专题09 图形的性质---四边形（5大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题09 图形的性质---四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质与判定 题型02 矩形的性质与判定 题型03 菱形的性质与判定 题型04 正方形的性质与判定 题型05四边形的综合题 平行四边形的性质与判定题型01 1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质．在取点，使，连接，，交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再证明四边形是平行四边形，由此可以求出长． 【详解】解：在取点，使，连接，，交于点， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，为的中点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据作图，得到平分，平行四边形的性质，推出，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，进而得到，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：由作图可知：平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图一作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，以及斜边上的中线，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 3．（2025·山西长治·一模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山西晋中·一模）如图，在中，，点E为边的中点，且，延长到点F，使，连接并延长，交的延长线于点N．若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和线段中点的知识，掌握以上知识且作出正确的辅助线，是解题的关键； 本题先求得，再根据特殊的直角三角形和勾股定理求得，然后根据三角形相似的判定和性质即可求解的长． 【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为，即，过点作，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∵， 即解得：， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，点E和点F是的两个三等分点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明，是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，，根据题意得出，即根据全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定即可证明． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E和点F是的两个三等分点， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． 6．（2025·山西长治·模拟预测）【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点，，且，则点P就是一个“准等距点”．   根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点，，则点P是一个“准等距点”． 下面是我的证明过程： 证明：如图2，连接． …… 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． (2)如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）．    (3)已知一个四边形，对角线于点E，且，，四边形的面积为24．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，主要涉及菱形的性质，线段垂直平分线的性质以及尺规作图，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据菱形的对角线垂直且互相平分，再结合线段垂直平分线的性质即可证明； （2）根据定义可得，作一条对角线的垂直平分线与另一条对角线的交点即为点； （3）由题意得当且仅当垂直平分时，四边形存在“准等距点”，，由即可求解，继而求． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵点P在直线上， ∴， ∵， ∴点P是一个“准等距点”； （2）解：如答图，点P即为所求“准等距点”．（答案不唯一）    （3）解：由“准等距点”的定义可知四边形存在“准等距点”时，“准等距点”一定在某条对角线的垂直平分线上，如图析，    ∵， ∴当且仅当垂直平分时，四边形存在“准等距点”， ∴， ∵，四边形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∴． 矩形的性质与判定题型02 7．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．（2025·山西·模拟）如图，在矩形中，点、是对角线上的两点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，由矩形的性质得，，则，而，即可根据“”证明，得，，则，即可证明四边形是平行四边形．证明是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 9．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，从而由菱形的判定得证； （2）由菱形性质、含的直角三角形性质即勾股定理得到相关线段长度，最后由菱形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，，， ， ． ， ． ． ，． 菱形的面积为：． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 菱形的性质与判定题型03 10．（2025·山西·模拟预测）已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形和正方形的性质，得到菱形对角线和正方形对角线都经过中心，再证明，即可得到． 【详解】解：连接， ∵菱形和正方形， ∴菱形和正方形的中心都是点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴选项C符合题意，选项A、B、D都不符合题意， 故选：C． 11．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 12．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在菱形中，E为的中点，连接与对角线相交于点F，． (1)尺规作图：过点F作于点G．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作垂直，菱形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）按尺规作图的步骤过点F作交于点G． （2）根据菱形得到，，，结合，得到推出，根据等腰三角形的性质得到，即可证明，． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点G． （2）解：∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．（2025·山西·一模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可． （2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 正方形的性质与判定题型04 14．（2025·山西运城·模拟）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长与的延长线交于，过点作于点，先分别求出，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，证明和相似，利用相似三角形的性质，设，则，，然后根据，由此解出即可得出的长． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点，过点作于点， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， 在和中， ，， ， ， ， ， 设，则， ，， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得：， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 15．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分两种情况：当点E在靠近点A的三等分点时和当点E在靠近点D的三等分点时，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·山西临汾·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，的平分线与交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，作，交于点，先利用勾股定理求出，再根据角平分线的性质定理可得，证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后利用勾股定理可得，，最后证出，可得的长，证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 17．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，于点，若，，，则的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，解一元二次方程，轴对称等知识．以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G．由轴对称的性质证明四边形是正方形，设，则，即可求出，，在中，根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G． ∵， 由轴对称的性质得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 18．（2025·山西吕梁·一模）如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，可判定，得到，在中由勾股定理可得正方形的边长为，设交于点，交于点，，，解得，，则，，如图所示，过点作于点，交于点，则，，，，解得，，，，，则，由，即，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为， ∴，， 设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，则， ∵，且 ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的计算是解题的关键． 四边形的综合题题型05 19．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）猜想：，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质，外角和定理，等腰三角形性质，旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等． （1）利用矩形性质得，，，再证明，再利用全等的性质得，继而得到本题答案； （2）根据旋转性质可得，，，再得，利用外角和定理得，继而得，后得，再利用等边对等角即可证明； （3）根据题意画出符合题意得图，再利用矩形性质设，，后利用相似三角形判定及性质即可计算出本题结果． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 由旋转得：，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）根据题意画图如下： ∵，，， ∴由旋转性质及矩形性质得：，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得： 或， ∴的长为：或． 20．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）或或 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明四边形是菱形，根据，四得出边形是正方形即可； （2）连接，证明即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）；理由如下： 连接，如图所示： ∵E为中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， 当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 同理得：四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即此时； 当时，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，过点F作，连接，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵F为的中点，， ∴， 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 21．（2025·山西·一模）综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 【答案】（1）平行四边形是菱形 （2）①，理由见详解；②线段的长为或 【分析】（1）根据题意得到，则，又，得四边形是平行四边形，又，得到平行四边形是菱形，由此即可求解； （2）①根据平移得到，，即，根据翻折得到，则，所以，即，由此即可求解； ②根据题意得到，分类讨论：如图所示，点在线段上时，，是直角三角形；如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点；根据锐角三角函数的计算，数形结合分析求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）①，理由如下， ∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，）， ∴ ∴，即， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，点在线段上时，，是直角三角形， ∵， ∴， 设，， ∴， 根据平移折叠，及（1）证明可得，，， ∴是等腰三角形，， 由（1）可知，，， ∴，即点是中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点， 同理，， ∴，设， ∴，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，图形平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握矩形的性质，图形变换的性质，锐角三角函数的计算方法是关键． 22．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在中，E为其内一点，连接，，，试猜想和的数量关系，并加以证明． 数学思考： （1）请解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，聪明小组在此基础上提出：连接，过点E作，垂足为G，交于点F，若，，求▱ABCD的面积． （3）创新小组突发奇想：如图3，连接，将绕着点E旋转到的位置，连接CH，若，，请直接写出的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】根据平行四边形的性质得到，求得，得到； 根据平行四边形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到的面积 由旋转的性质得，． ，如图，过点E作于点P，得到，根据直角三角形的性质得到，，得到根据勾股定理可得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ≌， ， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 解得负值已舍去， ， ▱ABCD的面积 ； 由旋转的性质得，，， 如图，过点E作于点P， ， ，， 在中，根据勾股定理可得， ∵， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 23．（2025·山西大同·一模）综合与探究 在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 如图，在矩形纸片中，， 第一步：如图1，将矩形纸片沿 过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， 然后把纸片展平． 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点恰好落在上 的点处，分别与交于点， 然后展平． 问题解决： （1）求的长． （2）判断与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，延长相交于点， 请直接写出的长． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由四边形是矩形，可得由折叠，可得，设． 则，在中，，可得最后由勾股定理求解即可； （2）由第一步折叠，可得垂直平分，由第二步折叠，可得，再证明最后由全等三角形的性质可得结论； （3）连接．由四边形是矩形，可得再证明可得求得，由线段垂直平分线的性质可得再求得最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 由折叠，可得． 设． 则． 在中，， 在中，， 即． 解得． （2）． 理由： 由第一步折叠，可得垂直平分． 由第二步折叠，可得． 