专题08 图形的性质---三角形&相似三角形（9大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题08 图形的性质---三角形&相似三角形 题型概览 题型01 几何图形的初步知识 题型02 利用平行线的的性质求角度 题型03 全等三角形的性质与判定 题型04 勾股定理 题型05黄金分割 题型06 相似三角形的性质与判定 题型07相似三角形的实际应用 题型08 位似 题型09三角形的综合题 几何图形的初步知识题型01 1．（2025·山西运城·一模）爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 2．（2025·山西晋中·一模）右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西运城·一模）宋代龙泉窑烧制的龙泉窑青釉盘口瓶，现收藏于故宫博物院．这件文物造型秀美，釉色纯净，代表古代青釉烧制的极高水平．如图，这件文物的表面可以大致看成由下面哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·模拟）如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西朔州·模拟）如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 利用平行线的性质求角度题型02 6．（2025·山西晋中·一模）一副三角板如图放置，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西太原·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（2025·全国·二模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 10．（2025·山西临汾·一模）如图，已知直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 全等三角形的性质与判定题型03 12．（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（    ） A． B． C． D． 13．（2025山西中考·模拟）如图，已知，．求证：． 14．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，是的中线，为上一点，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求证：． 勾股定理题型04 15．（2025·山西吕梁·一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 16．（2025·山西晋中·一模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 17．（2025·山西朔州·一模）已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 18．（2025·山西晋中·一模）如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为 ． 19．（2025·山西晋中·一模）在中，，，，点D是斜边的中点，过点B作交的延长线点E，连接，则 ． 20．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 黄金分割题型05 21．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 22．（2025·山西临汾·一模）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山西朔州·模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·山西运城·一模）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山西中考·模拟）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 相似三角形的性质与判定题型06 26．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．5 28．（2025·山西晋中·一模）如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·山西朔州·一模）如图，，与相交于点，已知，则的长为 ． 30．（2025·山西运城·一模）如图，在中，，是边上一点，，并交于点，若，，则的长为 ． 31．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 32．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在中，，在边上，，，若的面积等于，则的面积为 ． 33．（2025·山西朔州·一模）如图，，点，在线段上，，，求证：． 相似三角形的实际应用题型07 34．（2025·山西太原·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·山西临汾·一模）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 36．（2025·山西晋中·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 37．（2025·山西忻州·模拟预测）主题：利用相似三角形测量距离 【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．如图为示意图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中，，，四点在同一条水平线上，，，三点在同一竖直线上，且，． 【问题解决】 (1)请你帮助小明求出路灯的高度． (2)在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 位似题型08 38．（2025·山西阳泉·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标是．以原点为位似中心，将缩小，相似比为，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 39．（2025·山西临汾·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为 ． 40．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 41．（2025·山西晋中·一模）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．以坐标原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点C的对应点的坐标为 ． 42．（2025·山西临汾·一模）（位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 三角形的综合题题型09 43．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 放缩尺 工具简介：如图，这是工人师傅使用的一种放缩尺，其工作原理为数学中的相似三角形．已知四边形为平行四边形，，以点为轴心，在点处和点处安装制图笔，便可将点处的图形在点处放大． 数学原理：小组成员利用数学中平行四边形和相似的知识，求的比值过程如下． 如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形，．．．．．． （依据：___________）． 任务： (1)直接写出研究报告中，“___________”处空缺的内容：___________ (2)将“……”处的证明过程补充完整． (3)当点处制图笔所画图形的面积为4时，则点处制图笔所画图形的面积是___________． 44．（2025·山西长治·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时， 小明的证明过程（部分）如下： 证明：分以下三种情况讨论． a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上 则， b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则， ∵． ． ∴ ∴ c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则 任务 (1)请将图3的证明过程补充完整． (2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______． 45．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 1．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋中·一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西中考模拟）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·山西·一模）如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为 ． 7．（2025·山西运城·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ． 8．（2025·山西·一模）如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为 ． 9．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作边的垂直平分线交边于点，交边于点，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 10．