专题01 第一章 三角函数（考点串讲，11大考点&31大题型剖析）（期末复习课件）高一数学下学期北师大版

北师大版（2019）高一数学下学期·期末大串讲 专题01 三角函数 （11考点&31题型） 北师大版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 象限角  考点透视 清单02 轴线角  考点透视 清单03 终边相同的角  清单04 扇形的弧长和面积  考点透视 清单05 三角函数定义  考点透视 清单06 正弦、余弦、正切函数的图象与性质  考点透视 清单07 周期性  考点透视 清单08 三角函数奇偶性  考点透视 清单09 三角函数对称性  考点透视 清单10 三角函数图象变化  考点透视 清单10 三角函数图象变化  考点透视 清单11求三角函数解析式  题型剖析 【考点题型一】区间角的表示 【答案】B 题型剖析 【考点题型二】角度制与弧度制 题型剖析 【考点题型三】扇形弧长与面积公式 题型剖析 【考点题型三】扇形弧长与面积公式 题型剖析 【考点题型四】N分角 题型剖析 【考点题型五】定义法求三角函数 题型剖析 考点题型六】由三角函数值求终边上的点或参数 【答案】-24 题型剖析 【考点题型七】利用诱导公式化简 题型剖析 【考点题型八】由三角函数值求角 题型剖析 【答案】ACD 题型剖析 【考点题型十】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型十】五点法画正余弦函数的图象 题型剖析 【考点题型十一】含绝对值的正余弦函数图象 题型剖析 【考点题型十二】正余弦函数的单调性问题 【答案】C 题型剖析 【考点题型十三】正余弦函数的奇偶性问题 题型剖析 【考点题型十四】正余弦函数的周期性问题 题型剖析 【考点题型十五】正余弦函数的对称性问题 【答案】A 题型剖析 【考点题型十六】正余弦函数的值域问题 【答案】B 题型剖析 【考点题型十七】正切函数的定义域 题型剖析 【考点题型十八】正切函数的图象 【答案】C 题型剖析 【考点题型十九】正切函数的单调性 题型剖析 【考点题型十九】正切函数的单调性 题型剖析 【考点题型二十】正切函数的奇偶性 【答案】A 题型剖析 【考点题型二十一】正切函数周期性 题型剖析 【考点题型二十二】正切函数对称性 题型剖析 【考点题型二十三】正切函数的值域 题型剖析 【考点题型二十四】三角函数图象变化 【答案】D 题型剖析 【考点题型二十五】求三角函数解析式 题型剖析 【考点题型二十五】求三角函数解析式 题型剖析 【考点题型二十五】求三角函数解析式 题型剖析 【答案】ABD 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 B 押题预测 D 押题预测 【答案】C 押题预测 A 押题预测 D 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 所有与角终边相同的角为 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 函数 周期 函数 周期 函数 () () () 周期 其它特殊函数，可通过画图直观判断周期 三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数 () () () () () (1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()； (3)函数是奇函数⇔()． (1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得； (3)函数的图象的对称中心由)解得． 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B． （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. 【例2】（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) （9） （10）. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【例3】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； 【例3】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 【例题4】.（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【例5】（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边落在射线上，求的值． 【答案】 【详解】射线经过第二象限，在射线上的取点， 即角的终边经过点，则， 利用三角函数定义可得，，； 所以. 【例6】（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则 ． 【详解】因为，且角的终边经过点，所以，解得．故答案为：-24 【例7】（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1）因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点， 所以，； 整理得，解得，故. （2）由诱导公式可得： ； 因为，所以； 因此原式. 【例8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）满足，的角的集合为 . 【详解】由，则， 即，又， 则，有， 当，有， 故角的集合为. 故答案为：. 【例9】（多选）（23-24高二上·江西吉安·开学考试）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【详解】对于A：因为所以 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确.故选：ACD. 【例10】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 【详解】（1）令，利用的图象取点法画图；列表如下    作在上的图如下： 【例10】（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知 (1)用五点法画出在上简图（要有作图痕迹）； (2)求函数在上的值域。 （2）由函数在上单调递增，在上单调递减，而，，得值域为. 【例11】（2023高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【详解】， 的图象如下图所示， 【例12】（24-25高一下·河南信阳·期中）函数，的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【详解】， 令， 函数的单调递减区间为. 由， 得， 而，根据复合函数的单调性可知，所求单调递增区间是和. 故选：C. 【例13】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 【例14】．（2025·湖北十堰·三模）函数的最小正周期为 ． 【详解】因为， 如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为. 故答案为：. 【例15】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 所以图象的对称中心为． 故选：A. 【例16】（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 【例17】（24-25高一下·北京·阶段练习）函数的定义域是 . 