在和中 （3）解：四边形是矩形， ， 如图，连接． 垂直平分． 由（2）得． 四边形是菱形． 在中． 【点睛】本题考查了矩形性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 24．（2024·广东江门·一模）已知：在正方形的边上任取一点E，连接，一条与垂直的直线l（垂足为点M）沿方向，从点C开始向上平移，交边于点F． (1)如图1，当直线l经过正方形的顶点D时，求证：； (2)如图2，当直线l经过的中点时，与对角线交于点N，连接，求的度数； (3)如图3，直线l继续向上平移，当点M恰好落在对角线上时，交边于点G，设，求y与x之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质推出，再证，即可证明； （2）先证，推出，根据直线l是的垂直平分线，可得，再证明是等腰直角三角形，即可得出的度数； （3）过点F作于T，则四边形是矩形，先证， 推出，再证，得出，即，根据，可得，最后可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵直线l经过的中点，直线l与垂直， ∴直线l是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：如图3，过点F作于T，则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，能够综合应用上述知识是解题的关键． 25．（2025·山西太原·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，在边长为4的正方形中，点在对角线上一点，连接，将绕着点顺时针方向旋转得到，过点作交射线于点，连接，． 数学猜想： （1）猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）求证：四边形是正方形； （3）如图2，连接交于点，若．请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）导角易证，进而可得，即可得解； （2）过点E作的平行线分别交，于点P，Q，先证可得，再证，即可得到四边形是平行四边形，从而得证； （3）由点F在射线上可以分类讨论，点F在线段上，或者延长线上，先求的长度，进而利用勾股定理求出的长度，再构造8字相似求出的值，进而得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 则四边形均为矩形， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； （3）解：①当点F在线段上时， 如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 由（2）知， ∴设， ， ， ，解得， ，则， ， ， 由（1）知，， ， 在中，， 过G作于点K，则， ， ∴， ， ∴； ②当点F在线段延长线上时， 如图，过点E作的平行线分别交，于点P，Q， 同理可得， ， 在中，， 过G作于点K，则， ∵， ∴， ， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）猜想：，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质，外角和定理，等腰三角形性质，旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等． （1）利用矩形性质得，，，再证明，再利用全等的性质得，继而得到本题答案； （2）根据旋转性质可得，，，再得，利用外角和定理得，继而得，后得，再利用等边对等角即可证明； （3）根据题意画出符合题意得图，再利用矩形性质设，，后利用相似三角形判定及性质即可计算出本题结果． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 由旋转得：，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）根据题意画图如下： ∵，，， ∴由旋转性质及矩形性质得：，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得： 或， ∴的长为：或． 27．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系； (3)如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)．见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接，勾股定理得到，，等量代换得到，即可得出结论； （3）①取中点H，连接，三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形是平行四边形，得到，进而得到，斜边上的中线结合等边对等角，推出，等量代换即可得出结果； ②设，延长到点M，使，易得，得到，，进而推出，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值，再利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵在正方形中，O是的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：取中点H，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵中，，H为中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ②解：设，延长到点M，使，则：． ∵四边形是正方形，， 由（1）可知， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 1．（2025·山西运城·一模）在中，对角线和相交于点，为线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，，若，则线段和一定满足的关系是（ ） A．互相垂直且相等 B．互相平分且相等 C．互相垂直平分 D．互相垂直平分且相等 【答案】C 【分析】由为的中点，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到后可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，再根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 为的中点， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 和互相垂直平分． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 2．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若与重合，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定，根据题意逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 若与重合，则与互相垂直平分， ∴四边形是菱形，故选项B正确； 由题意可得，垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是矩形，故选项C正确； 若，无法证明四边形是正方形，故选项D错误． 故选：D． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在▱中，，为边上一点，作关于直线的对称点，连接交于点，当在上且，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形点的性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．也考查了对称轴的性质．先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，再证明，得到，所以，接着证明，利用相似比可计算出，则，再利用平行线分线段成比例定理，由得到，设，，则，然后利用勾股定理，在中，得到，在中，得，最后解方程组即可． 【详解】解： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点A关于直线的对称点为点E， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 设，，则， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为： 4．（2025·山西晋中·一模）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． (1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N． （2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明 即可得证NE＝AB． 【详解】（1）如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N． （2）如图，连接． 