精品解析：2025年湖南省长沙市雅礼教育集团一模数学试题

2025年上学期九年级一模检测试卷 数学科目 命题人：严涛 禹帆 李波，审题人：严涛 禹帆 李波 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 是深度求索人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达2360亿个模型参数，数据2360亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 9. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 10. 为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天．求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 13. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 14. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 15. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 16. 甲、乙、丙、丁四位同学对小雅同学书包里的书的本数作出不同估计： 甲说：“书包里至多12本书”； 乙说：“不！不！书包里的书至少有6本，至多11本”； 丙说：“书包里至多7本书”； 丁说：“我估计乙、丙两人中至少有一人说对了”； 小雅说：“你们4个人的话，只有1个人正确”． 则甲、乙、丙、丁中____________估计正确，小雅书包里有____________本书． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小雅一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小雅发现古镇C恰好在A地的正北方向． （1）求点B到的距离； （2）求的长度．（如果运算结果有根号，请保留根号） 20. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 23. 【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直． 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据定义完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的值． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． （1）求直线上的“倍点”的坐标； （2）已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 25. 如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接，若，求的长． （3）如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期九年级一模检测试卷 数学科目 命题人：严涛 禹帆 李波，审题人：严涛 禹帆 李波 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A、原式=m4，不符合题意； B、原式=x2+2x+1，不符合题意； C、原式=27m6，不符合题意； D、原式=2a7，符合题意， 故选D． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 4. 是深度求索人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达2360亿个模型参数，数据2360亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：亿． 故选：B． 5. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到角的关系，再结合垂直的定义求出的度数．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 7. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意将不等式分别解出并在数轴上画出即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式得， ∴解不等式得：， ∴， ∴将解集表示在数轴上为：， 故选：C． 8. 一次函数的图象经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的图象与系数的关系，是解题的关键． 根据一次函数的增减性质与k符号的关系，与y轴交点和b符号的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴函数图象与y轴负半轴相交， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：A． 9. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 10. 为落实“数字中国”的建设工作，一市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天．求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装x间教室，则列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乙公司安装间教室比甲公司安装相同数量的教室多用3天列式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选A； 【点睛】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 13. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解. 【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， 所以恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是＝， 故答案为. 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 14. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 15. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_ 【答案】-4 【解析】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数所在的象限确定k的值． 【详解】∵△POM的面积等于2，∴|k|=2． ∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 16. 甲、乙、丙、丁四位同学对小雅同学书包里的书的本数作出不同估计： 甲说：“书包里至多12本书”； 乙说：“不！不！书包里的书至少有6本，至多11本”； 丙说：“书包里至多7本书”； 丁说：“我估计乙、丙两人中至少有一人说对了”； 小雅说：“你们4个人的话，只有1个人正确”． 则甲、乙、丙、丁中____________估计正确，小雅书包里有____________本书． 【答案】 ①. 甲 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理能力．假设某人说法正确，根据题意验证其他人的陈述是否全部错误，同时满足“只有1个人正确”的条件，结合矛盾条件排除不可能的情况即可求解． 【详解】解：假设甲正确， 甲“书包里书的数量”的说法正确； 乙“书至少有6本，至多11本”的说法错误，又根据甲正确，则小雅书包里有书12本； 丙“书包里至多7本书”的说法错误，则书的数量，则小雅书包里有书11本也满足； 丁“我估计乙、丙两人中至少有一人说对了”的说法错误； 结论，甲正确，乙、丙、丁错误，符合题意小雅说：“只有1个人正确”的条件； 假设乙正确， 乙“书至少有6本，至多11本”的说法正确， 甲“书包里书的数量”的说法与乙的范围相矛盾，排除； 假设丙正确， 丙“书包里至多7本书”的说法正确， 甲“书包里书的数量”的说法与丙的范围相矛盾，排除； 假设丁正确， 丁“我估计乙、丙两人中至少有一人说对了”的说法正确， 则甲、乙、丙均错误，排除； 综上，甲正确，小雅书包里有书12本； 故答案为：甲；12． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先根据零指数幂、算术平方根、绝对值、特殊三角函数值的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 19. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小雅一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶6千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小雅发现古镇C恰好在A地的正北方向． （1）求点B到的距离； （2）求的长度．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由题意得，解即可求解； （2）解即可求解，再由为等腰直角三角形得到，然后由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 答：点B到的距离千米； 【小问2详解】 解：在中，， ∴ 而由（1）得， ∴， 答：的长度为千米． 20. 如图，在中，，点E在上，以为直径的经过上的点D，与交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明解析； （2）设的半径为，由题意求出半径，再根据特殊角的三角函数值求出，再求出，再由弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的计算，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 （2）该校最多可以购买甲种书40本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． 23. 【课本再现】 思考： 我们知道，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形的对角线互相垂直． 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 通过观察，可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【定理证明】 （1）为了证明该判定定理，小南同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请根据定义完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 【知识应用】 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形平行四边形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）①证明：∵四边形平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∴是菱形； ②． 【解析】 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，求得，即可证明是菱形； （2）①利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，即可证明是菱形；②利用三角形的外角性质求得，得到，再取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． （1）求直线上的“倍点”的坐标； （2）已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 【答案】（1）直线上的“倍点”的坐标为； （2）； （3）m的值为或． 【解析】 【分析】（1）设直线上的“倍点”的坐标为，根据“t倍点”的定义得，，联立得，据此求解即可； （2）根据题意，是方程即的两个根，由根与系数的关系得，，求得，令，根据，，求得，再根据二次函数的性质即可求解； （3）先求得翻折图形的解析式为，联立，求得，，再分三种情况讨论，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：设直线上的“倍点”的坐标为， 根据“t倍点”的定义得，， 又点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴直线上的“倍点”的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，是抛物线上的两个“1倍点”， ∴，， 即，是方程的两个根，即， 由根与系数的关系得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 对于， ∵开口向上， ∴当时，； 当时，； 则； 【小问3详解】 解：使“倍点”的坐标为，则， 联立得， 解得或， ∴直线与抛物线的交点坐标为，， ∵， ∴顶点为，则就是抛物线的顶点， 设点关于的对称点为， ∴， ∴， ①当时，最多有两个实数根， ∴图象最多有两个“倍点”，不可能存在三个倍点”， ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； ③当时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； 综上，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 25. 如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接． （1）若，求的度数． （2）如图2，连接，若，求的长． （3）如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值． 【答案】（1） （2） （3），y的最大值 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理； （1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解； （2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可； （3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到， ，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵点E为的内心， ∴和是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：连接交于，连接，过作于， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴当即与重合时，最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $