专题04 第9章 复数（考点串讲，6大考点&7大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020）高一数学下学期·期末大串讲 专题04 第9章 复数 （6考点&7题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 复数的有关概念  清单02 复数的分类  考点透视 清单03 复数的几何意义 考点透视 清单04 复数的模  考点透视 清单05 复数的四则运算  考点透视 清单06 共轭复数  考点透视 【考点题型一】复数的有关概念 【答案】1 考点透视 【考点题型二】复数的分类 考点透视 【考点题型三】复数的几何意义 【答案】C 考点透视 【考点题型四】复数的模 考点透视 【考点题型五】复数的四则运算 题型剖析 【考点题型六】共轭复数 题型剖析 【考点题型七】新定义题 易错易混 押题预测 4 押题预测 【答案】7 押题预测 【答案】B 押题预测 押题预测 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 . 【详解】由，所以该复数的虚部为1. 故答案为：1. （4）若，则，而当时，z不是纯虚数，假命题． 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）下列关于复数z和的命题是真命题还是假命题？请给出结论并说明理由． (1)一定是实数； (2)一定是纯虚数； (3)若，则是实数； (4)若，则是纯虚数． 【详解】（1）设复数，则，，一定是实数，真命题； （2）由，而当时，不是纯虚数，假命题； （3）若，则，则z是实数，真命题； 【例3】（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 【例4】（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 【例5】（24-25高一上·上海·单元测试）若复数，则 . 【详解】模长的性质：. . 故答案为：. 【例6】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【例7】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 1．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）若，则复数的虚部为 【详解】设， 由， 则， 即， 即，解得或， 所以或. 则复数的虚部为. 故答案为：. 1．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 因为复数满足，所以复数对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上. 又表示点到点的距离. 结合图形可知，当，，三点共线，且，在点两侧时，最大， 此时. 所以. 故答案为：7 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则 ②若为虚数，则中至少有一个为虚数． ③在复平面上所对应的点一定在虚轴上． A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】对①：因为，但，所以①错误； 对②：根据虚数减法的运算法则，可知②是正确的； 对③：若，则，所对应的点不在虚轴上，故③错误. 故选：B 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【详解】（1）为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. （2）复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． $$