精品解析：2025年云南省保山市腾冲市腾冲市上营中学三模数学试题

腾冲市上营中学2025届中考第三次模拟测试数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 如果向右走5步计为+5，那么向左走8步记为（ ） A. +8 B. C. D. 2. 北京市公安交通管理局网站数据显示，北京市机动车保有量比十年前增加了3439000辆，将3439000用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 4. 如果反比例函数的图象经过点，那么k的为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 7. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 按照一定规律排列的式子：，，，，……，第7个式子是（ ） A. B. C. D. 9. 谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图，根据图中给出的信息，这次考试成绩达到A等级的人数占总人数的 （ ） A 6％ B. 10％ C. 20％ D. 25％ 10. 若式子有意义，则x的取值范围为（ ） A. x≥2 B. x≠3 C. x≤2或x≠3 D. x≥2且x≠3 11. 如图，点、、均在上，若，则的度数是（ ） A. 42° B. 24° C. 52° D. 48° 12. 某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ 　） A. B. C. D. 13. 如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为，为（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A. ()m B. ()m C. m D. 4m 14. 若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（ ） A. 中心角是 B. 半径为 C. 边心距为 D. 面积为 15. 某淋浴间隔断门的规格为（单位：m），下列规格的浴室吊顶扣板（单位：m）不能通过隔断门的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：3a3b-12ab3= ______. 17. 如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________ 18. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______. 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 19. 小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算或解方程组 （1） （2） 21. 如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：∠A＝∠E． 22. 为了节能减排，改善空气质量，减轻主城区重污染，2023年11月起，泸州启动主城区重污染天气高发时段燃油车临时交通管理措施．为了不影响出行，刘某决定换购一辆电动汽车，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 23. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从中任取一个球，球上的汉字是“西”的概率为______． （2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的概率． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点EBC延长线上一点，且CE＝3，连结DE． （1）求证：四边形ACED为矩形． （2）连结OE，求OE的长． 25. 阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， （1）已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程所有非负整数解． （2）盒子里有若干个大小相同白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 26. 抛物线的顶点为，与y轴的交点为． （1）抛物线的对称轴是___________；顶点的坐标是___________；交点的坐标是___________． （2）列表、描点画这条抛物线． 27. 已知线段长为8，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到扇形和扇形．如图（1）所示固定扇形不动，将扇形绕点逆时针旋转，如图（2），连接，，设旋转角． （1）求证：； （2）当点落在边上时，与扇形所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由； （3）当，，三点共线时，线段的长是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 腾冲市上营中学2025届中考第三次模拟测试数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己收好，以便讲评． 一 、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确的选项，每小题2分，共30分． 1. 如果向右走5步计为+5，那么向左走8步记为（ ） A. +8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正负数来表示具有意义相反的两种量：向右记为正，则向左就记为负. 【详解】如果向右走5步记为+5，那么向左走8步记为-8； 故选B． 2. 北京市公安交通管理局网站数据显示，北京市机动车保有量比十年前增加了3439000辆，将3439000用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：3 439 000=3.439×106， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定，逐一判断即可． 【详解】解：A：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，选项为假命题； B：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项为假命题； C：同旁内角互补，两直线平行，选项为假命题； D：平行于同一条直线的两条直线互相平行，选项为真命题； 故选：D 【点睛】本题考查了命题的真假判断，相关知识点有：平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题关键． 4. 如果反比例函数的图象经过点，那么k的为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算的法则是解答本题的关键． 根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除的运算法则，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项正确，符合题意， 故选：． 6. 用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，进而解答即可． 【详解】解：由三视图可得：这个立体图形可能是， 故选：A． 7. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、B、C既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 8. 按照一定规律排列的式子：，，，，……，第7个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的特点，用代数式表示出第n个数．根据所给代数式发现规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴第个式子是， ∴第7个式子是． 故选：B． 9. 谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图，根据图中给出的信息，这次考试成绩达到A等级的人数占总人数的 （ ） A. 6％ B. 10％ C. 20％ D. 25％ 【答案】C 【解析】 【详解】根据图中所给的信息，用A等级的人数除以总人数的即可解答． 解：10÷（10+15+12+10+3）=20%． 故选C． 10. 若式子有意义，则x的取值范围为（ ） A. x≥2 B. x≠3 C. x≤2或x≠3 D. x≥2且x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0， 解得：x≥2，且x≠3， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，点、、均在上，若，则的度数是（ ） A. 42° B. 24° C. 52° D. 48° 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵CO=BO， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12. 某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求得五、六月借出的图书本书，再列一元二次方程方程即可． 【详解】解：设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x， 则五月份借出图书本，六月份借出图书本， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解答的关键． 13. 如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为，为（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A. ()m B. ()m C. m D. 4m 【答案】A 【解析】 【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×=，由CE=CD+DE=+1.5（m）． 故选A. 点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 14. 若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（ ） A. 中心角是 B. 半径为 C. 边心距为 D. 面积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系分别计算出，，以及正六边形的面积即可． 【详解】解：连接、，过点作，垂足为， 中心角，因此选项A不符合题意； ，， 是正三角形， ，， 因此半径，选项B符合题意； 在中，，， ，即边心距为，因此选项C不符合题意； ， 因此选项D不符合题意； 故选：B． 15. 某淋浴间隔断门的规格为（单位：m），下列规格的浴室吊顶扣板（单位：m）不能通过隔断门的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理计算出隔断门对角线长，再与扣板的宽比较即可． 【详解】解：隔断门的对角线长为， ∵， ