递减 【详解】， 不是偶函数，故A错误； 令，则，当时，， 所以是函数的对称轴，故B正确； ，故C错误； 令，则， 当时，，故在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 4．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1） （2）. 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. 【详解】（1）. 当时，， 且当时，取得最大值，即解得. 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为3. (1)求； (2)求在区间上的单调递增区间； (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. （2）由（1）知. 令，得， 当时，；当时，；当时，. 又在区间上的单调递增区间为与. (3)将的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图象，若且，求的值. （3）将的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到的图象， 再向右平移2个单位长度得到的图象， 即. 令，得， 的图象在内的对称轴为直线. 因且则， . $$