四边形是平行四边形 ， ， 则 是的垂直平分线 又 在与中， 【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，为对角线． (1)尺规作图：按要求作出图形： ①作边的中点E； ②连接并延长交的延长线于点F； ③连接（保留痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用作垂直平分线的方法作边的中点E，然后连接并延长交的延长线于点F，最后连接即可． （2）利用平行四边形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，最后根据矩形的判定发方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是的中点 ∴， 在和中 ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定方法，作垂直平分线，全等三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 6．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形中位线定理的证明及其应用，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过添加辅助线，利用平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，构造出平行四边形，得，，从而证明四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得．因为点是的中点，即，得出．根据三角形中位线定理，得，进而证明结论； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分，或在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】（1）解：依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 依据：平行四边形的对边平行且相等； （2）点、分别是、的中点， ， ，点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ； （3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分；在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半． 7．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案； （2）延长到点F．使．连接，．证明四边形是平行四边形． 从而可证得四边形是矩形，由矩形的性质得到，继而可得出结论． （3）延长到点N，使，连接，．证明四边形是平行四边形．得到，．从而有．再证明，得出，继而可求解． 【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）证明：如图，延长到点F．使．连接，． ∵点E为的中点． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵． ∴． ∴． （3）解：如图，延长到点N，使，连接，． ∵点M是的中点， ∴． 又∵． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，．． ∴，． ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长线段法”是解题的关键． 8．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，则，即； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【详解】（1）解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形), 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴，即； （3）解：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·山西长治一模）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点E作交的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交于点G，设与的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 10．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究 问题情境 已知矩形与矩形是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形与矩形按如图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，边与边的交点为 猜想证明 （1）请判断四边形的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图的基础上，将矩形绕点顺时针旋转已知， ①如图，当点落在边上时，边与边的交点为，求两个矩形重叠部分四边形 的面积； ②当点落在矩形的对角线所在的直线上时，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②CQ的长为，理由见解析 【分析】本题考查的是四边形综合题，涉及到三角形相似、面积的计算，正确作图和分类求解是解题的关键． （1）四边形和四边形是大小完全相同的矩形，，，则四边形是平行四边形，即可求解； （2）①证明，则，即可求解； ②当点在线段上时，由，得到，即，即可求解；当点在线段的延长线上时，同理可解． 【详解】解：（1）∵四边形A和四边形是大小完全相同的矩形， ，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形； （2）①在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②的长为，理由： 如题干图，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ，即， 则； 当点在线段的延长线上时， 则， ，， ， ：：，即， 解得：， 综上，的长为 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 图形的性质---四边形 题型概览 题型01 平行四边形的性质与判定 题型02 矩形的性质与判定 题型03 菱形的性质与判定 题型04 正方形的性质与判定 题型05四边形的综合题 平行四边形的性质与判定题型01 1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，为的中点，连接，．若，，，则的长为 ． 3．（2025·山西长治·一模）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 4．（2025·山西晋中·一模）如图，在中，，点E为边的中点，且，延长到点F，使，连接并延长，交的延长线于点N．若，则线段的长为 ．    5．（2025·山西忻州·一模）如图，在中，点E和点F是的两个三等分点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 6．（2025·山西长治·模拟预测）【动手实践】阅读与思考 下面是小斌同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 准等距点定义：四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两个端点距离不相等，但到另一条对角线的两个端点的距离相等，那么称这个点为“准等距点”．如图1，在四边形中，点P是对角线上的一点，，且，则点P就是一个“准等距点”．   根据“准等距点”的定义，我猜想菱形一定有“准等距点”． 例：如图2，在菱形中，点P是对角线上的一点，，则点P是一个“准等距点”． 下面是我的证明过程： 证明：如图2，连接． …… 于是我得到一个结论，四边形的一条对角线垂直平分另一条对角线时，这个四边形有无数个“准等距点”． 随后，我又进一步思考，如何找到四边形的“准等距点”呢？…… 任务： (1)请将上述证明过程补充完整． (2)如图3，请用尺规作出四边形的一个“准等距点”（要求：不写作法，保留作图痕迹）．    (3)已知一个四边形，对角线于点E，且，，四边形的面积为24．若四边形存在“准等距点”，直接写出的长度． 矩形的性质与判定题型02 7．（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·山西·模拟）如图，在矩形中，点、是对角线上的两点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 9．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 菱形的性质与判定题型03 10．（2025·山西·模拟预测）已知菱形中，为对角线，点E，F，G，H分别是边，，，上的点．若四边形是正方形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 12．