精品解析：辽宁省实验中学2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷

辽宁省实验中学2024-2025学年度下学期期中测试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二年组 校对人：高二年组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后，过点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（ ） A 2 B. C. 3 D. 3 ，则实数（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，选对但不全的得部分分． 9. 如图，函数部分图象，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则的取值范围为 C. 与不共线 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为____________． 13. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________． 14. 设函数，若，则的最小值为____________． 四、解答题：共5小题，15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共77分． 15. 函数中，，最小正周期为，． （1）求； （2）求函数在上的值域； （3）求不等式组的解集． 16. 已知函数． （1）证明：为的周期； （2）指出的图象中所有对称轴，并证明的图象关于这些对称轴对称； （3），求取值范围． 17. 为了测绘海面上一座活火山顶点高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． （1）求的正弦值； （2）若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 18. 如图，在梯形中，已知，且，为线段上一点，记，为线段上一点，记． （1）若点为中点，求与的值； （2）若点为中点，且，求与的值； （3）若，求的取值范围． 19. 科幻作家刘慈欣在他的代表作《三体3-死神永生》中，大胆设想了四维空间的物理图景．他描述的四维空间是三维世界的全方位展开，所有封闭结构的内部细节无限暴露，如同“魔戒”般呈现纵深感与包容性，超越物理规则的视觉震撼令人灵魂震颤．但是对于数学家而言，四维空间与二维空间、三维空间在数学结构上应具备一致性．目前我们已经掌握了用平面向量作为计算工具解决二维空间中的几何问题，那么我们也可以将这些解决问题的方法推广到四维空间．我们定义在四维空间中的点坐标为，，则向量．对于给定的两个向量，，可以类比平面向量，定义如下运算规则： ①加减法：；②数乘：；③内积（即数量积）：；④模：；⑤夹角余弦：；⑥平行： ，若，则；⑦向量垂直：． 已知四个点坐标为， （1）计算向量的坐标； （2）求的余弦值； （3）若与平行，求； （4）参考平面向量基本定理，判断四点是否共面，若共面，求四边形的面积；若不共面，给出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省实验中学2024-2025学年度下学期期中测试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二年组 校对人：高二年组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后，过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义以及诱导公式即可求解. 【详解】的终边按顺时针方向旋转后，过点， 所以，即， 即. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的定义以及三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 2. 在中，三个角所对的边分别为，若，则边的大小为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在△ABC中，已知角B的余弦值为边，边，要求边的大小. 首先，使用余弦定理： 代入已知数据： 得到两个解： 或（舍） 故选：C. 3. ，则实数（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系化简得，从而得出参数值，进而求出答案． 【详解】解：∵，∴，， ∵，∴， ∴， 即 ∴对恒成立， ∴，∴，，∴， 故选：D． 4. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出． 【详解】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， . 故选：C 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用辅助角公式及二倍角公式，结合角的变换求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 所以， 故选：C. 6. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过图象变换得到的解析式，再根据的范围结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 函数在上没有零点， ，解得， ，令得，；令得， ， 的取值范围是. 故选：B. 7. 已知向量，满足，在方向上的投影数量为2，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值. 【详解】设，向量的夹角为，则，则， 因为，所以，， 不妨设，，设， 则，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为， 又，即， 当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值， 即. 故选：C. 8. 在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，选对但不全的得部分分． 9. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图可得，，可求，代入最高点，可得，再根据的相关性质可逐一验证选项即可解答. 【详解】由图可知，，，， 所以， 又过点，， 所以，即，∵，， 故， ，故A正确； 向右平移后， 故B错误； ，解得， 时可得在区间上单调递增，故C正确； 对D，根据题意，当在区间上单调时最大值与最小值之差取得最大，由函数的对称性，不妨取在区间上单调递增且 ， 当时， 在区间上最大值与最小值之差取得最大值2， 当的对称轴在中点时最大值与最小值之差取得最小， 又的对称轴方程为， 所以， ， 最大值与最小值之差的最小值为， 综上，最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的公式，逐项计算求值，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A符合题意； 对于B中，因为，得， 所以，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由 ，所以D符合题意. 故选：ABD. 11. 已知的外心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则的取值范围为 C. 