专题01 第6章 三角（考点串讲，13大考点&26大题型剖析）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020）高一数学下学期·期末大串讲 专题01 第6章 三角 （13考点&26题型） 沪教版2020 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 象限角  考点透视 清单02 轴线角  考点透视 清单03 终边相同的角  清单04 扇形的弧长和面积  考点透视 清单05 三角函数定义  考点透视 清单06 同角三角函数基本关系  考点透视 清单07 两角和与差公式  考点透视 清单08 二倍角公式  清单09 降幂公式  清单10 辅助角公式  考点透视 清单11 正弦定理  考点透视 清单12 三角形面积公式  清单13 余弦定理  题型剖析 【考点题型一】区间角的表示 【答案】C 题型剖析 【考点题型二】终边相同的角的集合 题型剖析 【考点题型二】终边相同的角的集合 题型剖析 【考点题型三】角度制与弧度制 题型剖析 【考点题型四】扇形弧长与面积公式 题型剖析 【考点题型五】n分角 【答案】C 题型剖析 【考点题型六】定义法求三角函数 题型剖析 【考点题型七】由某一三角函数求其余三角函数值 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 【考点题型十】利用诱导公式化简 题型剖析 【考点题型十一】由正弦值（余弦值，正切值）求角 题型剖析 【考点题型十二】两角和与差的余弦公式及其应用 题型剖析 【考点题型十三】两角和与差的正弦公式及其应用 题型剖析 【考点题型十四】两角和与差的正切公式及其应用 题型剖析 【考点题型十五】二倍角公式的应用 题型剖析 【考点题型十六】辅助角公式的应用 题型剖析 【考点题型十七】三角恒等变化化简求值 题型剖析 【考点题型十八】拼凑角求角或求值 题型剖析 【考点题型十九】解三角形 题型剖析 【考点题型二十】判断三角形的形状 题型剖析 【考点题型二十一】边角互化的应用 题型剖析 【考点题型二十二】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型二十二】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型二十三】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十四】三角形周长(边长）（最值+范围）问题 题型剖析 【考点题型二十五】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型二十五】三角形面积（最值+范围） 题型剖析 【考点题型二十六】正余弦定理的实际应用 题型剖析 【考点题型二十六】正余弦定理的实际应用 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 所有与角终边相同的角为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ② 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (其中) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤ ④，，（可实现边到角的转化） ⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）余弦定理的描述 ①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则： ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）余弦定理的推论 ； ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合 中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【详解】当 时， ， 此时 的终边和 的终边一样， 当 时， ， 此时 的终边和 的终边一样． 故选：C． 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合 ． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【详解】（1）（1）当 （ ）时， ，与45°角的终边重合； 当 （ ）时， ，与135°角的终边重合； 当 （ ）时， ，与225°角的终边重合； 当 （ ）时， ，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知角的集合 ． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． （2）由 ，得 ． 又 ，故 ，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为 ， ． 【例3】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： . 【详解】 . 故答案为： 【例题4】.（23-24高一下·上海·阶段练习）一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？ 【详解】 设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，即 ． 扇形的面积 ，将上式代入， 得 ， 所以当且仅当 时， 有最大值16， 此时 ， 可得： ． 所以当 时，扇形的面积取最大值，最大值为 ． 【例5】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知 为第三象限角，则 所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【详解】由 为第三象限角，得 , 则 , 当 EMBED Equation.DSMT4 ，此时 在第二象限； 当 EMBED Equation.DSMT4 ，此时 在第四象限. 故 是第二或第四象限角. 故选：C. 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知点 是角 终边上一点，求 、 、 、 的值. 【详解】 ; ; 不存在， . 【例7】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知 为第二象限角，点 在其终边上，且 ，则 ． 【详解】根据三角函数定义 ，解得 ， 因为 为第二象限角，所以 ， 所以 . 故答案为： . 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知 ，求 的值； （2）若 ，求 的值． 【详解】（1）因为 ，又 ，所以 . （2）因为 ，两边同时平方得到 ， 整理得到 ，所以 . 【例9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知 ，计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【详解】（1）因为 ， 令 ，则 ， ， 所以 ，整理得 ，解得 或 ， 又 ，故 ，即 ， 所以 ，即 . 【例9】（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知 ，计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． （2）因为 ， 所以 . （3）因为 ， ， 所以 . （4）因为 ， 所以 . 【例10】（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1) ； (2) ． 【详解】（1） ； （2） . 【例11】（23-24高一下·上海·假期作业）根据下列条件，分别求角 ： (1)已知 ；(2)已知 ；(3)已知 . 【详解】（1） ， 原式等价于求解 ，从而其解为 ， . （2） ， 原式等价于求解 ， 从而其解为 ， . （3） ， 原式等价于求解 ，从而其解为 ， . 【例12】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知 ，若 ， ，则 ． 【详解】由 ， ， 则 ， 故 ， 由 ，所以 故答案为： 【例13】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知 ， 是第二象限角，求 的值． 【详解】因为 ，所以 又因为 ，所以 ， 因为 是第二象限角，所以 ， . 所以 . 【例14】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简下列各式： (1) ； (2) . 【详解】（1） . （2） . 【例15】（24-25高一下·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，角 的始边与x轴的非负半轴重合，角 的终边恰好与单位圆O相交于点 . (1)求 ， 的值； (2)求 ， 的值. 【详解】（1）由单位圆中三角函数的定义可得 ， . （2）由二倍角公式可得 ， . 【例16】（24-25高一下·上海·期中）已知函数 在 时取得最大值，则 . 【详解】 ，其中 ， 当 时，即 时，函数取得最大值， 即 ， 则 . 故答案为： 【例17】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，角 的终边分别与单位圆交于 两点， 两点的纵坐标分别为 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值． 【详解】（1）由题知 ，且 是第二象限角，得 ， 所以 ． （2）由题知 ，且 是第一象限角，得 ，又 ， ， 所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 【例18】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知 (1)求 的值； (2)若 ，求锐角 的值. 【详解】（1）因为 ，所以 则 （2）因为 ， 为锐角，所以 ， 由 可得 ， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ． 因为 为锐角，所以 【例19】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 【例20】（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，，且．试判断的形状． 【详解】由正弦定理可得，，． 因为，则，即， 可知，则，可得， 又因为，则， 且，则，可得， 所以是等腰直角三角形． 【例21】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，则 ． 【详解】因为， 由正弦定理， 可得，设， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由，可得， 因为 ， 所以， 故答案为：. 【例22】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【详解】（1）由余弦定理得，即， 又，所以，解得，， 所以. 【例22】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知在中，分别为内角所对的边，且满足，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． （2）因为，所以， 又，所以，， 因为，所以，所以， 若B为锐角，则， 所以， 所以三角形周长为； 若B为钝角，则，， 所以三角形周长为. 综上，当B为锐角时，周长为； 当B为钝角时，周长为. 【例23】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 【例24】（23-24高一下·上海黄浦）已知在中，、、分别为角、、所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得， 即， 因为、，则，，所以，. 【例24】（23-24高一下·上海黄浦）已知在中，、、分别为角、、所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求的周长的取值范围. （2）解：因为的外接圆半径为，由正弦定理可得， 所以，，，， 所以，的周长为 ， 因为，则，所以，，则， 所以，. 【例题25】.（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． 【详解】（1） ，，． ， ，，， 可得：． 【例题25】.（24-25高三上·上海松江·阶段练习）已知，，函数． (1)当时，求的值域； (2)已知的内角的对边分别为，，，若，求的面积的最大值． （2），可得：， ，，可得：，解得：． ， 由余弦定理， 可得： 当且仅当时取到等号， ． 【例26】（24-25高一下·上海杨浦·期中）上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到) (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【详解】（1）由，又， 且，，则， 所以米； (2)记，求人行道路长度的最小值. （2）由题设，知 ， 由在的中点到之间运动（含端点），故， 而，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为米. 4．（辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷）已知为锐角三角形，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足： (1)求角A的取值范围； 【详解】（1）由题意知 得， 由正弦定理可得：，即， ∴， 又，所以A的取值范围为； (2)当角A取最大值时，若，求面积的取值范围． （2）由（1）知：；由正弦定理得：， 所以， ， 又A+B+C=π，则， ， 因为为锐角三角形， ∴，即，解得：， 则，， 所以， 所以的面积的取值范围为. 1．（24-25高三下·上海虹口·期中）若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 2．（24-25高一下·吉林延边·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为 km 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【详解】由，又由. 故答案为：. 4．（24-25高一·上海·随堂练习）已知正实数a，b满足，则 ． 【详解】原式可变形为：， 令，则有， 由此可， 所以，（）， 故， 即． 故答案为： 5．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，，则，又， 所以. 5．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； （2）由边上的高等于，得，即， 由余弦定理得，于是， 则，， 由，得，因此，， 所以的取值范围为. $$