专题16：数学广角——找次品（3大考点）-2024-2025学年五年级数学下册期末备考真题分类汇编（人教版）

2024-2025学年人教版五年级数学下册第八单元、数学广角——找次品 专项突破16：数学广角——找次品（3大考点） （考点梳理+方法点拨+真题讲解+同步训练） 【考点一】次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【考点二】根据天平找次品问题 【考点三】分组问题 考点1：次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【方法点拨】 三分法原理 1、关键思路：将物品尽量平均分成3份，每次称重可排除至少，的物品，缩小范围。 2、规律公式：若物品总数为n，且满足3k−1＜n≤3k，则至少需要称k次。 【典型例题】（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称（ ）次就一定能找出次品。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 【变式训练1】（23-24五年级下·广东江门·期末）有15袋糖果，其中14袋的质量相等，有1袋的质量不足，用天平至少要称 次才能把质量不足的那袋糖果找出来。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把15袋糖果分成（5，5，5）三份，第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量不足的一袋，在未取的5袋中，若不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端； 第二次：把5袋糖果分成（2，2，1）三份，把每份2袋的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为质量不足的，若天平秤不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端； 第三次：把天平秤较高端的2袋分别放在天平秤两端，较高端即为质量不足的那袋。 所以用天平至少要称3次才能把质量不足的那袋糖果找出来。 【变式训练2】（23-24五年级下·湖北恩施·期末）在28颗螺丝钉中，有1颗不合格的螺丝钉，它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重一些。如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出这颗略重的螺丝钉。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，再利用天平的平衡性进行测量，据此解答。 【详解】首先，将28颗螺丝钉分成三组（9，9，10） 第一次称：先称量（9，9）两组，若天平平衡，则较重的次品在10个那组；如果天平不平衡，则较重的次品在托盘下降的那组； 第二次称：如果次品在9个一组中，则把9个分成（3，3，3）；如果次品在10个一组中，则把10个分成（3，3，4），先称量（3，3）两组，若天平平衡，则次品在另外的那组中，若天平不平衡，则次品在托盘下降的那组中； 第三次称：如果次品在3个一组中，则把3个分成（1，1，1）；如果次品在4个一组中，则把4个分成（2，2），先称量（1，1）两组，若天平平衡，则次品在另外一组中，若天平不平衡，则次品在托盘下降的那组中； 第四次称：如果次品在2个一组中，则把2个分成（1，1）两组，先称量（1，1）两组，次品在托盘下降的那组中；这样至少称4次才能保证找出这个次品。 在28颗螺丝钉中，有1颗不合格的螺丝钉，它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重一些。如果用天平称，至少称4次能保证找出这颗略重的螺丝钉。 考点2：根据天平找次品问题 【方法点拨】 1、逆向应用三分法 公式：称k次，最多可检测的物品数为3k。 2、解题步骤 （1）观察天平状态：平衡→次品在未称组；不平衡→次品在较轻或较重侧（需已知次品轻重）。 （2）逐步排除：根据每次称重结果缩小范围，直至确定次品。 【典型例题】（23-24五年级下·河北廊坊·期末）有8个大小、材质相同的小球，其中一个是次品（次品轻一些）。明明先给小球编上号，再借助天平称了两次找到这个次品（如下图所示）。由此可知。（ ）号小球是次品。 【答案】③ 【分析】把8个小球平均分成3组（即3、3、2），第一次取其中的2组（3，3）放到天平的两端，如果天平不平衡，则次品在天平上浮的一端中，在天平上浮一端中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的即是次品，天平如果不平衡，天平上浮一端的即为次品，据此解答。 【详解】第一次称重时，天平不平衡，则次品在天平上浮一端的1组之中，是在①②③三个球中； 在天平上浮一端的1组中的3个小球中任取2个小球放到天平的两端，天平平衡，没有称重的是次品，即③号小球是次品。 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【答案】C 【分析】上面的这个天平是平衡的，那么①、③、②、⑥中没有次品。下面的天平不平衡，那么轻的一边含有次品。⑥不是次品，那么⑤是次品。 【详解】根据图示判断，次品球的编号是⑤。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24五年级下·贵州黔南·期末）“乒乓球”被称为中国的“国球”。下面4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是（    ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 【答案】B 【分析】根据最后一幅图可知，3号球和4号球的质量相等，那么都是正常的乒乓球。再根据第二幅图可知，2号球和3号球质量不相等，由于3号球是正常的乒乓球，那么2号球是次品球。 【详解】根据称球情况，可知次品球是2号球。 故答案为：B 考点3：分组问题 【方法点拨】 1、核心目标：通过合理分组，利用天平称重次数最少找出次品（次品重量与正品不同，一般较轻或较重，题目会明确说明）。 2、均分优先：能平均分成3组时直接分；不能均分则让两组数量相同，第三组相差1。 【典型例题】（23-24五年级下·河南漯河·期末）某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略，在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少，首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。 A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。 这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡，则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个，但是这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平衡。 B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。 这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡，则找出肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个，但这种方法也不是最优的。 C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。 这种方法只需要2次称重：首先称3个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的2个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中，再把较重的分成1个、1个、1个，先称1个和1个，如果平衡，则剩下的就是肉粽，如果不平衡，较重的就是肉粽，这种方法最优。 D．把8个粽子分成2组各4个进行称重。 肉粽在较重的所在组；把较重的4个粽子分成1个、1个、2个，如果2个粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里，再称剩下的2个粽子，较重的那个粽子就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽；这种方法需要至少3次，不是最优的。据此解答。 【详解】 根据分析可知，某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）26个零件中有1个次品（次品轻一些），用天平称，如果要保证找到次品，且称的次数最少，那么称第一次时，应按下面（    ）中分法称。 A．分2份（13，13） B．分3份（10，10，6） C．分3份（9，9，8） D．分3份（8，8，10） 【答案】C 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将26个零件分成（9，9，8），先称（9，9），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在9个中；将9个分成（3，3，3），称（3，3），无论平衡不平衡，都可确定次品在3个中；将3个分成（1，1，1），称（1，1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 因此称第一次时，应按分3份（9，9，8）的分法称。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24五年级下·四川南充·期末）12颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：12（2，2，8）；12（3，3，6）；12（4，4，4）；12（5，5，2）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（    ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】12颗螺丝钉中有1个次品，把12颗螺丝钉尽可能平均分成3份，先选其中相同数量的两份来称，如果天平平衡，次品在另一份中，如果不平衡，次品在较轻的那一份中。 每次称都要除以2（第一次除外），所以哪组两次除以2，还没能找出次品，即为超过3次。 【详解】A．如果天平平衡，8÷2＝4，4÷2＝2，2÷2＝1，超过三次，不符合题意； B．如果天平平衡，6÷2＝3，不超过三次，符合题意； C．4÷2＝2，2÷2＝1，不超过三次，符合题意； D．如果天平不平衡，5分成三份（2，2，1），2÷2＝1，不超过三次，符合题意。 故答案为：C 一、选择题 1．（23-24五年级下·陕西西安·期末）有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称（    ）次就一定能找出这个略轻的健身球。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把10个健身球分成3、3、4这样的3份，在天平的两端各放3个，会出现两种情况： 一、平衡，次品在第3份中，把第3份的4个健身球分成1、1、2这样的3份，在天平的两端各放1个，（1）平衡，次品在剩下的2个中，将剩下的2个在天平的两端各放 1个，轻的是次品，（2）不平衡，轻的1个是次品； 二、不平衡，轻的3个中含有次品，把这3个健身球平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，（1）平衡，剩下的1个是次品，（2）不平衡，轻的1个是次品。 【详解】通过分析可得：有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个略轻的健身球。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·福建莆田·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（    ）次才能保证找出这枚假铜钱。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把16枚古铜钱分成5枚、5枚、6枚，第一次称，把两份5枚的放在天平的两端，会出现两种情况： （1）如果天平平衡，则假铜钱在6枚中，再把6枚平均分成3份，每份2枚，把两份放在天平的两端，出现两种情况：①如果天平平衡，则假铜钱在剩下的2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；②如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱； （2）如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那5枚中，把这5枚分成2枚、2枚、1枚，把两份2枚的放在天平的两端，如果天平平衡，则假铜钱是剩下的那枚；如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，再把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱。 所以至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。 【详解】根据分析可知，至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。 故答案为：B 3．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）有5个零件，其中1个是次品（重一些），用天平称一次，结果如下图，可以推断出（    ）号零件一定是正品。 A．③ B．③④ C．③④⑤ D．⑤ 【答案】C 【分析】天平左边放有①②号两个零件，右边放有③④号两个零件，此时天平不平衡，且左边下沉，说明左边的①②号两个零件较重，则①②号两个零件中肯定有1个是次品，由此得出③④⑤号零件一定是正品。 【详解】已知5个零件中有1个是次品（重一些），天平左边下沉，说明①②号两个零件中必然有1个是次品，可以推断出③④⑤号零件一定是正品。 故答案为：C 4．（23-24五年级下·广东东莞·期末）有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（    ）次才能找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份： （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将21个零件分成（7、7、7），先称（7、7），可确定次品在7个中：将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡则次品在3个中：再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。不平衡，次品在轻的一组，再将2个分成1、1，再称一次，次品是较轻的那个，共3次。 综上可得：至少3次才能找出这个次品。 故答案为：B 5．（23-24五年级下·福建福州·期末）要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，分别是2，2，2 B．分成3份，分别是1，2，3 C．分成3份，分别是1，1，4 D．分成4份，分别是1，1，1，3 【答案】A 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】由分析可得：要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是分成3份，分别是2，2，2。 故答案为：A 二、填空题 6．（23-24五年级下·四川广元·期末）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】将10盒牛奶片分为三组，分别为3盒、3盒和4盒。 第一次称重：选择两组各3盒的牛奶片进行称重。 情况A：如果两边平衡，则说明其中的6盒牛奶片都是正常的，少了4片的那盒牛奶片一定在未被称重的那组4盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少了4片的那盒牛奶片一定在较轻的那组3盒里。 第二次称重： ①对于情况A，从未称重的4盒牛奶片中分为两组各2盒，然后进行称重。较轻的那组2盒里就有少了4片的那盒牛奶片。 ②对于情况B，从已经确定包含次品的那组3盒牛奶片中取出2盒进行称重。如果两边平衡，说明未被称重的那1盒是少了4片的；如果不平衡，较轻的那1盒就是少了4片的。 第三次称重： ①对于情况A中确定的那组2盒牛奶片，再次将这两盒放在天平的两端，较轻的那一盒就是少了4片的。 因此，至少称3次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 7．（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称（ ）次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】先把12袋糖果平均分成3组，每组4袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，再进行第三次比较； 第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。 用天平至少称3次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 8．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称（ ）次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 【答案】3 【分析】第一次：把24个玻璃球平均分成三份（8，8，8），每份8个，任意取两份，分别放在天平两端，若平衡，则较轻的在未取的8个中；若不平衡，较轻的在较高端； 第二次：把8个玻璃球分成三份（3，3，2），把其中3个两份放在天平两端，若天平平衡，较轻的在未取的2个中，若不平衡，较轻的在较高端； 第三次：把天平较高的3个玻璃球分成三份（1，1，1），任取两个放在天平两端，若天平平衡，未取的就较轻的，若天平不平衡，较高的记为较轻的，由此可知，至少需要3次才能保证找出这个略轻的玻璃球，据此解答。 【详解】根据分析可知，有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称3次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 9．（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【分析】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边是几号，几号就是次品。 【详解】据分析完成填空，如下： 10．（23-24五年级下·河南安阳·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要（ ）次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】经分析得： 将20盒分成3份：6，7，7；第一次称重，在天平两边各放7盒，手里留6盒； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的6盒分为2，2，2，在天平两边各放2盒，手里留2盒， ①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的7盒中，将这7盒分成三份：2，2，3，在天平两边各放2盒，手里留3盒， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的3盒中，则将3盒平均分成3份：1，1，1，在天平各放1盒，手里留1盒，如果天平平衡，则次品在手里的1盒，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1盒中。 至少需要3次才能保证找出次品。 11．（23-24五年级下·河南南阳·期末）有20个跳跳球，其中有一个是次品，较轻。明明把它们分成（6，6，5）三份，用无砝码天平去称，最少称（ ）次能找到这个次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将20个跳跳球分成（6，6，5），称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在6个中；将6分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在2个中；将2分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。