与不共线 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用数量积的运算律，即可求解；对于B，建立坐标系，从而有，，，，结合条件可得，根据三角函数的性质，即可求解；对于C，计算可得，即可判断；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据已知可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即，又， 则，得到，故A正确， 对于B，如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 连接，设圆半径为，且交轴正半轴于， 因为，则优弧所对圆心角，所以，    则，，设，使， 则， 因为，所以， 得到，， 所以，， 又，所以，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为 ， 所以与垂直， 又因为，所以与共线，故C错误； 对于D，因为H为的垂心，则，即，    即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， ，则，又， 所以，则， ， 又，则，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式以及同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由题意有. 故答案为：. 13. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，， 因为函数在区间上单调，则，所以，. 所以，的可能取值有：、. 当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上单调，符合题意； 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可. 14. 设函数，若，则的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用二倍角公式结合积化和差公式将函数进行化简，然后利用代数变形和变量替换对接着对和的正负进行分析，进而解出且从而得到，且，求解出的最小值为 【详解】由题意得： ， 则， 由，整理得 可知与的取值是一正、一负， 结合， 可得，. 因为，当时，等号成立； ，当时，等号成立. 所以， 即 因此，若， 则且 所以，且， 取，可得的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：共5小题，15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共77分． 15. 函数中，，最小正周期为，． （1）求； （2）求函数在上的值域； （3）求不等式组的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【小问1详解】 ∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． 【小问2详解】 ∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. 【小问3详解】 ∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 16. 已知函数． （1）证明：为的周期； （2）指出的图象中所有对称轴，并证明的图象关于这些对称轴对称； （3），求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由周期性的定义证明即可； （2）由对称性的性质进行证明； （3）利用换元法求出的最小值，从而得到的范围. 【小问1详解】 ∵，∴为的周期． 【小问2详解】 函数所有的对称轴可表示为直线，证明如下． ∵，∴的图象关于直线对称． 【小问3详解】 ∵，取， 令，可知在单调递减， 所以的最小值为，即的最小值为2， ∴，解得，即的取值范围为． 17. 为了测绘海面上一座活火山顶点的高度，测绘船围绕活火山展开测量，如图为测绘活动的俯视图，测绘船的路线中，三个观测点、、恰好构成正三角形，点为火山口在俯视图中的位置．已知从、、三点测量点的仰角正切值分别为、、． （1）求的正弦值； （2）若正三角形的边长为，求火山顶点的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，由题意可得，则可得，即可借助正弦定理计算得到，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算得到的正弦值； （2）利用正弦定理计算即可得解. 【小问1详解】 取线段的中点为，连接，设火山顶点的高度为， 则依题意可知， ∵，∴，且平分， ∴三点共线，∴， 由正弦定理可知， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知，， ∴， 即，∴． 18. 如图，在梯形中，已知，且，线段上一点，记，为线段上一点，记． （1）若点为中点，求与的值； （2）若点为中点，且，求与的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先使用将表示出来，然后再将使用线性表示出来，即可求得的值. （2）将使用表示出来，然后利用即得到再根据三点共线得，故联立从而求解得到 （3）将使用线性表示，再利用使用数量积等于零，得到等式，分离常数后结合单调性可求取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴，∴. 【小问2详解】 ∵，∴， 又∵，∴ ……① 又∵，其中， ∴，∴……②，联立①②，解得． 【小问3详解】 由（2）可知，， 其中，， ∴， ∵，∴． ∴， ∴， ∵，∴在单调递减， ∴， 又∵，∴的取值范围为． 19. 科幻作家刘慈欣在他的代表作《三体3-死神永生》中，大胆设想了四维空间的物理图景．他描述的四维空间是三维世界的全方位展开，所有封闭结构的内部细节无限暴露，如同“魔戒”般呈现纵深感与包容性，超越物理规则的视觉震撼令人灵魂震颤．但是对于数学家而言，四维空间与二维空间、三维空间在数学结构上应具备一致性．目前我们已经掌握了用平面向量作为计算工具解决二维空间中的几何问题，那么我们也可以将这些解决问题的方法推广到四维空间．我们定义在四维空间中的点坐标为，，则向量．对于给定的两个向量，，可以类比平面向量，定义如下运算规则： ①加减法：；②数乘：；③内积（即数量积）：；④模：；⑤夹角余弦：；⑥平行： ，若，则；⑦向量垂直：． 已知四个点坐标为， （1）计算向量的坐标； （2）求的余弦值； （3）若与平行，求； （4）参考平面向量基本定理，判断四点是否共面，若共面，求四边形的面积；若不共面，给出理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）四点共面；. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的坐标，结合向量的坐标运算，即可求解； （2）根据题意，求得的坐标，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）根据题意，求得，若存在使得，结合向量的坐标，即可求得的值. （4）由（3）得到，根据平面向量基本定理，得到四点共面，求得的面积，再由，求得的面积，杰进而得到四边形为凸四边形. 【小问1详解】 解：由题意，可得， 所以． 【小问2详解】 解：因为， 可得，， 所以． 【小问3详解】 解：因为， 可得， 若存在使得，则， 解得． 【小问4详解】 解：由（3）可知，，可得， 由平面向量基本定理可知三个向量共面，所以四点共面， 因为，可得， 所以的面积为， 又因为， 可得，，且， 所以为等腰直角三角形，其面积为． 由长度和角度可知四维空间中四边形为凸四边形，其面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$