精品解析：2025年河南省周口市商水县几校联考二模数学试题

2025年河南省重点学校名师押题 （B） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23 小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握比较法则是解题的关键．负数都小于０，正数都大于０，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：C． 2. 如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体从左面看的形状图发生改变，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体从不同方向看的问题，能根据不同方向观察图形是解题的关键； 经过观察移走几何体的左视图不会发生变化； 【详解】解：将①或②或③移走都不会改变几何体的左视图， 移走④后几何体的左视图右边会少一个正方形； 故选：D 3. 病毒是一种个体微小、结构简单，必须在活细胞内寄生，并以复制方式增殖的非细胞型生物．绝大多数的病毒必须借助电子显微镜才能观察．乐乐借助电子显微镜观察到一种病毒的直径约为，150 nm即．画线部分的数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个数，一般形式为是只有一位整数的数，当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．掌握这个方法是解答本题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类二次根式、平方差公式、同底数幂相乘，根据积的乘方、合并同类二次根式、平方差公式、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在等腰三角形中，，将其沿折叠使点C与点D重合，延长至点F，至点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质和菱形的判定和性质，关键是求出的度数． 由已知和折叠的性质可得，四边形为菱形，所以，所以，由，可求出． 【详解】折叠后得， ， 又， ， 四边形是菱形， ． ， ， ． 故选： 6. 为了解本班学生的课外阅读量，随机抽取了班上30名学生进行调查，并绘制成如图所示的折线统计图．对于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是2，中位数是3 B. 平均数是2，众数是12 C. 众数是2，中位数是2 D. 众数是12，中位数是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，求中位数，众数和平均数，根据中位数，众数和平均数的定义求解判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得，平均数为， ∵阅读量为2本的人数最多， ∴众数是2， 把这30名同学的阅读量从低到高排列，处在第15名，第16名的阅读量为2本， ∴中位数是2， 故选：C． 7. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度． 本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【详解】且， ， ， 且， ． 故选C． 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将x=0代入方程计算即可． 【详解】把x=0代入方程 得m2-4=0， 解得m=±2， 又因m-2≠0，即m≠2， 所以m=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9. 如图，在中，与的平分线相交于点O，且分别交于点E，F.为的中线.已知，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据，平分，平分，得，根据是的中线，得，根据平分，，得，根据平分，，得，即可求得，即可求的周长． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分，平分， ， ， 是的中线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且， 则在直角中，根据勾股定理得到， 当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分； 当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分； 当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变； 综上所述，选项D正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象过点，且y随x的增大而增大的函数解析式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数（，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当， y随x的增大而增大；当， y随x的增大而减小．根据图象经过点，且y随x的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：图象经过点，且y随x的增大而增大，取， 这样满足条件的函数可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算即可． 本题考查加权平均数的计算，理解加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵， ∴最终得分为 (分)． 故答案为． 13. 已知二元一次方程组，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．把两个方程的左右两边分别相加，再都除以4047即可求解． 【详解】解： ，得 ∴ 故答案为：2． 14. 如图，将等边三角形沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与AC相交于点O，以O为圆心，长为半径作．若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平移的性质，扇形的面积计算，连接，过O点分别作与点D，设与交与点E，连接．利用等边三角形的性质先证明和是等边三角形，然后根据计算即可． 【详解】解：连接，过O点分别作与点D，设与交与点E，连接． 如下图： ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵等边三角形沿方向平移得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵是以O为圆心，长为半径， ∴， 又， ∴是等边三角形，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 四边形是边长为10的正方形，点E在直线上，当，连接，过点A作，交直线于点F，连接，点H是的中点，连接，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，相似三角形的判定和性质，三角形中位线等知识．分两种情况讨论，当点E在射线上时，设交于，过作于点，证明，可得的长，利用勾股定理求得的长，的长，求出的长，再求得的长，再利用勾股定理即可求解；当点E在线段上时，同理即可求解． 【详解】解：当点E在射线上时， 过作于点，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ，， ， 点的中点，， ， ， ， 是的中位线， ， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段上时， 过作于点，如图： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ，， ， 点为的中点，， ， ， ， 是的中位线， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数混合运算以及分式化简等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把特殊角的三角函数值化简以及负整数指数幂，再化简绝对值以及求一个数的立方根，即可作答． （2）先在括号内通分，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，②28.8， ③补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论，②利用圆心角的意义解答即可；③根据条形统计图的特点，解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得（人）， 故答案为：50． D类所占圆心角为：， 故答案为：28.8． ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 18. 如图，在中，．用无刻度的直尺和圆规作直线，使得直线将分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求．理由如下： 直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ． ． ， ，． ． ． 和都是等腰三角形． 【解析】 【分析】作的垂直平分线得到的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形． 