即最少称3次能找到这个次品。 12．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【答案】3 【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【详解】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 13．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 【答案】见详解 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】如图所示： 14．（23-24五年级下·贵州黔西·期末）小屯距离黔西南州贞仁县城西北方向25km，以古法造纸闻名于全国。贞丰小屯古法造纸严格按照《天工开物》一书中描述的流程生产，经72道工序，以刀、捆为单位计量，80张为一刀、70刀为一捆。如果每张纸的重量相同，在24捆纸中，有一捆张数不足，用天平至少称（ ）次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成（ ）份来称。 【答案】 3 3 【分析】张数不足的这一捆，质量会较轻。要使得称的次数最少，则应尽可能地平均分成3份。第一次将24捆平均分成3份，将前两份放在天平的两端，推断出次品所在的一份。以此类推，不断缩小次品所在范围，直到找出次品。 【详解】第一次：将24捆纸分成（8，8，8），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品； 第二次：将8捆纸分成（3，3，2），将数量相同的两份放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品。如果平衡，则第三份含有次品； 第三次：①将3捆纸分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，哪边轻哪边是次品。如果平衡，则第三份是次品； ②将2捆纸分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。 所以，用天平至少称3次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成3份来称。 15．（23-24五年级下·河南信阳·期末）仓库里有10盒同一规格的零件，其中一盒用去了3个零件，但无法看出哪一盒是用过的，如果用一架没有砝码的天平称，最少需要称（ ）次能保证找出用过的那盒。 【答案】3 【分析】第一次称：把10盒分成两组（5，5），天平两端各放一组，用过的那盒在轻的一边； 第二次称：把有用过的盒的那组5盒分成三组（2，2，1），天平两端各放2盒，平衡，用过的盒就是未称的一盒；不平衡，用过的盒在轻的一边； 第三次称：把有用过的一组2盒分成（1，1），天平两端各放1盒，用过的盒在轻的一边，因此，至少称3次可以保证找出用过的，据此解答。 【详解】根据分析可知，仓库里有10盒同一规格的零件，其中一盒用去了3个零件，但无法看出哪一盒是用过的，如果用一架没有砝码的天平称，最少需要称3次能保证找出用过的那盒。 16．（23-24五年级下·河北承德·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品），可以用天平称找到次品：把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放（ ）瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是（ ），如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 【答案】 1 次品 【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【详解】把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放1瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是次品，如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 17．（23-24五年级下·湖南益阳·期末）有6个小球，其中一个是次品，要轻一些。仔细观察下图，（ ）号球是次品。 【答案】⑤ 【分析】用天平找次品，因为次品重量较轻，因此有次品的一端会上升，如果两端都没有次品，则天平会处于平衡状态，观察第一个天平，可知次品是④或⑤，再观察第二个天平，①④和②⑥平衡，说明这四个都不是次品，因此次品是⑤，据此分析。 【详解】根据分析，④⑤号轻一些，次品是④或⑤，又因为①、④、②、⑥都不是次品，因此⑤号球是次品。 18．（23-24五年级下·河北保定·期末）有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图，可以推断出（ ）一定是正品。 【答案】①②⑤ 【分析】5个螺帽里有一个较轻的次品，放在天平的两端，有较轻螺帽的那一端会上升，只有一个次品，可以推断③和④里面必然有一个是次品；所以也就间接的推断出①②⑤这三个肯定是正品。 【详解】根据分析可知，有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图，可以推断出①②⑤一定是正品。 19．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）下面4个球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品是（ ）号球。 【答案】② 【分析】第一次天平左边放①、②号球，右边放③、④号球，由于不知道次品是轻还是重，此次不能判断次品在①、②号球中还是③、④号球中，第二次天平左边放②号球，右边放③号球，天平不平衡，所以②号或③号有一个是次品，结合第三次天平左边放③号球，右边放④号球，天平平衡，说明③、④号球都不是次品，由此可以判断出②号球是次品。 【详解】由分析可知：4个球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品是②号球。 20．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）有5瓶维生素，其中一瓶是次品（少了5片），完成下面找次品的过程。 【答案】次品；没称的；次品 【分析】用天平称重的方式找次品，重的一端会下降，轻的一端会上升，根据图中给的称重方式，任意拿出两瓶，放到天平两端，如果不平衡，轻的是次品；如果平衡，这两瓶都合格，再拿两瓶放到天平两端，如果平衡，次品是没有称的1瓶，如果不平衡，轻的是次品，据此分析。 【详解】 三、判断题 21．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）20个物品中有一个略轻的次品，用天平称，至少称3次能保证找出次品。（ ） 【答案】√ 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将20个物品分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7个中；将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3个中；将3分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 22．（23-24五年级下·四川南充·期末）有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。（ ） 【答案】√ 【分析】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，根据平衡与否的情况，再逐步分成等份进行称重对比，找出不同情况需要的次数，取最多的次数即为所得。 【详解】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，如平衡，则把没称的一组，再分成（2，2）放在天平上称，再把重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。如不平衡，则把重的一组，再分成（2，2）放在天平上称，找出重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。 故答案为：√ 23．（23-24五年级下·湖北随州·期末）要从15袋饼干中找出一袋重量较轻的饼干，用天平至少要称3次。（ ） 【答案】√ 【分析】把15袋饼干平均分成3份，每份5袋，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的5袋中；如果天平平衡，次品在剩下的5袋中；再把有次品的5袋饼干分成（2，2，1），第二次称，天平两边各放2袋，如果天平不平衡，次品在较轻的2袋中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一袋；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2袋饼干分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋较轻的饼干。 【详解】 故答案为：√ 四、解答题 24．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【详解】把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 25．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 26．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 27．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 【答案】（1）有可能；（2）不能；（3）3次；见解析 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。 【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。 （2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。 （3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。 a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。 a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中， 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。 接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。 28．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【答案】两次 【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 答：至少称两次能找出次品。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版五年级数学下册第八单元、数学广角——找次品 专项突破16：数学广角——找次品（3大考点） （考点梳理+方法点拨+真题讲解+同步训练） 【考点一】次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【考点二】根据天平找次品问题 【考点三】分组问题 考点1：次数问题（确定至少需要称几次能找出次品） 【方法点拨】 三分法原理 1、关键思路：将物品尽量平均分成3份，每次称重可排除至少，的物品，缩小范围。 2、规律公式：若物品总数为n，且满足3k−1＜n≤3k，则至少需要称k次。 【典型例题】（23-24五年级下·四川南充·期末）有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称（ ）次就一定能找出次品。 【变式训练1】（23-24五年级下·广东江门·期末）有15袋糖果，其中14袋的质量相等，有1袋的质量不足，用天平至少要称 次才能把质量不足的那袋糖果找出来。 【变式训练2】（23-24五年级下·湖北恩施·期末）在28颗螺丝钉中，有1颗不合格的螺丝钉，它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重一些。如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出这颗略重的螺丝钉。 考点2：根据天平找次品问题 【方法点拨】 1、逆向应用三分法 公式：称k次，最多可检测的物品数为3k。 2、解题步骤 （1）观察天平状态：平衡→次品在未称组；不平衡→次品在较轻或较重侧（需已知次品轻重）。 （2）逐步排除：根据每次称重结果缩小范围，直至确定次品。 【典型例题】（23-24五年级下·河北廊坊·期末）有8个大小、材质相同的小球，其中一个是次品（次品轻一些）。明明先给小球编上号，再借助天平称了两次找到这个次品（如下图所示）。由此可知。（ ）号小球是次品。 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁葫芦岛·期末）有6个小球，其中一个是次品要轻一些。根据右边的图示判断，次品球的编号是（    ）号。 A．③ B．④ C．⑤ 【变式训练2】（23-24五年级下·贵州黔南·期末）“乒乓球”被称为中国的“国球”。