【详解】要使函数有意义，则有， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【例18】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）函数在某一周期内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题可知，的最小正周期，排除B，D．因为，所以排除A． 故选：C． 【例19】（2026高三·全国·专题练习）设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【详解】（1）由题意知，函数的最小正周期，即．因为，所以， 所以． 因为函数的图象关于点对称，所以， 即． 又，所以，所以． 【例19】（2026高三·全国·专题练习）设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． （2）令，，得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 【例20】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【详解】设，定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数， 从而，即， 即. 故选：A 【例21】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）函数的最小正周期为 ． 【详解】函数的最小正周期为.故答案为： 【例22】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ． 【详解】令，可得：，结合， 令，可得，得，解得， 所以， 所以 . 故答案为：. 【例23】（23-24高一下·上海·课后作业）函数的值域为 ． 【详解】∵，∴， ， ∴时，，时，，∴所求值域为． 故答案为：． 【例24】（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 【例25】（24-25高一下·江西·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式和单调递增区间； 【详解】（1）由图象可知，因为，即，所以，解得． 所以， 又因为函数的图象经过点， 所以．所以，所以． 又因为，所以．所以． 由，得， 所以的单调递增区间为； (2)求在区间上的最值； （2）因为，所以， 所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为； (3)求不等式的解集． （3）由，可得， 所以，解得， 由（1）可得，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 【例26】（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）若，则（   ） A．初相为 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．为奇函数 【详解】对于函数，初相为，A正确； 最小正周期为，B正确； 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，C错误； ，该函数为奇函数，D正确， 故选：ABD. 【例27】（24-25高一下·江西景德镇·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点，连线得到． 0 0 2 0 0 (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； 【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象 (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． （2）列表： 0 x y 0 2 0 -2 0 【例28】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的解析式； (2)若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）由已知得,解得. 由相邻两条对称轴间的距离为可知周期,于是， 故函数解析式为 （2）当时，，函数在区间内有两个零点，则在区间上有两个根，， 则，所以. 【例29】（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知函数，的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； 【详解】（1）由因相邻两对称轴间的距离，则，解得，故； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 即得的图象. 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，则当时， 即时，取得最小值-2， 当时，即时，取得最大值，故函数的值域为； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. （3），由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【例30】（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． (1)求； 【详解】（1）解：函数，将曲线的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 因为函数为偶函数，可得，解得， 又因为，所以. (2)求的相位及最小正周期； （2）解：由（1）知：，所以， 所以函数的相位为，最小正周期为. (3)当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． （3）解：由（2）知：， 则不等式，即为， 当时，可得， 要使得恒成立，则满足， 解得，即的取值范围为. 【例31】（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； 【详解】（1）由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． （3）由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】由条件得， 又时，，是整数，且最小， 则. 故选：B. 1．（24-25高一下·陕西·期中）圆心角为，半径为的扇形，其弧长为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆心角为，半径为的扇形，其弧长为. 故选：D. 2．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 3．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 4．（23-24高一下·江西·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 【详解】显然， 因此函数的图象可由的图象向左平移1个长度单位而得，D正确，ABC错误.故选：D 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以， 所以. 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 6．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知， (1)若，求的值； 【详解】（1）函数, 因为，所以， 所以， . (2)在三角形ABC中，若，求的最大值； （2）由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． （3）由（1）可知 , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. $$