专题10 圆中有关的计算与证明（6大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 圆中有关的计算与证明 题型概览 题型01 圆中的计算---求角度 题型02 圆中的计算---求线段长 题型03 圆中的计算---求弧长 题型04 圆中的计算---求阴影部分的面积 题型05 正多边形与圆的计算 题型06 圆中有关的计算与证明---解答题 圆中的计算---求角度题型01 1．（2025·山西临汾·一模）如图，是的内接三角形，，，过点作BD∥AC，交于点，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋中·一模）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西长治一模）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点C在上，点D是弧的中点，连接，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，延长，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山西·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的切线，点在直径的延长线上，过点作的平行线，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山西晋中·一模）如图，已知中，为直径，P、D为上两点，过点P作的切线与的延长线交于点C，连接、．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 圆中的计算---求线段长题型02 9．（2025·山西朔州·模拟预测）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西运城·一模）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则 ． 圆中的计算---求弧长题型03 13．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·山西运城·一模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 15．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，以点O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D．若，，则图中的长为 ． 圆中的计算---求阴影部分的面积 题型04 17．（2025·山西朔州·一模）如图，为半圆的直径，弦为的中点，与交于点，过点作，垂足为，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 19．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 20．（2025·山西运城·一模）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米,米，则阴影部分的面积为（　　） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 21．（2025·山西临汾·一模）如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 22．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 正多边形和圆的计算题型05 24．（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·山西太原·一模）如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 27．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 28．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（    ） A． B． C． D． 圆中的证明与计算---解答题题型06 29．（2025·山西·一模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点，过点作的切线交的延长线于点．试判断与的位置关系，并说明理由． 30．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 31．（2025·山西中考·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 32．（2025·山西长治·一模）如图，点A，B在上，且，直线与相切． (1)尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)请判断四边形的形状，并说明理由． 33．（2025·山西·模拟）如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 1．（2025·山西晋城·一模）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．直角三角形的两个锐角互余 C．直径所对的圆周角是直角 D．的圆周角所对的弦是直径 2．（2025·山西·一模）如图，已知是的直径，点C为圆上一点，连接，过点O作，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·一模）如图是某宣传版面的平面示意图，其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分，小强测得，，，则这块宣传版面的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，则图中阴影的面积为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·山西晋中·一模）如图，菱形的边长为，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西吕梁·一模）如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．1 7．（2025·山西运城·一模）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山西大同·一模）如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为 ． 9．（2025·山西临汾·一模）如图，是的切线，A为切点， 的延长线交于点 B，连接．若，则的度数为 ． 10．（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 11．（2025·山西运城·一模）如图，正五边形内接于，过点A的切线与的延长线相交于点，则 ．    12．（2025·山西长治·一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则 ． 13．（2025·山西晋中·一模）如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 14．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 15．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若，，求直径的长． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆中有关的计算与证明 题型概览 题型01 圆中的计算---求角度 题型02 圆中的计算---求线段长 题型03 圆中的计算---求弧长 题型04 圆中的计算---求阴影部分的面积 题型05 正多边形与圆的计算 题型06 圆中有关的计算与证明---解答题 圆中的计算---求角度题型01 1．（2025·山西临汾·一模）如图，是的内接三角形，，，过点作BD∥AC，交于点，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解，利用圆周角定理可求得，结合平行线的性质可求解，进而可求解． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，求解，的度数是解题的关键． 2．（2025·山西晋中·一模）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据与相切于点，可知，所以可得，根据三角形外角的性质可得：． 【详解】解：如图所示，连接， 与相切于点， ， 又， ， 又， ， ， ． 故选：C ． 3．（2025·山西长治一模）如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角定理，切线的定义，连接，得出，再根据切线的定义得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵切于点， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的直径，点C在上，点D是弧的中点，连接，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用圆周角定理成为解题的关键． 根据圆周角定理可得，再根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等可得，进而可得，易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选C． 5．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，延长，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角性质．根据三角形的外角性质求出，根据圆内接四边形的性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·山西·一模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，是的切线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质成为解题的关键． 由题意可得，根据等边对等角可得，再根据切线的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，对角线是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 故选C． 7．（2025·山西吕梁·一模）如图，是的切线，点在直径的延长线上，过点作的平行线，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，得到，则． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵过点作的平行线，交于点， ∴， 故选：A 8．（2025·山西晋中·一模）如图，已知中，为直径，P、D为上两点，过点P作的切线与的延长线交于点C，连接、．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，由圆的切线可知，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，切点为， ， ， ， ， ， 故选：B． 圆中的计算---求线段长题型02 9．（2025·山西朔州·模拟预测）一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的基本性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由圆周角定理得到，由圆的半径相等，设，由勾股定理求出，进而得到答案．熟练掌握圆周角定理、圆中求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， ， 设， 在中，，，，则由勾股定理可得， 解得，即， 直径为， 故选：B． 10．（2025·山西运城·一模）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 11．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作于点，由，分别与扇形相切于点，，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 12．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质等，由圆周角定理得，由切线的性质得，即得，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径，切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 圆中的计算---求弧长题型03 13．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 14．（2025·山西运城·一模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案. 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ，， ，， ， . ，， . 设，则， 在中，， ， . ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数. 15．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直径所对的角是直角得到，再由等腰三角形性质确定，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理求出所对的圆心角，最后由弧长公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 为半圆的直径， ， ， 是的角平分线，即， ， ， ， ， ，则， 的长为，则的长为， 故选：D． 【点睛】本题考查求弧长，涉及直径所对的角是直角、等腰三角形性质、圆周角与弧的关系、三角形内角和定理、弧长公式等知识，熟记圆周角定理及其推论、弧长公式等知识是解决问题的关键． 16．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，以点O为圆心，长为半径作弧交斜边于点D．若，，则图中的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，交斜边于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中的长为， 故答案为：． 圆中的计算---求阴影部分的面积题型04 17．（2025·山西朔州·一模）如图，为半圆的直径，弦为的中点，与交于点，过点作，垂足为，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，，可得，再证明，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：∵弦为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴图中阴影部分的面积； 故选：C 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，扇形面积的计算，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，证明是关键． 18．（2025·山西运城·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵在扇形中，，点为的三等分点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ． 故选A． 19．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，．由圆周角定理可得，根据点是的中点，可知，即可证为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等知识，正确连接辅助线是解题关键． 20．（2025·山西运城·一模）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米,米，则阴影部分的面积为（　　） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键． 21．（2025·山西临汾·一模）如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．设中点为点O，连接，先证得，再根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：设中点为点O，连接，    ∵是半圆的直径， ∴O是半圆的圆心，， ∵是等腰直角三角形， ∴D是中点． ∴， ∴， ， ， ∴阴影部分的面积， ， ， 故选：A． 22．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形判定及性质，扇形面积公式，圆面积公式等．根据题意作，由题意可得为等边三角形，继而求出面积，再求出扇形的面积，继而求出阴影部分面积等． 【详解】解：作， ， ∵矩形中，，，点E，F分别为，的中点， ∴， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为：， ∴扇形的面积：， ∵半圆面积为：， ∴下方两块阴影面积：， ∴总的阴影面积为：， 故选：D． 23．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积解答即可． 【详解】解：设的中点为Ｇ，连接， ∵正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴三个空白的面积分别为：，，， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：Ａ． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积，熟练掌握公式是解题的关键． 正多边形和圆的计算题型05 24．（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接，在上任意取一点Q，连接，，根据正六边形的性质求出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，然后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ，是解决问题的关键． 【详解】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 25．（2025·山西朔州·一模）如图，向正六边形外作正方形，连接，交于点，则线段与一定满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作交与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，作交与点M， ∵六边形是正六边形， 设正六边形的边长为a，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴B、H、D三点共线，， ∴ ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2025·山西太原·一模）如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，，先求得，利用等边对等角求得，利用切线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，正五边形的内切圆分别切，于点，．若为优弧上的一点，连接，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据正五边形的内角和可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据五边形的内角和可得的度数，最后根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的内切圆分别切，于点，， ∴，， ∴， ∴在五边形中，， 由圆周角定理得：， 故选：B． 28．（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，交于点，连接，，可得过圆心，，进一步求解，结合可得答案. 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵正八边形内接于， ∴过圆心，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键. 圆中的证明与计算---解答题题型06 29．（2025·山西·一模）如图，内接于，是的直径，是的平分线，交于点，过点作的切线交的延长线于点．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理．根据角平分线的定义求得，根据垂径定理的推论求得，再根据切线的性质求得，根据平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：．理由如下： 如图，连接． 平分， ， ， ， 与相切于点， ， ． 30．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 31．（2025·山西中考·模拟预测）如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，则可得，即可得证． （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． 