本题考查学生动手尺规作图垂直平分线，属于基本作图，理解垂直平分线的性质及等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 19. 某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图(如图②) ，设计题目如下：该款健身器材的座位平行于地面，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角为，求座位距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】座位距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识点．过点B作于点E，延长，交于点F，由，推出，求出，，解直角三角形，，求出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点E，延长，交于点F． ∵，， ∴． ∵， ， ∵， ， 在中， ， 即 ， ∴， 在中， ， 即， ， ∴． 答：座位距离地面的高度约为． 20. 学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 【答案】（1）A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元 （2）购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的性质 （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元．根据题意，列出方程组求解即可； （2）根据各数量之间的关系，先求出a的取值范围，在列出w关于a的一次函数关系式．根据一次函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元． 则有 解得． 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元． 【小问2详解】 设花费w元，购买B种奖品个． ∵， ∴． ． ∵， ∴w随a的增大而增大． 由题知a为正整数， ∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为（元）． ． 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 21. 如图，已知中，，以为直径的交边于点．过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明，得出，再证明，即可得证； （2）连接，则．证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，则． ， ∵， ∴． ∵ 在与中，， ∴． ∴ ∴． 即． 22. 某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边电线形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆上电线离地面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为； 设抛物线的函数表达式为 ， 将代入 ， 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 ， 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ， ∴当时， ， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 23. 在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．请你猜想与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点G的运动过程中存在最大值．若请直接写出的最大值． 【答案】（1）； （2）， 证明：延长到点M，使得，连接， 由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用平行线的性质可得； （2）延长至点M，使得，连接， （3）先利用证得，再利用三角形中位线定理可得，即，然后利用直角三角形性质可得，得出点在以为圆心，3为半径的上运动，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：连结， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，延长至M，使，连接， 在和中， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 点G在以为直径的上运动，当且仅当B、O、G三点共线时，取得最大值， 此时， 在，O为的中点，则， ∴， 在中，O为斜边的中点， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形的全等的性质与判定，旋转的性质，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识点，解题关键熟悉上述定理，并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省重点学校名师押题 （B） 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23 小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目的要求） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 3 2. 如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体从左面看的形状图发生改变，则移走的小正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 病毒是一种个体微小、结构简单，必须在活细胞内寄生，并以复制方式增殖的非细胞型生物．绝大多数的病毒必须借助电子显微镜才能观察．乐乐借助电子显微镜观察到一种病毒的直径约为，150 nm即．画线部分的数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等腰三角形中，，将其沿折叠使点C与点D重合，延长至点F，至点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解本班学生的课外阅读量，随机抽取了班上30名学生进行调查，并绘制成如图所示的折线统计图．对于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 平均数是2，中位数是3 B. 平均数是2，众数是12 C. 众数是2，中位数是2 D. 众数是12，中位数是3 7. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在中，与的平分线相交于点O，且分别交于点E，F.为的中线.已知，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象过点，且y随x的增大而增大的函数解析式：__________． 12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 13. 已知二元一次方程组，则的值为______． 14. 如图，将等边三角形沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与AC相交于点O，以O为圆心，长为半径作．若，则阴影部分的面积为______． 15. 四边形是边长为10的正方形，点E在直线上，当，连接，过点A作，交直线于点F，连接，点H是的中点，连接，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：. 17. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 18. 如图，在中，．用无刻度的直尺和圆规作直线，使得直线将分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图(如图②) ，设计题目如下：该款健身器材的座位平行于地面，支架，，支架与座位的夹角，与支架的夹角为，求座位距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 21. 如图，已知中，，以为直径的交边于点．过点作的切线交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． （1）请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）因实际需要，电力公司需要在之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边电线形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆上电线离地面的距离． 23. 在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线． 【问题初探】 （1）如图1，延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．请你猜想与的数量关系，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点G的运动过程中存在最大值．若请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $