专题14 几何探究综合题（4大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题13 几何探究综合题 题型概览 题型01 几何探究综合题---三角形 题型02 几何探究综合题---四边形 题型03 几何探究综合题---圆 题型04 几何探究综合题---相似三角形 几何探究综合题---三角形题型01 1．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题． 【问题初探】 （1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由； 【问题再探】 （2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        3．（2025·山西阳泉·一模）综合与探究 【问题情境】 在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点． 【特例分析】 （1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段． 4．（2025·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 5．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3） 如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 几何探究综合题---四边形题型02 6．（2025·山西运城·一模习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 7．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： (1)材料中的“依据”指的内容是______； (2)在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） (3)请将勤奋小组的过程补充完整； (4)已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 8．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 9．（2025·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： (1)“笃学”小组发现，请你证明这一结论； (2)如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 10．（2025·山西·模拟）有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是_____，位置关系是______； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立?并说明理由. （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗?有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 11．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M． 猜想证明： (1)如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (2)在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长． 12．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 几何探究综合题---圆题型03 13．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）阅读与思考 关于“对角互余四边形”的研究定义：如果一个四边形的一组对角互余；那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． 例题分析：如图1，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”． 小明的证明如下： 证明：连接， ， （依据一）． ， ， ， （依据二）， ， ， 四边形是“对角互余四边形”． (1)在小明的证明过程中，依据一为：__________________，依据二为：__________________； (2)如图2，在对角互余四边形中，，且，． ①______； ②若，求四边形的面积和周长． 15．（2025·山西晋中·一模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）      任务： (1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 16．（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 17．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 18．（2025·山西阳泉·模拟预测）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米=2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题． 实践名称 坐地日行几万里 实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米 方案设计 ①如图，为地球截面示意图，为地轴，为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即．点是北回归线（北纬）上一点，即； ②太阳光线可近似地看作平行线，即； ③分别为两点的地平面，即为的切线，切点分别是； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如； ⑤夏至日正午时，太阳光直射北回归线，即点，，三点共线，； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角 ······ ······ 任务： (1)求出点的纬度． (2)结合小聪的方案，计算漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留．参考数据：） 几何探究综合题---相似三角形题型04 19．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 20．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 21．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 2．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 3．（2025·山西运城·一模）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 4．（2025·山西·一模）阅读与思考：请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务．关于“双心四边形”的研究报告研究对象：双心四边形研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念一性质一判定”的路径展开研究．研究方法：观察一猜想一推理证明一应用拓展研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似的，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是___________；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角___________ 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下：如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为． 为说明，连接． 与分别相切于点， （依据：___________） ， ， ． ．．．．．． 任务： (1)材料中“”处空缺的内容依次为：___________；___________； (2)请将材料中关于对边性质的说理过程补充完整； (3)如图2，已知四边形是双心四边形，其中，直接写出其外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离． 5．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题背景： 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形中，，P是对角线上的一个动点（不与点重合），，连接，过点作的垂线交射线于点，交射线于点，连接． 探索发现： (1)如图1，当是对角线的中点时，此时线段的长为_____，的度数为_____． (2)如图2，当时，请你解答如下问题： ①求线段的长； ②判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，直接写出的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何探究综合题 题型概览 题型01 几何探究综合题---三角形 题型02 几何探究综合题---四边形 题型03 几何探究综合题---圆 题型04 几何探究综合题---相似三角形 几何探究综合题---三角形题型01 1．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们运用两个直角三角形构造图形，探究问题． 【问题初探】 （1）勤思小组的同学构造出的图形，如图1，其中与均为等腰直角三角形，，，，连接，．请判断与的数量和位置关系，并说明理由； 【问题再探】 （2）慎思小组的同学构造出的图形，如图2，其中与仍然为等腰直角三角形，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）笃思小组的同学构造出的图形，如图3，其中，，连接，，点A，D，E在一条直线上，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）垂直且相等，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）延长交于点，根据，得出，证明，即可证明，根据三角形内角和定理得出，证出，即可证明； （2）根据和均为等腰直角三角形，，即可得出，，，证出，即可得，在 中，勾股定理求出，得出，即可求出； （3）如图中，连接，根据，，得出，即可得，，证明，根据相似三角形的性质求出，根据共线，求出，即可得，即四点共圆，根据圆周角定理得出，勾股定理求出，根据直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：（1）， 证明：延长交于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）∵和均为等腰直角三角形，， ， ， ， ∴， ， ， ， 在 中，， ， ， ； （3）如图中，连接， ∵，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵共线， ， ， ， ， 四点共圆， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）【中考新考法】综合与探究 【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题． 【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究： ①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． ②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．        【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①；②17.6或1.6 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）①导角证明，则，设，而，则，解方程即可； ②可得，，则，设边上的高为，由面积法求得，当时，而菱形中，，故点共线，而，，则，即，由旋转得，，再分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形 由旋转的性质可知， ∴平行四边形为菱形； （2）①解：由题意得可得，， ∴， 设， ∵菱形， ∴ ∴在中，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设边上的高为 则， ∴， 当时，而菱形中，， ∴点共线， ∵，， ∴，即 由旋转得， 当点在右侧时，如图： ∴； 当点在左侧时，如图： ∴， 综上所述：当时，的长度为17.6或1.6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，难度较大，正确画出图形是解题的关键． 3．（2025·山西阳泉·一模）综合与探究 【问题情境】 在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点． 【特例分析】 （1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段． 【答案】（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3） 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得是等腰直角三角形，进而问题可求解； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后通过证明可进行求解； （3）过点A作，垂足为E，由题意易得，，则有，设，则有，然后通过证明，，根据相似三角形的性质可得，最后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，点与点A重合， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点A作，垂足为E，如图所示： 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2025·山西太原·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，见解析；（2）①，；②或 【分析】（1）根据旋转的性质，全等三角形的判定可证明，得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，并延长交于点，根据等边对等角可求出．证明得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； ②分点D在线段上和线段的延长线上讨论即可． 【详解】解：（1），． 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ． ， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． （2）解：①，． 理由：连接，并延长交于点 ， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ． ， ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ②存在； 当点D在线段上时， 由①知： ，， 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 由①知： ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 当点D在线段的延长线上时， 同理可证 ，， 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 同理可证 ，， ， ， ， 和重合， 故不存在，不符合题意，舍去； 综上，两点之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确画出图形，合理分类讨论是解题的关键． 5．（2025·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】（1）， （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，图形平移的性质等知识的综合，掌握图形变换的性质，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 几何探究综合题---四边形题型02 6．（2025·山西运城·一模习）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 7．（2025·山西朔州·一模）阅读与思考请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 数学兴趣课上老师提出这样一个问题：我们知道三角形三个内角的平分线交于一点，那么四边形四个内角的平分线能围成什么样的图形？同学们以小组为单位展开讨论． 善思小组经过交流后得出结论：若四边形三个内角的平分线交于一点，则第四个内角的平分线一定经过此点．善思小组给出了如下证明过程： 如图1，四边形中，，，的角平分线交于点O，过点O分别作于点E，于点F，于点G，于点H． 由角平分线的性质可知：，， ∴． ∴点O在的平分线上．（依据） 勤奋小组经过探究得出结论：四边形四个内角的平分线如果不交于一点，那么这四条角平分线围成一个对角互补的四边形．勤奋小组用下面过程说明． 