清单02 实数（考点清单，知识导图+5个考点清单&19大题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

清单02实数（5个考点梳理+19大题型解读+提升训练） 清单01 算术平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 清单02 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2；勾股定理逆定理 ：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单03 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 清单04 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 清单05 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点题型一】求一个数的算术平方根（） 【例1】（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【变式1-1】（24-25七年级下·北京·期中）25的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）的算术平方根是 ． 【考点题型二】利用算术平方根的非负性解题（） 【例2】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知x，y满足，则的值为 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知，则的值为 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【考点题型三】与算术平方根有关的规律探索题（） 【例3】（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【变式3-2】（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 【变式3-3】（24-25九年级下·山东威海·期中）若，，则 ．（保留小数点后两位） 【变式3-4】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】利用勾股定理解直角三角形（） 【例4】（2025·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，边长为的正方形如图这样放置，则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【变式4-2】（2025·广东清远·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【考点题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 【例5】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式5-2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【变式5-3】（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】以弦图为背景的计算题（） 【例6】（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【变式6-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【变式6-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【考点题型七】勾股定理的实际应用（） 【例7】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【变式7-2】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【变式7-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【考点题型八】勾股定理的逆定理运用（） 【例8】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【变式8-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【变式8-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）我县某中学有一块空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种花，经测量，，，，．求出该空地的面积． 【变式8-3】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 【考点题型九】求一个数的平方根（） 【例9】（2025·山东临沂·二模）4的平方根为（   ） A． B．2 C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）的平方根是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）的平方根是 ． 【考点题型十】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例10】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 【变式10-1】（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【考点题型十一】利用平方根解方程（） 【例11】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式11-1】（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式11-2】（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）利用平方根的性质解下列方程． (1)； (2)． 【考点题型十二】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例12】（2025·江苏常州·一模）化简： ． 【变式12-1】（23-24七年级下·北京·期中）的立方根是 ． 【考点题型十三】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例13】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式13-1】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【变式13-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式13-4】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【考点题型十四】无理数的定义（） 【例14】（2025·广东阳江·一模）下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）在实数，，，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型十五】实数的性质（） 【例15】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 【变式15-1】（24-25七年级下·天津·期中）（1）的相反数是 ，（2） ． 【变式15-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简： 【考点题型十六】实数与数轴（） 【例16】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式16-1】（2025·山东临沂·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 【变式16-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【考点题型十七】无理数的大小估算（） 【例17】（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式17-1】（24-25七年级下·重庆·期中）估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式17-2】（2025·宁夏银川·二模）整数a满足，则整数a的值为 ． 【考点题型十八】无理数整数部分有关计算（） 【例18】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式18-1】（24-25八年级下·广东中山·期中）的整数部分为（   ） A．2 B．6 C．3 D．5 【变式18-2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式18-3】（24-25七年级下·天津·期中）已知正数的两个平方根分别为和，的整数部分为．求 (1)，，的值； (2)的值． 【考点题型十九】实数的混合运算（） 【例19】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算： (1) (2) 【变式19-1】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）计算： (1)； (2) 【变式19-2】（24-25七年级下·陕西延安·期中）计算：． 【变式19-3】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）计算 (1)； (2) 【变式19-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）计算： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02实数（5个考点梳理+19大题型解读+提升训练） 清单01 算术平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 清单02 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2；勾股定理逆定理 ：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单03 平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 清单04 立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 清单05 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【考点题型一】求一个数的算术平方根（） 【例1】（2025·江西抚州·一模）的值是（   ） A． B．45 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是熟练算术平方根定义． 根据算术平方根的定义直接解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·北京·期中）25的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：由于， 所以25的算术平方根为5； 故选：A． 【变式1-2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 【考点题型二】利用算术平方根的非负性解题（） 【例2】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知x，y满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，根据题意得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，代数式求值，掌握算术平方根和平方的非负性是解题的关键． 先根据算术平方根和平方的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非负性求出，，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【考点题型三】与算术平方根有关的规律探索题（） 【例3】（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，．则 ．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【变式3-3】（24-25九年级下·山东威海·期中）若，，则 ．（保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案．正确理解算术平方根的定义（如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根）是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式3-4】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 故选：B． 1 【考点题型四】利用勾股定理解直角三角形（） 【例4】（2025·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，边长为的正方形如图这样放置，则顶点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．先根据正方形的性质以及勾股定理可得，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质可得A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，据此即可解答． 【详解】解：∵边长为的正方形如图这样放置， ∴， 如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 故选：C． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·广东清远·二模）如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，由正方形和折叠的性质，易证，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为4， ，， 由折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形全等的判定和性质．根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：，在直线上有正方形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，的面积分别为4和16， 的面积， ∴， ∴则的面积为 故答案为：20． 【考点题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积（） 【例5】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）三个正方形按如图所示的方式摆放，围成了一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为（   ） A．120 B．100 C．64 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式可得两个小正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形A的边长即可得到答案． 【详解】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边长是8和6；解图中直角三角形得A正方形的边长为， 故正方形的面积为， 故选：B ． 【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出，，再利用勾股定理可得，则可得，同样的方法可得，，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为，其面积标记为， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以为边向外作正方形，其面积标记为， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：（其中，为正整数）， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选A． 【变式5-3】（24-25八年级下·广东·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据在中，，得到，结合，，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，即，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型六】以弦图为背景的计算题（） 【例6】（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，掌握勾股定理内容是解题的关键． 1、【探索新知】利用“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，列式即可求解； 2、【初步运用】（1）分别表示出大正方形面积与小正方形面积，即可求解； （2）利用边长为c的正方形面积减去两个直角三角形面积，即可求解； （3）设，则，由题意得，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而得，即可求得面积． 【详解】解：【探索新知】由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】（1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． 【变式6-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 【变式6-2】（2025·陕西渭南·一模）如图，“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．它是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若中间的小正方形的周长为4，，则大正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理．由四个全等的直角三角形可知，，利用勾股定理可求得大正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：∵中间的小正方形的周长为4， ∴， ∵， ∴， 根据题意得，在中，，， ∴， ∴大正方形的周长为， 故答案是：． 【变式6-3】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1）（2）5；探究：见解析；应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． 【考点题型七】勾股定理的实际应用（） 【例7】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 【变式7-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 【变式7-2】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）麻阳河自然保护区是国家一级重点保护区，主要野生动物是黑叶猴．如图，有两只猴子在一棵树上的点 B 处，且，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下再走到离树处的A 处（即），另一只猴子乙先爬到顶 D 处后再沿缆绳滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，求这棵树高有多少米？ 【答案】这棵树高有6米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．设的长度为，根据，求出，在中，由勾股定理，列出方程求解出，即可解答． 【详解】解：设的长度为， ∵， ∴， ∴； 由题意知，则在中， 有， ∴， 解得：， ， ∴． 答：这棵树高有6米． 【变式7-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 【考点题型八】勾股定理的逆定理运用（） 【例8】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【答案】需要投入1850元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接，由勾股定理可得米，然后根据勾股定理逆定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵米，米，， ∴米， ∵米，米， ∴， ∴， ∴平方米， ∴（元）， 答：需要投入1850元． 【变式8-1】（24-25八年级下·天津河北·期中）校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1)蔬菜区边的长为 (2)花卉区的面积为 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴      ； 答：蔬菜区边的长为； （2）∵， ∴， ∴花卉区的面积， 答：花卉区的面积为． 【变式8-2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）我县某中学有一块空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种花，经测量，，，，．求出该空地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键熟练掌握勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴该空地的面积是：． 【变式8-3】（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，， 的面积， ． 【考点题型九】求一个数的平方根（） 【例9】（2025·山东临沂·二模）4的平方根为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：4的平方根是． 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 的平方根是， 故选D． 【变式9-2】（24-25七年级下·江西南昌·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，熟练掌握和运用求一个数平方根的方法是解决本题的关键．根据平方根的定义，即可解答． 【详解】解： ， 的平方根是， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东惠州·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【考点题型十】已知一个数的平方根，求这个数（） 【例10】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和特点，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求得a，进而求得m即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程及平方根，解题时需要熟练掌握并理解． （1）根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，结合，即可求出m的值； （2）由题意得出，即可求出m的值，从而求出这个正数． 