下面4个乒乓球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品球是（    ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 考点3：分组问题 【方法点拨】 1、核心目标：通过合理分组，利用天平称重次数最少找出次品（次品重量与正品不同，一般较轻或较重，题目会明确说明）。 2、均分优先：能平均分成3组时直接分；不能均分则让两组数量相同，第三组相差1。 【典型例题】（23-24五年级下·河南漯河·期末）某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）26个零件中有1个次品（次品轻一些），用天平称，如果要保证找到次品，且称的次数最少，那么称第一次时，应按下面（    ）中分法称。 A．分2份（13，13） B．分3份（10，10，6） C．分3份（9，9，8） D．分3份（8，8，10） 【变式训练2】（23-24五年级下·四川南充·期末）12颗螺丝钉中有1个次品（偏轻一些），借助天平称量，有4种分组方式：12（2，2，8）；12（3，3，6）；12（4，4，4）；12（5，5，2）。其中，能够确保称3次找出次品的分组方式有（    ）。 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 一、选择题 1．（23-24五年级下·陕西西安·期末）有10个健身球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称（    ）次就一定能找出这个略轻的健身球。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24五年级下·福建莆田·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（    ）次才能保证找出这枚假铜钱。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）有5个零件，其中1个是次品（重一些），用天平称一次，结果如下图，可以推断出（    ）号零件一定是正品。 A．③ B．③④ C．③④⑤ D．⑤ 4．（23-24五年级下·广东东莞·期末）有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（    ）次才能找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24五年级下·福建福州·期末）要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，分别是2，2，2 B．分成3份，分别是1，2，3 C．分成3份，分别是1，1，4 D．分成4份，分别是1，1，1，3 二、填空题 6．（23-24五年级下·四川广元·期末）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 7．（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称（ ）次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 8．（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称（ ）次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 9．（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 10．（23-24五年级下·河南安阳·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要（ ）次才能保证找出次品。 11．（23-24五年级下·河南南阳·期末）有20个跳跳球，其中有一个是次品，较轻。明明把它们分成（6，6，5）三份，用无砝码天平去称，最少称（ ）次能找到这个次品。 12．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 13．（23-24五年级下·湖北黄石·期末）下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在◯里。 14．（23-24五年级下·贵州黔西·期末）小屯距离黔西南州贞仁县城西北方向25km，以古法造纸闻名于全国。贞丰小屯古法造纸严格按照《天工开物》一书中描述的流程生产，经72道工序，以刀、捆为单位计量，80张为一刀、70刀为一捆。如果每张纸的重量相同，在24捆纸中，有一捆张数不足，用天平至少称（ ）次能保证把张数不足的一捆找出来。要使称量次数最少，应该把24捆纸平均分成（ ）份来称。 15．（23-24五年级下·河南信阳·期末）仓库里有10盒同一规格的零件，其中一盒用去了3个零件，但无法看出哪一盒是用过的，如果用一架没有砝码的天平称，最少需要称（ ）次能保证找出用过的那盒。 16．（23-24五年级下·河北承德·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（次品），可以用天平称找到次品：把3瓶钙片分成1瓶、1瓶、1瓶，天平两边各放（ ）瓶，如果天平平衡，剩余的1瓶就是（ ），如果不平衡，那么次品一定在轻的那边。 17．（23-24五年级下·湖南益阳·期末）有6个小球，其中一个是次品，要轻一些。仔细观察下图，（ ）号球是次品。 18．（23-24五年级下·河北保定·期末）有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如图，可以推断出（ ）一定是正品。 19．（23-24五年级下·湖北襄阳·期末）下面4个球中有一个是次品（质量不同），根据称球情况，可知次品是（ ）号球。 20．（23-24五年级下·河南三门峡·期末）有5瓶维生素，其中一瓶是次品（少了5片），完成下面找次品的过程。 三、判断题 21．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）20个物品中有一个略轻的次品，用天平称，至少称3次能保证找出次品。（ ） 22．（23-24五年级下·四川南充·期末）有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。（ ） 23．（23-24五年级下·湖北随州·期末）要从15袋饼干中找出一袋重量较轻的饼干，用天平至少要称3次。（ ） 四、解答题 24．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 25．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 26．（23-24五年级下·江西吉安·期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 27．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 28．（23-24五年级下·山西晋中·期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$