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在菱形中，E为的中点，连接与对角线相交于点F，． (1)尺规作图：过点F作于点G．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)求证：． 13．（2025·山西·一模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 正方形的性质与判定题型04 14．（2025·山西运城·模拟）如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为 ． 15．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 16．（2025·山西临汾·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，连接，的平分线与交于点，连接交于点，若，则的长为 ． 17．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，于点，若，，，则的长度为 ． 18．（2025·山西吕梁·一模）如图，正方形和正方形，将正方形绕着点旋转，连接，点恰好落在上时，连接交于点．若，则的长为 ． 四边形的综合题题型05 19．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长． 20．（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与探究 在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为． 【初步探究】 （1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形． 【深入探究】 （2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长． 21．（2025·山西·一模）综合与探究 问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中沿射线平移，得到（点的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 22．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在中，E为其内一点，连接，，，试猜想和的数量关系，并加以证明． 数学思考： （1）请解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，聪明小组在此基础上提出：连接，过点E作，垂足为G，交于点F，若，，求▱ABCD的面积． （3）创新小组突发奇想：如图3，连接，将绕着点E旋转到的位置，连接CH，若，，请直接写出的值． 23．（2025·山西大同·一模）综合与探究 在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 如图，在矩形纸片中，， 第一步：如图1，将矩形纸片沿 过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， 然后把纸片展平． 第二步：如图2，再将矩形纸片沿折叠，此时点恰好落在上 的点处，分别与交于点， 然后展平． 问题解决： （1）求的长． （2）判断与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，延长相交于点， 请直接写出的长． 24．（2024·广东江门·一模）已知：在正方形的边上任取一点E，连接，一条与垂直的直线l（垂足为点M）沿方向，从点C开始向上平移，交边于点F． (1)如图1，当直线l经过正方形的顶点D时，求证：； (2)如图2，当直线l经过的中点时，与对角线交于点N，连接，求的度数； (3)如图3，直线l继续向上平移，当点M恰好落在对角线上时，交边于点G，设，求y与x之间的关系式． 25．（2025·山西太原·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，在边长为4的正方形中，点在对角线上一点，连接，将绕着点顺时针方向旋转得到，过点作交射线于点，连接，． 数学猜想： （1）猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）求证：四边形是正方形； （3）如图2，连接交于点，若．请直接写出的长． 26．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形的边上一点，，垂足为点F，且．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将以点C为中心顺时针旋转，得到（点D与对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题： （2）如图2，若点恰好落在边上，连接并延长交于点P．猜想线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，，当直线恰好经过点A时，直线与直线的交点为Q，请直接写出线段的长． 27．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系； (3)如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 1．（2025·山西运城·一模）在中，对角线和相交于点，为线段的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，，若，则线段和一定满足的关系是（ ） A．互相垂直且相等 B．互相平分且相等 C．互相垂直平分 D．互相垂直平分且相等 2．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若与重合，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是正方形 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在▱中，，为边上一点，作关于直线的对称点，连接交于点，当在上且，时，的长为 ． 4．（2025·山西晋中·一模）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． (1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，为对角线． (1)尺规作图：按要求作出图形： ①作边的中点E； ②连接并延长交的延长线于点F； ③连接（保留痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是矩形． 6．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 如图，在中，点、分别是、的中点，连接．求证：，． 证明：如图，延长到点，使，连接，，． 点是的中点， ， 四边形是平行四边形．（依据1）， ，． 点是的中点， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ，，（依据2） ，． 任务： (1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”； (2)小宇继续探究，如图，在中，点、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，，．求证：； (3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理： ． 7．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务． 三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法． 任务： (1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______； 依据2：______． (2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明． 如图3，在中，，点E为边的中点．求证：． (3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______． 8．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 9．（2025·山西长治一模）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 10．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究 问题情境 已知矩形与矩形是大小完全相同的纸片．数学实践小组将矩形与矩形按如图所示的方式摆放，其中点与点重合，点落在边上，边与边的交点为 猜想证明 （1）请判断四边形的形状． 深入探究 （2）实践小组的同学在图的基础上，将矩形绕点顺时针旋转已知， ①如图，当点落在边上时，边与边的交点为，求两个矩形重叠部分四边形 的面积； ②当点落在矩形的对角线所在的直线上时，直线与直线交于点，请直接写出线段的长． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$