【详解】（1）由题意得，即， 当时，， 解得． （2）由题意，得， ， 解得 ∴． 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 【考点题型十一】利用平方根解方程（） 【例11】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）先移项，然后利用平方根的性质解方程； （2）先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ∴， 解得，； （2）解：， 或， 解得，． 【变式11-1】（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解， 对于（1），先整理得，再开方得出答案； 对于（2），直接开方得，计算得出答案． 【详解】（1）解：整理，得， 开方，得或； （2）解：开方，得， 即或， 解得或． 【变式11-2】（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期中）利用平方根的性质解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或． 【考点题型十二】已知一个数的立方根，求这个数（） 【例12】（2025·江苏常州·一模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式12-1】（23-24七年级下·北京·期中）的立方根是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 故答案为： 【考点题型十三】算术平方根和立方根的综合应用（） 【例13】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，熟练掌握这定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值， （2）把a，b的值代入式子，进而计算即可． 【详解】（1）由题意的：的平方根是 ∴，解得： 的立方根是4 ∴解得： 故答案为：， （2）由， 得： 1的平方根为 故答案为： 【变式13-1】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【答案】(1)a 的值为 1 ，b 的值为 4 (2)m 的值为 9 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，求解一个数的平方根； （1）根据平方根与立方根的含义可得，再进一步求解即可； （2）先计算，再由平方根的含义可得答案． 【详解】（1） ∵和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为 2 ∴ 解得： ∴a 的值为 1 ，b 的值为 4； （2）∵， ∴， ∴m 的值为 9． 【变式13-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 【变式13-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于，的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， 解得:． （2）解：当时， ，                       所以的平方根是． 【变式13-4】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据立方根及算术平方根的定义建立方程组即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是4，的算术平方根是5， ∴， 解得：； （2）解： ， 则的平方根是． 【考点题型十四】无理数的定义（） 【例14】（2025·广东阳江·一模）下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的根式，π，以及像即可求解． 【详解】解：和均是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 故选：C． 【变式14-1】（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）在实数，，，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求立方根，无理数的定义：无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开不尽才是无理数．利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求答 【详解】解：， ，，是有理数；，，为无理数，共2个， 故选：B． 【考点题型十五】实数的性质（） 【例15】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求实数的绝对值及实数的运算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先化简绝对值再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式15-1】（24-25七年级下·天津·期中）（1）的相反数是 ，（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了求一个数的相反数，求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念． 根据立方根的运算法则及相反数的概念计算即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：； ， 故答案为：． 【变式15-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）化简： 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 【考点题型十六】实数与数轴（） 【例16】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 先估算出无理数的范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即表示数的点应落在上． 故选B． 【变式16-1】（2025·山东临沂·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，得，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：解：由数轴可知，， ∴，， A、由数轴可知，，那么的范围是 ，而的范围是，所以，该选项错误，不符合题意； B、因为，根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得 ，所以该选项错误，不符合题意； C、由于，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得 所以该选项错误，不符合题意； D、因为，所以的范围是，则的范围是；又因为，所以的范围是，则的范围是．所以，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式16-2】（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 【变式16-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，结合数轴即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴数轴上表示的点可能是点， 故选：C． 【考点题型十七】无理数的大小估算（） 【例17】（2025·天津河西·一模）估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即估计的值在5和6之间． 故选：D． 【变式17-1】（24-25七年级下·重庆·期中）估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 【变式17-2】（2025·宁夏银川·二模）整数a满足，则整数a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的大小估算， 求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数． 【详解】解：， ，即， 整数a的值为， 故答案为：4． 【考点题型十八】无理数整数部分有关计算（） 【例18】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式18-1】（24-25八年级下·广东中山·期中）的整数部分为（   ） A．2 B．6 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的整数部分，先根据，得，则的整数部分为3，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的整数部分为3， 故选：C． 【变式18-2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根、立方根，掌握平方根、立方根的意义及无理数的估算是解决本题的关键． （1）根据立方根、平方根、的整数部分求出a，b，c； （2）计算的值，再计算它的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∴． 【变式18-3】（24-25七年级下·天津·期中）已知正数的两个平方根分别为和，的整数部分为．求 (1)，，的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，代数式求值，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，求出，由得到，得出； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：正数的两个平方根分别为和， ， 解得， ， ， ， 的整数部分为， ； （2）解： ， ． 【考点题型十九】实数的混合运算（） 【例19】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，求解算术平方根，立方根，掌握以上运算的运算方法是解题的关键． （1）先分别求解算术平方根与立方根，再合并即可得到答案； （2）先化简算术平方根与绝对值，再合并同类即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式19-1】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的运算，化简绝对值等知识点，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别化简绝对值，计算算术平方根和立方根，再进行加减计算； （2）分别计算有理数的乘方，去括号，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式19-2】（24-25七年级下·陕西延安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据算术平方根、实数的混合运算、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式19-3】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根和立方根的概念，绝对值的定义，正确掌握相关知识，并能正确计算是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根、绝对值的概念化简，再计算加减即可； （2）根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式19-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 =． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$