在中， 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 32．（2025·山西长治·一模）如图，点A，B在上，且，直线与相切． (1)尺规作图：过点B作于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形．理由见解析 【分析】本题主要考查作垂线，菱形的判定，切线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键． （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧交于一点，过点B和这点作直线即可； （2）连接，分别证明和是等边三角形，可证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段为所求； （2）解：四边形为菱形． 理由：如图，连接． 直线与相切， ， ． ，垂足为D， ， ， ． ， ． ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， 四边形为菱形． 33．（2025·山西·模拟）如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明； （2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可． 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， ， ， ． 又， ， ，即． （2）解：连接， 方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB， ∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4, ∴， ∴AB=12， ∴的半径是6. 方法二： 为的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 的半径为6． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角函数的应用等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键． 1．（2025·山西晋城·一模）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．直角三角形的两个锐角互余 C．直径所对的圆周角是直角 D．的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是明确圆周角与弦，直径之间的关系． 根据三角尺的直角与圆中角的关系，结合圆的性质来判断． 【详解】如图： 三角尺的直角顶点在圆上，也就是（三角尺的直角），这个的角是圆周角， 因为是圆周角且为，它所对的弦是， 所以可以得出弦是圆的直径， 依据是的圆周角所对的弦是直径， 故选：D． 2．（2025·山西·一模）如图，已知是的直径，点C为圆上一点，连接，过点O作，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等边对等角，可得；根据直径所对的圆周角等于90度可得，进而可得；由平行线的性质得；由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而求出，再根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 3．（2025·山西临汾·一模）如图是某宣传版面的平面示意图，其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分，小强测得，，，则这块宣传版面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长的公式和等边三角形的性质，解决此题的关键是作出合适的辅助线，延长交于点O，得到弧所在圆的半径，根据弧长公式即可算出弧长； 【详解】解：延长交于点O， 由题可知，点O是圆弧所在圆的圆心， ∵， ∴， ∴是等边三角边， 又， ∴，， ∴， ∴圆弧的长度为：． ∴则这块宣传版面的周长为． 故选：C 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，则图中阴影的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键．过点作于点，根据矩形的性质可推出，得到，求出，推出是等边三角形，得到，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 在矩形中，，，， ， ， ， 由题意得：， 是等边三角形， ，， ， 故选：B． 5．（2025·山西晋中·一模）如图，菱形的边长为，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据菱形的性质易得到是等边三角形，利用等边三角形的性质求出，同理求出，进而得到的度数，用勾股定理求出，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可． 【详解】解：连接，，如下图 ∵四边形是菱形，边长为，， ，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴ ． 故选：D． 【点晴】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识点，作辅助线求出的度数， 的长度是解题的关键． 6．（2025·山西吕梁·一模）如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形和圆、含角的直角三角形的性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 设点为正十二边形的中心，点分别为正方形的边和的中点，连接，点为正十二边形的一个顶点，连接，作于点，则，设正方形的边长为，则，证明四边形是正方形，则，得到，，由正十二边形的面积得到，由即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，设点为正十二边形的中心，点分别为正方形的边和的中点，连接，点为正十二边形的一个顶点，连接，作于点，则， 设正方形的边长为，则， 由题意可得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴正十二边形的面积， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A 7．（2025·山西运城·一模）机械学家莱洛研究发明的“莱洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图)．已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为，则此“莱洛三角形”的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出等边三角形的边长为，过点作的垂线，求出的面积，再结合扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为， 所以， 过点作的垂线，垂足为， 由是等边三角形得， ， ，， 则， 所以， 又因为， 所以“莱洛三角形”的面积为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，解题关键是熟知扇形的面积公式及等边三角形的性质． 8．（2025·山西大同·一模）如图，为直径，点为上一点，连接，过点作交于点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，由为直径得，即得，进而由平行线的性质得，得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山西临汾·一模）如图，是的切线，A为切点， 的延长线交于点 B，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先连接，根据切线的性质可得到，再根据角度的加减算出，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得到的大小，再根据直角三角形中两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，外角的性质和直角三角形中两锐角互余，解决此题的关键是要正确的计算各个角度的大小． 10．（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 【答案】70 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，外角和定理等．根据题意连接，利用圆内接四边形对角互补，得，继而得，再利用圆周角定理得，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解 ： 连接， ， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 11．（2025·山西运城·一模）如图，正五边形内接于，过点A的切线与的延长线相交于点，则 ．    【答案】 【分析】连接，由切线性质得，由正多边形性质得，，，进一步得． 【详解】解：连接，如图 ∵与相切 ∴ 正五边形中， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：    【点睛】本题考查圆切线的性质，正多边形的性质，三角形外角定理，连接半径，运用切线性质是解题的关键． 12．（2025·山西长治·一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则 ． 【答案】4 【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可． 【详解】解：由题意知，，设的半径为，则， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积． 13．（2025·山西晋中·一模）如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，由折叠性质可知，根据正弦求出，通过三角形外角性质得出，最后由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 14．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 15．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由圆的切线的性质以及圆周角定理证明，再证明即可； （2）连接，可得，由勾股定理求得，则，可证明，那么，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下：如答图1，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如答图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$