（2025·山西临汾·一模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 方法如下： 一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为 的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分． 第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下： 由作图可知：，，又，∴， ，…… 完成下列任务： (1)第一小组证明过程中的“依据”是指______， (2)将第二小组的证明过程补充完整． 11．（2025·山西运城·一模）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明． 12．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的性质---三角形&相似三角形 题型概览 题型01 几何图形的初步知识 题型02 利用平行线的的性质求角度 题型03 全等三角形的性质与判定 题型04 勾股定理 题型05黄金分割 题型06 相似三角形的性质与判定 题型07相似三角形的实际应用 题型08 位似 题型09三角形的综合题 几何图形的初步知识题型01 1．（2025·山西运城·一模）爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在下图所示的方格纸中，现将这五个方格剪下（沿实线四周剪切，相互之间不剪断），沿实线折叠成无盖的正方体盒子，则哪个字的相对面没有字（   ） A．数 B．学 C．很 D．好 【答案】B 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据相对面必定隔一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：数和玩是相对面，很和好是相对面， 故没有相对面的字为学； 故选B． 2．（2025·山西晋中·一模）右图是亮亮制作的一个几何体的展开图，将其经过折叠可以围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图确定立体图形是解题的关键； 根据几何体的展开图确定立体图形，即可求解； 【详解】解：根据亮亮制作的一个几何体的展开图，可以看到底面为三角形，侧面为长方形，可以围成的几何体为三棱柱； 故选：B 3．（2025·山西运城·一模）宋代龙泉窑烧制的龙泉窑青釉盘口瓶，现收藏于故宫博物院．这件文物造型秀美，釉色纯净，代表古代青釉烧制的极高水平．如图，这件文物的表面可以大致看成由下面哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的结合体的形状是解题的关键．根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可． 【详解】解：由题意可得：这件文物的表面可以大致看成由A选项中的平面图形绕虚线旋转一周得到的． 故选：A 4．（2025·山西·模拟）如图，传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了面动成体的过程，熟练掌握面动成体是解题的关键；通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】 解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是， 故选：A 5．（2025·山西朔州·模拟）如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，整式加减的应用．根据题意结合正方体的展开图确定哪个面和哪个面相对应是解题关键．根据相对面上的多项式的和相等，列出关于A的算式进行计算即可． 【详解】解：∵A所在的面与的面相对，所在的面与所在的面相对， ∴ ． 故选：B． 利用平行线的性质求角度题型02 6．（2025·山西晋中·一模）一副三角板如图放置，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，三角板中角度计算，外角和定理等．根据题意 【详解】解：将和交点命名为， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·山西太原·一模）如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：延长交n于K， ∵平面镜与挡板n形成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据垂直与三角形的内角和即可求出，再根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 9．（2025·全国·二模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10．（2025·山西临汾·一模）如图，已知直角三角板的直角顶点在直线上，，直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，再根据“两直线平行，同位角相等”求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直角三角板的直角顶点在直线上，， ∴． ∵，， ∴， ∴ 故选：A． 11．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 全等三角形的性质与判定题型03 12．（2025·山西·一模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 13．（2025山西中考·模拟）如图，已知，．求证：． 【答案】见详解． 【分析】根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明． 【详解】证明：在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA（SSS）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键． 14．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，是的中线，为上一点，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 勾股定理题型04 15．（2025·山西吕梁·一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（   ） A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理． 【详解】解：如图， 由题意得，， 整理得， ∴赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是等面积法， 故选：D． 16．（2025·山西晋中·一模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】在中，由勾股定理可得，结合，，，即可得出，进而得出AD的长是方程的一个正根． 【详解】由题意可知：设，根据勾股定理得： ， 整理得：， 则该方程的一个正根是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、勾股定理，数形结合是解题的关键． 17．（2025·山西朔州·一模）已知是边长为4的等边三角形，点D是的中点，点E是延长线上一点，连接与相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作于点，求出，证明，即可得到． 【详解】解：取的中点，连接，过点作于点，则 ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 18．（2025·山西晋中·一模）如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形与全等三角形的判定及性质，解题关键是准确作辅助线构造相似三角形与全等三角形来建立所求线段与已知线段的关系． 首先，利用勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出的长，进而求出的长；然后，过点作，构造出，得到，最后根据相似三角形的性质列出关于的方程即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即， 解得 ． 在中， ， ∴ ． 过点作，交的延长线于点． ∴， ∵是中点， ∴即 ， 且， ∴， 则 ． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ． 解得 ． 所以的长为． 故答案为：． 19．（2025·山西晋中·一模）在中，，，，点D是斜边的中点，过点B作交的延长线点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点A作，交延长线于点G，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质求出，易证是等边三角形，得到，求出，，求出，进而求出，证明，推出，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作，交延长线于点G， ∵在中，，，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确构造辅助线是解题的关键． 20．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 【答案】 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 黄金分割题型05 21．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割的性质得，再代入计算即可. 【详解】解：∵点E是的黄金分割点， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 22．（2025·山西临汾·一模）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 23．