如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， …… 任务： (1)材料中的“依据”指的内容是______； (2)在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是______；（写出一类即可） (3)请将勤奋小组的过程补充完整； (4)已知四边形是平行四边形，，，和的平分线相交于点P，请分别在图3和图4中用不同的方法作出四个内角平分线围成的四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 (2)菱形或正方形 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、作图—基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的判定定理即可得解； （2）根据角平分线的性质结合特殊四边形的性质即可得解； （3）由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，同理可得，计算即可得解； （4）以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求；以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意可得：材料中的“依据”指的内容是：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； （2）解：由题意可得：在我们学习的特殊平行四边形中，四个内角的平分线交于一点的是菱形或正方形； （3）解：如图2，四边形的四个内角的平分线分别交于点M，Q，P，N． ，别平分和， ， ∴， 同理可得：， ∴ ； （4）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于， 以点为圆心，线段为半径画弧交于，连接交于，交于，四边形即为所求， 由作图可得：，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，， ∴，， ∴平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求； 如图4，以点为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，以为圆心，线段为半径画弧交于，分别以、为圆心，于为半径画弧交于点，作射线，交于，交于，则四边形即为所求； ， 由作图可得：平分，平分， ∵和的平分线相交于点P， ∴四边形即为所求． 8．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据三角形中位线的性质以及平行四边形的判定即可得到答案； （2）先证明，，，得到，，有，，再证明，，从而知道，同理可证，，最后推出； （3）先证明，得到，由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和可知，，接着证明，然后在中利用勾股定理求得，求得答案． 【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20； 故答案为：20． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2025·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论，如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，过点O作的平行线，交于点E． 猜想证明： (1)“笃学”小组发现，请你证明这一结论； (2)如图2，“勤思”小组在图1中的菱形下方作菱形，其中，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)将图2中的菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），若，对角线，当，所在直线与所在直线互相垂直时，请直接写出点到的距离． 【答案】(1)见详解 (2)矩形，理由见详解 (3)或 【分析】（1）在菱形中，，由，得到，等量代换，则； （2）在菱形和菱形中，得到，，故可得四边形是平行四边形，再证明出，则四边形为矩形； （3）当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M，①点M在上时，连接，连接，交于点O，可知旋转后，得到旋转角，求出，在菱形中，继而判断出点落在上，显然，则在中由勾股定理得：，而，故，在中，；②点M在延长线上时，同上可得：，则，那么，仍然可得点落在延长线上，此时，在中，． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形，理由如下： 证明：在菱形和菱形中， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （3）解：，，菱形绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点分别为，，），当，所在直线与所在直线互相垂直时，垂足记为M， ①点M在上时，连接，连接，交于点O，如图3， ∵四边形，是菱形， ∴， 则旋转后， ∵， ∴， ∴旋转角， ∵， ∴ ∵四边形是菱形，， ∴， ∴点落在上， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； ②点M在延长线上时， 同上可得：， ∴， ∴， ∴点落在延长线上， 此时， ∴在中，， 综上所述：点M在延长线上时，当，所在直线与所在直线互相垂直时，点到的距离为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，对图形的旋转变化的画图能力要求比较高，难点在于最后一问容易漏解． 10．（2025·山西·模拟）有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是_____，位置关系是______； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立?并说明理由. （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗?有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）有最小值，最小值为 【分析】（1）先证明，得出，，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，根据再根据等腰三角形的性质可得，故，即可求出． （2）延长到点，使，连接，则，先证明，，类比（1）中所用的方法可证得结论． （3）延长到点，使，连接交于点，连接、，将转化为，可求出的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴.， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为，． （2）成立． 理由如下：如图，延长到点，使，连接，则， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系和位置关系仍然成立． （3）如图，延长到点，使，连接交于点，连接、， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵在线段上， ∴， 由翻折的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，，此时的值最小， ∴的值也最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形． 11．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M． 猜想证明： (1)如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (2)在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质得，再证明出四边形为矩形，继而证明出本题答案； （2）连接，证明，继而得到本题答案； （3）绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，从而构图成功，进一步由求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： 由旋转可得． ， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， 又 ， ， ∴四边形为矩形， 又∵O为的中点， ， ∴四边形为正方形； （2）解：，理由如下： 连接， ，， ， ， ∵四边形和四边形为全等的正方形， （3）解：绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置， ①当点A，D，F三点共线时，如下图： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形边长为4，中点为O，的中点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点A，D，F三点共线时，如下图： ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 综上所述：的长或． 【点睛】本题考查正方形判定及性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，旋转性质，相似三角形判定及性质等． 12．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 问题情境： 数学课上，老师提出以下问题：如图1，正方形的顶点F，G在正方形的边和上，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，猜想和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”将图1中的正方形绕点C逆时针旋转，使得点G落在正方形的内部，连接，过点A作的垂线交的延长线于点H，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由； （3）“勤学小组”将图2中的正方形继续绕点C逆时针旋转，使得B，G，F在同一直线上，其余条件不变，得到如图3所示的图形，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，正确做出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质得到，再利用角度转换得到，即可证明即可解答； （2）证明，可得，，再证明，即可证明，即可解答； （3）分类讨论，分当点在线段上，和当点在线段上，依次解答即可． 【详解】（1）解：四边形和四边形为正方形， ， ， ， 即， ， ， ， ，即， ； （2）解：仍旧成立，理由如下： ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ； （3）解：如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， , , , ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ； 如图，当点在线段上， 过点作的垂线段，交的延长线于点，连接， ， ， ， , , 为等腰直角三角形， 设，则， 根据勾股定理可得， 可得， 解得（负值舍去）， ， ， ， ，即， ， ， ，， 设， ，， ， ， 同（1）可得， ， ， ， ， 综上所述，或． 几何探究综合题---圆题型03 13．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 14．（2025·山西朔州·模拟预测）阅读与思考 关于“对角互余四边形”的研究定义：如果一个四边形的一组对角互余；那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． 例题分析：如图1，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”． 小明的证明如下： 证明：连接， ， （依据一）． ， ， ， （依据二）， ， ， 四边形是“对角互余四边形”． (1)在小明的证明过程中，依据一为：__________________，依据二为：__________________； (2)如图2，在对角互余四边形中，，且，． ①______； ②若，求四边形的面积和周长． 【答案】(1)等边对等角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 (2)①；②面积为，周长为 【分析】（1）根据证明过程，结合等腰三角形的性质，圆周角定理进行解答即可； （2）①根据对角互余的四边形定义求出，根据垂线定义得出，求出结果即可； ②根据含的直角三角形的性质求出，，，，然后根据三角形面积公式和周长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知：依据一是等边对等角；依据二是在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半； （2）解：①∵四边形是对角互余的四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，， ， 在对角互余四边形中，， ， 在中，，，， ，， 在中，，， ∴，， ， ， ， 四边形的周长 ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 15．（2025·山西晋中·一模）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）      任务： (1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________ 依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】(1)依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 (2)，，， (3)2 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到，再利用说明即可； （3）在中，先求出，利用角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【详解】（1）解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ， 是的直径， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ， ， ； （3）解：弦切角， 由（2）可知：， ， 为直径， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 16．（2025·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为，，，．连接，，． 与，分别相切于点， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： (1)填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； (2)请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； (3)如图2，，是的两条弦，，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)正方形；互补；圆的切线垂直于过切点的半径； (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题考查了正多边形与圆，双心四边形的定义，切线的性质，解直角三角形； （1）根据正方形的特点可得一定是双心四边形的是正方形，双心四边形的对角互补；根据题意可得的依据圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）根据定义画出四边形的外接圆与内切圆圆心，连接，作的角平分线交于点，以为直径作，过点作于点，以为半径作，则分别为四边形的外接圆与内切圆圆心，进而解直角三角形，即可求解； （3）利用利用等弧对等弦的性质和双心四边形两组对边之和相等的性质解答即可；连接，利用圆周角定理得到为的直径，利用全等三角形的判定与性质得到四边形的内切圆的圆心P在上，设与切于点M，与切于点N，连接，，利用圆的切线的性质定理，正方形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，则． 【详解】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形； 对角：双心四边形的对角互补； 的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径； 的依据：； 故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径；； （2）证明：连接． 与分别相切于点， ， ， ， ． ， 同理，． ， 即； ∴双心四边形两组对边之和相等； （3）解：以点C为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则四边形为所画的双心四边形，如图， 其外接圆与内切圆圆心之间的距离为，理由： 连接，如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的内切圆的圆心P在上， 设与切于点M，与切于点N，连接， 则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练运用是解题的关键． 17．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 18．（2025·山西阳泉·模拟预测）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为40076千米（1千米=2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问题． 实践名称 坐地日行几万里 实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米 方案设计 ①如图，为地球截面示意图，为地轴，为赤道所在平面，地球的平均半径约为6371千米，即．点是北回归线（北纬）上一点，即； ②太阳光线可近似地看作平行线，即； ③分别为两点的地平面，即为的切线，切点分别是； ④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如； ⑤夏至日正午时，太阳光直射北回归线，即点，，三点共线，； ⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点），他利用阳光下的影长测量出当时的太阳高度角 ······ ······ 任务： (1)求出点的纬度． (2)结合小聪的方案，计算漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留．参考数据：） 【答案】(1)北纬 (2)大约千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、切线的性质、平行线的性质，理解题意是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得出，再利用平行线的性质得出，进而得出的度数，即可得出答案； （2）过点作于点，在中利用正弦的定义求出的长，再利用圆的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：为的切线， ，即与的夹角为， ， ， ， ， ， 点的纬度为北纬． （2）解：如图，过点作于点，则， 由（1）得，， ， 在中，， ， 点每日绕地轴旋转大约千米， 答：漠河某地（点）每日绕地轴旋转大约千米． 几何探究综合题---相似三角形题型04 19．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： (1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)补全证明见解析 (3) 【分析】（1）由阅读材料中的三角形内角平分线性质定理得到，结合勾股定理求出，设，，由列方程求解即可得到答案； （2）类比三角形内角平分线性质定理的证明，采用“面积法”即可得到答案； （3）由三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理及已知线段长得到，进而求出、，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形内角平分线性质定理可得，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 设，， 则，解得， ， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，垂足分别为，如图4， 平分， ， ． ， ； （3）解：如图所示： 在中，由三角形内角平分线性质定理可得，； 在中，由三角形外角平分线性质定理可得，； ， ， ， ， 设， 则由可得，， 解得， ， ， 若是的平分线，是的外角的平分线， ， 是线段的中点， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理、三角形面积公式、一元一次方程、勾股定理、角平分线性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，读懂题意，理解三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理是解决问题的关键． 20．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21．（2025·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形．理由见解析； ，理由见解析； 或． 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 1．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与探究 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 解析：如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ， ． 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ， 综上：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． 2．（2025·山西·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： (1)直接写出材料中的依据为：_________； (2)写出求解长的解题过程； (3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2) (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短； （2）解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 3．（2025·山西运城·一模）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 4．（2025·山西·一模）阅读与思考：请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务．关于“双心四边形”的研究报告研究对象：双心四边形研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念一性质一判定”的路径展开研究．研究方法：观察一猜想一推理证明一应用拓展研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似的，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是___________；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角___________ 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下：如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为． 为说明，连接． 与分别相切于点， （依据：___________） ， ， ． ．．．．．． 任务： (1)材料中“”处空缺的内容依次为：___________；___________； (2)请将材料中关于对边性质的说理过程补充完整； (3)如图2，已知四边形是双心四边形，其中，直接写出其外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离． 【答案】(1)正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，双心四边形的定义，切线的性质，解直角三角形； （1）根据正方形的特点可得一定是双心四边形的是正方形，双心四边形的对角互补；根据题意可得的依据圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）根据定义画出四边形的外接圆与内切圆圆心，连接，作的角平分线交于点，以为直径作，过点作于点，以为半径作，则分别为四边形的外接圆与内切圆圆心，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形； 对角：双心四边形的对角互补； 的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径 故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径． （2）证明：连接． 与分别相切于点， ， ， ． 同理，． ， 即． （3）解：如图所示，连接，作的角平分线交于点，以为直径作，过点作于点，以为半径作，则分别为四边形的外接圆圆心与内切圆圆心， ∵， ∴ ∴，则， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 又∵是的角平分线， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ ∴ 即其外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为． 5．（2025·山西吕梁·一模）综合与探究 问题背景： 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形中，，P是对角线上的一个动点（不与点重合），，连接，过点作的垂线交射线于点，交射线于点，连接． 探索发现： (1)如图1，当是对角线的中点时，此时线段的长为_____，的度数为_____． (2)如图2，当时，请你解答如下问题： ①求线段的长； ②判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由直角三角形的性质可得，推出，由三角形内角和定理求出，求出，进而得到，推出，证明，推出，结合，利用三角形内角和定理即可求解； （2）①过点P作于点G，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质得到，求出，利用（1）中，由勾股定理求出，设，利用，列出方程求解即可；②取中点，连接，利用直角三角形的性质得到，推出四点共圆，由圆周角定理得到，利用正切的定义即可得到线段与的数量关系； （3）同理（2）②得四点共圆，在上取点，使得，求出，得到，设，则，求出，利用余弦的定义求出，由勾股定理求出，再根据，得到计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是对角线的中点， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点P作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； ②取中点，连接， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴，即； （3）解：如图，同理（2）②得四点共圆，在上取点，使得， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，四点共圆的性质，综合应用以上知识点是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$