精品解析：青海省海南州第三民族高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

海南州第三民族高级中学 高二年级数学学科 2025年春季学期期中考试试题（卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则m的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得. 【详解】依题意，， 即， 即. 故选：B 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的运算法则计算即可. 【详解】， . 故选：A 【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查导数的运算，属于基础题. 3. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由导函数图象可知是的极小值点， 是的极大值点. 故选：D． 5. 为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ） A. 10种 B. 40种 C. 80种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】 分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可. 【详解】由题意, 因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有： ①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共种. ②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共种. 共种. 故选：A 【点睛】本题考查了分类求解组合的问题,需要注意6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每家医院所得的箱数.属于基础题. 6. 函数单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后，令，解出即可. 【详解】, 令，解得， 所以单调递减区间为. 故选：A. 7. 已知函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可. 【详解】当时，， 所以是为偶函数． 又， 当时，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， ， 又， ， 所以， 故选：A 8. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知,,,即, ,解得．故B正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论中正确的有（ ） A. B. 函数的图象是中心对称图形 C. 若是的极小值点，则在区间单调递减 D. 若是的极值点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A：利用零点存在性定理判断即可； 对于选项B：利用函数图象成中心对称的定义进行判断即可； 对于选项C：采取特殊函数方法，若取，利用导数判断函数的单调性和极值； 对于选项D：根据导数的意义和极值点的定义即可判断. 【详解】对于选项A：因为当x→+∞时，→+∞，当x→-∞时，→-∞， 由题意知函数为定义在R上的连续函数，所以， 故选项A正确； 对于选项B ： ， 所以，即点为函数的对称中心， 故选项B正确； 对于选项C：若取， 则, 所以， 由可得，x>1或，由可得， 所以函数的单调增区间为，减区间为 所以1为函数的极小值点，但在区间并不是单调递减,故选项C错误； 对于选项D：若是的极值点,根据导数的意义知=0， 故选项D正确； 故选：ABD. 10. 为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的调研安排有243种 B. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D. 若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步计数原理可判断A；利用部分平均分组可判断B、C；先利用部分平均分组以及排列可判断D. 【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有种，故A正确； 对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组， 再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有，种分组方法， 则不同的调研安排有种，故B正确，C错误； 对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员， 且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，令，可得，可得有两个变号零点，可得有两个极值点，可得结论. 【详解】，则， 所以有两个极值点，，且． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，则的不同值的个数是_____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】求的值需要两步，取x值有3种方法，再取y值有3种方法， 由分步乘法计数原理得， 而x的每个取值与y的每个取值的乘积都不相等，所以的不同值个数是9， 故答案为：9 13. 曲线在点（0，2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，求 ，写出切线方程，与y=0,y=x联立求交点的坐标，即可求面积. 【详解】∵，∴，∴切线的斜率，且过点（0，2），∴切线为，∴，∴切线与x轴交点为（1，0），与的交点为，∴切线与直线和围成的三角形的面积为.故答案为 【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题. 14. 已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，求导，写出直线l的方程，再根据直线l过点求解. 【详解】解：设切点坐标为， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为 又直线l过点， 所以， 整理得，解得， 所以， 直线l的斜率， 所以直线l的方程为， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用基本初等函数求导公式和积的求导法则求解即可 （2）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 （3）利用基本初等函数求导公式和商的求导法则求解即可 （4）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 【小问1详解】 （1） 【小问2详解】 因为， 所以 【小问3详解】 【小问4详解】 16. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V． （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 【答案】（1），定义域为； （2）当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解 【小问1详解】 在中， 因为，所以， 设圆柱的底面半径为r，则，即， 所以，定义域为 【小问2详解】 由（1）得，， ， 令，则，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是 17. 已知7人站成一排．求： （1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？ （2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 （4）种 【解析】 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【小问1详解】 （捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． 【小问2详解】 方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． 【小问3详解】 （捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． 【小问4详解】 （插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 18. 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. （1）该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? （2）该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 【答案】（1）2百万元 （2）将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大 【解析】 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质解出即可； （2）根据题意，得到收益模型为，再用导数研究其最值即可. 【小问1详解】 设收益为，则有 ，， 所以当百万元时，公司获得的收益最大. 【小问2详解】 设此时的收益为，则 ，， 所以， 令，解得，或（舍）， 又当时，；当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，取最大值， 即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大. 19. 已知函数在点处取得极小值，其导函数的图象经过，，如图所示. （1）求的值； （2）求，，的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）观察图象，根据满足的点附近的导数的符号的变化情况来确定极小值，即可求出结果； （2）根据图象和已知条件得，建立方程组，解之即可求出结果. 【详解】（1）由图象可知：在和上，；在上，，所以在和上单调递减，在上单调递增；因此在处取得极小值，所以； （2）因为，则， 由题意知， 因此，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州第三民族高级中学 高二年级数学学科 2025年春季学期期中考试试题（卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则m的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) A. B. C. D. 5. 为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ） A. 10种 B. 40种 C. 80种 D. 240种 6. 函数单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论中正确的有（ ） A. B. 函数的图象是中心对称图形 C. 若是的极小值点，则在区间单调递减 D. 若是的极值点，则 10. 为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的调研安排有243种 B. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C. 若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D. 若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 11. 已知函数，，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，，则的不同值的个数是_____. 13. 曲线在点（0，2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为_____________. 14. 已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的导数 （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V． （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 17. 已知7人站成一排．求： （1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？ （2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 18. 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）. （1）该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大? （2）该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入） 19. 已知函数在点处取得极小值，其导函数的图象经过，，如图所示. （1）求的值； （2）求，，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $