清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+6个考点清单&10大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （6个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（24-25八年级下·河南·阶段练习）郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川内江·期中）“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，则下列式子中错误的是（ 　） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，则不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型三】不等式的解题（） 【例3】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3-2】（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【变式3-3】（2023·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】（24-25七年级下·广东东莞·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【变式5-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【变式5-2】（24-25七年级下·北京·期中）求不等式的非负整数解，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】非负整数解：0，1，2，3，数轴见详解 【考点题型六】一元一次不等式解实际问题（） 【例6】（2025年河南省许昌市第二次中招模拟考试九年级数学试卷）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【变式6-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． 现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【变式6-2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    【考点题型七】解解一元一次不等式组（） 【例7】（2025·江苏镇江·一模）解不等式组： 【变式7-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）解不等式组，并写出所有整数解． 【变式7-3】（24-25七年级下·山西长治·期中）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【考点题型八】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例8】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】不等式组与方程组的结合问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【变式9-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【变式9-4】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【考点题型十】一元一次不等式组的实际应用（） 【例10】（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【变式10-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【变式10-3】（2025九年级下·全国·专题练习）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （6个考点梳理+10大题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（24-25八年级下·河南·阶段练习）郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式，利用不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式，表示即可． 【详解】解：由题意得：郑州市春季某日气温的变化范围是：， 故选：D． 【变式1-1】（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川内江·期中）“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式是解题的关键．根据“与的2倍的差不大于27”列出不等式即可． 【详解】解：“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为． 故答案为：． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，则下列式子中错误的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：由可得，故正确，不符合题意； B、由可得，原写法错误，符合题意； C、由可得，故正确，不符合题意； D、由可得，故正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知，则不等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，解答的关键是熟练掌握不等式的基本性质，根据不等式的基本性质判断求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； C、∵， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵， ∴，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得（） D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，由不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意； B、由，得，选项正确，符合题意； C、由，若，则，原选项错误，不符合题意； D、由，若，，则，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质可得，故选项A说法正确，不符合题意； B、若，根据不等式的性质可得，故选项B说法正确，不符合题意； C、若，则，故选项C说法错误，符合题意； D、因为，所以由可得，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【考点题型三】不等式的解题（） 【例3】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 【变式3-1】（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据定义的新运算得到，得，由不等式的解集得，即可求得的值． 【详解】解： ， ， 得：， 不等式的解集为， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的不等式． 【变式3-2】（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（  ） A．不等式的解是3 B．3是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可． 【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意； B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意； C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意； D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键． 【变式3-3】（2023·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】（24-25七年级下·四川内江·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是一元一次不等式，该选项符合题意； B. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； C. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； D. 不是一元一次不等式，该选项不符题意； 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、不是一元一次不等式，故不符合题意； B、不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选C． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是，两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②中左边是分式，不是一元一次不等式； ③中含有个未知数，不是一元一次不等式； ④是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有个， 故选：． 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】（24-25七年级下·广东东莞·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 在数轴上表示如图所示： 【变式5-1】（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法．根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 【变式5-2】（24-25七年级下·北京·期中）求不等式的非负整数解，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】非负整数解：0，1，2，3，数轴见详解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，即可求得其非负整数解，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵求不等式的非负整数解， ∴非负整数解：0，1，2，3， 在数轴上表示为： 【考点题型六】一元一次不等式解实际问题（） 【例6】（2025年河南省许昌市第二次中招模拟考试九年级数学试卷）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【答案】(1)甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 (2)甲种钢笔式毛笔至少购买25套 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套，依题意列出表达式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元， 依题意可列方程为， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际意义， 所以 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套． 依题意可得：， 解得， 最小整数为， 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套． 【变式6-1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，计划购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． 现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】5台 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设该企业需要购买A型智能机器人x台，根据该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设该企业需要购买A型智能机器人x台，则需要购买B型智能机器人台，     由题意得：， 解得：， 答：该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分旧城区进行改造，在改造施工现场有大量的建筑垃圾需要运输出去，某车队有载重量为7吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则购进载重量为10吨的卡车至少多少辆？    【答案】购进载重量为10吨的卡车至少5辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设购进载重量为10吨的卡车辆，购进载重量为7吨的卡车辆，再结合该车队需要一次运输建筑垃圾不低于160吨，新购进这两种卡车共6辆，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设购进载重量为10吨的卡车辆， 则购进载重量为7吨的卡车辆， 根据题意可列不等式为：， 解得：， 取正整数， 的最小值为5． 答：购进载重量为10吨的卡车至少5辆． 【考点题型七】解解一元一次不等式组（） 【例7】（2025·江苏镇江·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 【变式7-3】（24-25七年级下·山西长治·期中）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集．最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得：；解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： 【考点题型八】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例8】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围． 先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级下·北京·期中）关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有5个，即可得到的范围． 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级下·广西桂林·期中）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组与一元一次不等式组的整数解，确定不等式组的整数解是解题的关键．先解不等式组得到，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围，进而求解． 【详解】解：由不等式组得，， ∵关于的不等式组的解集只有3个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5， ∴， 解得，， 故选：A． 【考点题型九】不等式组与方程组的结合问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查方程组和不等式组的综合，先求出方程组的解，根据方程组的解的情况，列出关于的不等式组，进而求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 【变式9-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式9-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有个整数解即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】 解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 【变式9-4】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组． （1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 【考点题型十】一元一次不等式组的实际应用（） 【例10】（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【答案】(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元 (2)有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元，②购进足球4个，跳绳6根，费用为元，③购进足球5个，跳绳5根，费用为元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设再次购进足球个，则购进跳绳根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可． 【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶ ， 解得：， 答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元； （2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）． 【变式10-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）某旅游团计划在某电商平台购买杭州亚运会立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章，若购买1套立体吉祥物摆件和2套吉祥物徽章共350元，且每套亚运会吉祥物徽章的单价是每套立体吉祥物摆件的单价的3倍． (1)求每套立体吉祥物摆件和每套亚运会吉祥物徽章单价各是多少元？ (2)若至少需要购买48套亚运会吉祥物徽章，如果购买立体吉祥物摆件和亚运会吉祥物徽章共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案． 【答案】(1)每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元 (2)共有三种购买方案：方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个；方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个；方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个； 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元，根据“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量购买需要资金”列关于的一元一次方程并求解即可； （2）设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个，根据“购买亚运会吉祥物徽章的数量”和“每套立体吉祥物摆件的单价购买立体吉祥物摆件的数量每套亚运会吉祥物徽章的单价购买亚运会吉祥物徽章的数量”列关于的一元一次不等式组并求解，根据的取值范围写出所有购买方案． 【详解】（1）解：设每套立体吉祥物摆件的单价是元，则每套亚运会吉祥物徽章的单价是元． 根据题意，得， 解得， （元， 答：每套立体吉祥物摆件的单价是50元，每套亚运会吉祥物徽章的单价是150元． （2）解：设购买亚运会吉祥物徽章个，则购买立体吉祥物摆件个． 根据题意，得， 解得， 为正整数， ，49，50． 当时，（个； 当时，（个； 当时，（个； 共有三种购买方案： 方案一：购买亚运会吉祥物徽章48个、立体吉祥物摆件52个； 方案二：购买亚运会吉祥物徽章49个、立体吉祥物摆件51个； 方案三：购买亚运会吉祥物徽章50个、立体吉祥物摆件50个． 【变式10-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】(1) (2)应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：； （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：， ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台． 【变式10-3】（2025九年级下·全国·专题练习）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的实际应用，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键． （1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程即可； （2）首先判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，根据题意列出不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； （2）解：师生总数为（人）， ∵每位老师负责一辆车的组织工作， ∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆， 根据题意，得： ， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$