4.1《认识三角形》教学讲义2024-2025学年北师大版七年级数学下册

《认识三角形（三角形的高、中线、角平分线、重心）》教学讲义 一、导入（5分钟） 同学们，今天上课之前，我们先来看一些图片。通过多媒体课件展示生活中含有三角形的物体图片，如自行车的车架、屋顶、埃及金字塔、桥梁等。大家仔细观察这些物体，看看其中的三角形都有什么样的形状和结构。有没有同学发现，在这些三角形结构中，有一些特殊的线段呢？它们又有什么作用呢？ （给学生一些时间观察和思考，然后请几位同学回答） 同学们说得都很不错，看来大家在课前都有认真观察生活中的三角形物体。在这些三角形结构中，那些特殊的线段确实有着非常重要的作用。那么，今天我们就来深入认识一下三角形，特别是三角形的高、中线、角平分线和重心。在上课之前，也让同学们分享一下自己课前对这些特殊线段的思考，看看大家都有哪些独到的见解。 （让学生分享自己的思考，教师进行点评和引导） 二、新授（25分钟） （一）三角形的高（8分钟） 1. 定义讲解：同学们，我们先来认识一下三角形的高。结合三角形模型，向大家介绍三角形高的定义。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。这里大家一定要注意“对边所在直线”这一要点，因为对于不同类型的三角形，高的位置是有所不同的。比如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的高位置就不一样。大家在理解定义的时候，要结合不同类型的三角形来加深印象。 2. 画法演示：接下来，我们来看看如何画三角形的高。以锐角三角形为例，我在黑板上演示一下。首先，用三角板的一条直角边与三角形的对边重合，然后沿着另一条直角边画出垂线，标出垂足，最后连接顶点和垂足，就得到了三角形的高。同学们，你们也来试试，在自己准备好的三角形纸片上画出高。在画的过程中，大家要注意三角板的使用方法，确保画出的垂线是准确的。现在，我请几位同学到黑板上画一画，其他同学在下面自己练习，我来巡视指导，看看大家画得怎么样，及时纠正同学们的错误。 3. 分类讨论：现在，大家已经会画三角形的高了，我们来观察一下不同类型三角形高的特点。锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高，就是两条直角边，一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。通过多媒体课件展示不同类型三角形高的位置，让大家更加直观地理解。大家看看这些三角形，对比一下自己画的高，看看是不是符合这些特点。在实际应用中，了解三角形高的位置特点是非常重要的，比如在建筑设计中，很多结构都涉及到三角形的高，只有准确地确定了高的位置，才能保证建筑的稳定性和安全性。 （二）三角形的中线（7分钟） 1. 定义讲解：我们再来看三角形的中线。连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。结合三角形模型，我来给大家指出顶点和所对边中点的位置，大家一定要明确中线的定义。中线在三角形中也有着非常重要的作用，它可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质。 2. 画法演示：下面，我在黑板上演示如何画三角形的中线。首先，要找到三角形一边的中点。这个中点可以用折叠的方法来确定，也可以用直尺测量中点位置。找到中点后，再连接顶点和这个中点，就得到了三角形的中线。现在，同学们自己在准备好的三角形纸片上画出中线，注意画中线的时候要准确找到中点，这样才能保证中线的准确性。我来巡视指导，看看大家画得怎么样。 3. 性质探究：现在，大家已经会画三角形的中线了，我们来探究一下三角形的三条中线有什么位置关系。我给大家提出一个问题：“三角形的三条中线有什么位置关系？”大家可以以小组为单位，通过用直尺测量或折叠三角形纸片来探究这个问题。经过探究，同学们会发现三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。为了让大家更加清楚地看到这个性质，我通过多媒体课件进一步演示三角形三条中线相交于重心这一性质。大家看看这个演示，是不是更加直观了呢？在实际生活中，重心的概念也有着广泛的应用，比如在物体的平衡、机械设计等方面，都离不开重心的知识。 （三）三角形的角平分线（6分钟） 1. 定义讲解：接下来，我们来认识三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。这里大家要注意，角平分线是线段，而不是射线，并且是与对边相交后得到的线段。这个定义可能有点抽象，大家结合三角形模型来理解一下。 2. 画法演示：下面，我在黑板上演示如何画三角形的角平分线。首先，用圆规以角的顶点为圆心，适当长度为半径画弧，交角的两边于两点。然后，再分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧在角内部相交于一点。最后，连接角的顶点和这个交点，就得到了三角形的角平分线。同学们，你们也来试试，在自己准备好的三角形纸片上画出角平分线。画的时候要注意圆规的使用方法，确保画出的角平分线是准确的。我来巡视指导，看看大家画得怎么样。 3. 性质引导：现在，大家已经会画三角形的角平分线了，我们来思考一下三角形的角平分线有什么性质。大家可以提示自己从角平分线的定义出发，思考角平分线上的点到角两边的距离关系。不过，这个性质在本节课我们先不深入探究，为后续学习埋下伏笔。大家先有个初步的认识，以后我们还会进一步学习角平分线的性质和应用。 （四）三角形的重心（4分钟） 1. 概念强化：前面我们已经探究了三角形三条中线相交于一点的结论，现在我们再次强调一下，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。大家一定要明确重心的定义，这个定义在后续的学习中非常重要。重心是三角形的一个重要性质，它可以帮助我们更好地理解和分析三角形的平衡和稳定性。 2. 性质拓展：通过多媒体课件，我给大家展示一些与三角形重心相关的实际应用。比如不倒翁的原理就是利用了重心较低的物体更稳定的特性。大家看看这个不倒翁，它的重心位置很低，所以它能够保持平衡，不会轻易倒下。在生活中，还有很多物体的设计都利用了重心的原理，比如一些大型的机械设备、建筑物等。同时，我简单介绍一下三角形重心的一些性质，比如重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1。不过，这个性质的证明过程在本节课我们不要求大家掌握，大家先有个初步的了解就可以了。 三、练习（10分钟） （一）基础练习 1. 判断下列说法是否正确： - 三角形的高一定在三角形的内部。（ ） - 三角形的角平分线是射线。（ ） - 任意三角形的三条中线都相交于一点。（ ） 2. 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高。 （二）提高练习 1. 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，若△ABC的面积是24，BC=8，求BE的长。 2. 如图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，若∠B=50°，∠C=60°，求∠EAD的度数。 （三）拓展练习 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，连接DE，F是DE的中点，连接AF并延长交BC于点G，求BG:GC的值。 四、小结（5分钟） （一）知识回顾 同学们，今天我们学习了三角形的高、中线、角平分线的定义、画法，三角形重心的概念以及三角形高、中线、角平分线的部分性质。现在，我们一起来回顾一下这些内容。三角形的高是从一个顶点向对边所在直线作垂线得到的线段；三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段，三条中线相交于一点，这个点就是三角形的重心；三角形的角平分线是一个内角的平分线与对边相交得到的线段。这些知识都是非常重要的，大家一定要掌握好。 在学习这些知识的过程中，我们使用了很多方法，比如观察、操作、比较、归纳、推理等。这些方法在数学学习中非常重要，希望大家能够熟练掌握并运用这些方法。数学是一门非常有趣的学科，它与我们的生活息息相关。今天，我们学习了三角形的高、中线、角平分线和重心，这些都是数学中的基础知识，但它们在生活中的应用却非常广泛。 今天的课就到这里，同学们，下课！ 学科网（北京）股份有限公司 $$