（2025·山西朔州·模拟预测）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 24．（2025·山西运城·一模）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 25．（2025·山西中考·模拟）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．设它的较长一边的长为 ，则它的较短一边的长为，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设它的较长一边的长为 ，则它的较短一边的长为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 它的较长一边的长为， 故答案为：． 相似三角形的性质与判定题型06 26．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质等知识，设的长为，则．利用三角形外角的定义和的性质以及等腰三角形的判定以及性质得出，证明，利用相似三角形的性质得出，解出x即可得出答案． 【详解】解：设的长为，则． ，． ． 由作图可知，， ． 是的外角， ， ， ， ， ．． ， ， 即， （负值已舍去）． 故选：B． 27．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是平行四边形，点P是对角线上一点，过点P作的平行线分别交于点M和点N，连接．若，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据已知条件求得，再证明，求得，则可得，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 过点P作的平行线分别交于点M和点N， ， 四边形和四边形为平行四边形， ， 的面积为2， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：B． 28．（2025·山西晋中·一模）如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质、三角形内角和及等腰三角形性质得到相关角度及线段长度，再由相似三角形的判定和性质得到，设，代入可得，化为一元二次方程求解即可得到结论． 【详解】解： 是正五边形， ，， 则， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即 解得或（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 29．（2025·山西朔州·一模）如图，，与相交于点，已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 即：， ， ∴； 故答案为：． 30．（2025·山西运城·一模）如图，在中，，是边上一点，，并交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】易得，那么，作于点，分别计算出，的长度，根据勾股定理可得的长度，即可求得的长度． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是得到所求线段所在的三角形相似． 31．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，取的中点，连接，可得为的中位线，即得，，即可由得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，则， ∵点，分别是，的中点，，， ∴，为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在中，，在边上，，，若的面积等于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质等知识，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴的面积为， 故答案为：． 33．（2025·山西朔州·一模）如图，，点，在线段上，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键．由，可得，又由，，证得，即可证明，进一步可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 相似三角形的实际应用题型07 34．（2025·山西太原·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 35．（2025·山西临汾·一模）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 36．（2025·山西晋中·一模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 37．（2025·山西忻州·模拟预测）主题：利用相似三角形测量距离 【问题背景】小明家窗外有一路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．如图为示意图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中，，，四点在同一条水平线上，，，三点在同一竖直线上，且，． 【问题解决】 (1)请你帮助小明求出路灯的高度． (2)在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助小明减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 【答案】(1)； (2)在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． （1）根据，，可证，从而可证，，根据相似三角形的性质可得，，由可得，把代入，可得：； （2）在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 解得：； （2）解：在实际测量的过程中，为了减少误差，可以采取多测量几次求平均数的方法． 位似题型08 38．（2025·山西阳泉·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标是．以原点为位似中心，将缩小，相似比为，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选：B． 39．（2025·山西临汾·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与位似，与的面积比为， ∴与位似的位似比是， ∴． 故答案为：． 40．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 41．（2025·山西晋中·一模）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．以坐标原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．把C点的横纵坐标都乘以或即可得到点的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点C的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 42．（2025·山西临汾·一模）（位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 【答案】图形见解析，任务一：；任务二：成立，见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作位似图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 作图：连接并延长，截取，按照同样的方式确定点的位置，再顺次连接即可； 任务一：利用两边成比例且夹角相等证明，得到，即可证明； 任务二：同任务一证明即可． 【详解】解：如图，即为所作图形． 任务一：， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∴； 任务二：成立，改变了的形状和点的位置后， 证明：由作图知， ． ． ． ． 三角形的综合题题型09 43．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 放缩尺 工具简介：如图，这是工人师傅使用的一种放缩尺，其工作原理为数学中的相似三角形．已知四边形为平行四边形，，以点为轴心，在点处和点处安装制图笔，便可将点处的图形在点处放大． 数学原理：小组成员利用数学中平行四边形和相似的知识，求的比值过程如下． 如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形，．．．．．． （依据：___________）． 任务： (1)直接写出研究报告中，“___________”处空缺的内容：___________ (2)将“……”处的证明过程补充完整． (3)当点处制图笔所画图形的面积为4时，则点处制图笔所画图形的面积是___________． 【答案】(1)相似三角形的性质 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练证明两个三角形相似是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明即可解答； （3）根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， （相似三角形的性质）， 故答案为：相似三角形的性质； （2）解：如图，连接，由题知点在上． 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； （3）解：根据三角形的性质可得， 当点处制图笔所画图形的面积与点处制图笔所画图形的面积之比为， 即则点处制图笔所画图形的面积是， 故答案为：． 44．（2025·山西长治·模拟预测）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 若两个三角形中有一组角相等或互补，则称这两个三角形为共角三角形，小明发现共角三角形的面积与边之间存在着特殊的关系：已知和为共角三角形，当或时， 小明的证明过程（部分）如下： 证明：分以下三种情况讨论． a．当，且是直角三角形时，如图1，点D，E分别在边上 则， b．当且不是直角三角形时，如图2，点D，E分别在边上，分别过点C，E作于点G，于点H，则， ∵． ． ∴ ∴ c．当（时），如图3分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则 任务 (1)请将图3的证明过程补充完整． (2)如图4，在平行四边形中，点E在边上，且，F是边的中点．若，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识． （1）当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则，证明，则，则，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则，证明，则，由题意可证明，，，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：当（时），如图3，分别过点C，E作于点M，交的延长线于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作交的延长线于点H，过点D作于点M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵F是边的中点，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 45．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题背景 数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接． 初步探究： （1）与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求证：； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）①平行四边形，理由见解析；②见解析；（3）或 【分析】（1）根据中位线的性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，即可得出答案； （2）①根据中位线的性质得出，，，，即可得出结论； ②连接、，证明，得出即可； （3）连接，根据勾股定理和直角三角形性质求出，，求出， ，分两种情况讨论：当在旋转过程中时，当在旋转过程中时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵点D为的中点，G为的中点， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴； （2）①四边形为平行四边形；理由如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形； ②连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可知：， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， 当在旋转过程中时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵， ∴； 当在旋转过程中时，过点D作于点H，连接，过点B作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为底的等腰三角形， ∴此时符合题意， ∵，， ∴． 综上分析可知：．满足条件的的值为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 1．（2025·山西吕梁·一模）如图，一束太阳光线经平面镜反射后，反射光线与水平地面平行．测得平面镜与水平地面的夹角的度数为，则此时的太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反射问题，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握反射角等于入射角是解题关键．延长与交于点，由反射定理可得，结合平行线的性质得到，再利用对顶角相等和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长与交于点， 由反射定理可得， ，， ， ， ， ， 即太阳光线与水平地面所形成的锐角的度数是， 故选：D． 2．（2025·山西晋中·一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线性质的应用，利用两直线平行，内错角相等，可以将求转化为求内角，可得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： ， ， 、都与地面平行 ， ， 在中， ， ． 故选：B． 3．（2025·山西·模拟预测）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·山西中考模拟）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的重心是三角形三边中线的交点解答．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴E点为的中点，D为的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， 故选：B 6．（2025·山西·一模）如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及垂直平分线的作图与性质，利用垂直平分线的性质得出, ，并根据勾股定理即可求的值． 【详解】解：由作图可知, ， 在中，根据勾股定理，， ， ． 故答案为：． 7．（2025·山西运城·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，由重心的性质得，根据中线的性质可得，证明得，设，代入可求出，进而可求出． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H， ∵点是重心， ∴是中线，， ∴，，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 8．（2025·山西·一模）如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，设（），求得 ，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，，，． (1)作边的垂直平分线交边于点，交边于点，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，三角形内角和定理． （1）利用尺规作图，根据题意作出图形即可； （2）连接，证明，利用勾股定理结合等积法求解即可． 【详解】（1）解：所作图形，如图， （2）解：连接， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 10．（2025·山西临汾·一模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 方法如下： 一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为 的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分． 第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下： 由作图可知：，，又，∴， ，…… 完成下列任务： (1)第一小组证明过程中的“依据”是指______， (2)将第二小组的证明过程补充完整． 【答案】(1)SSS（边边边） (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的各种判定方法． （1）根据三角形的判定方法即可得到答案； （2）要想证明是角平分线需要根据角平分线的定义去证明，根据证明题目过程已经由边角边证明一次全等，得到，再根据角角边证明，得，最后根据边边边证明三角形全等，即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意可知答案为：SSS（边边边） （2）证明：由作图可知：，，又， ∴， ∴， ∵ ∴，又， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴平分． 11．（2025·山西运城·一模）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)图见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）由图可知，可得，由等腰三角形的性质可得，进而可得，则，即． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：，证明如下： 由图可知， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是作图-基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 【答案】（1）；（2）；（3）见详解 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，解一元二次方程，外角和定理等． （1）根据倍角三角形定义及三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意列式解一元二次方程即可； （3）取的中点，连接，利用中位线性质得，，再得，再利用外角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）根据倍角三角形定义，可知， ∴，即：， ∵， ∴， ∴的取值范围：， 故答案为：； （2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积， ∴，即：，解得：， 故答案为： ； （3）取的中点，连接， ∵点是的中点，点是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$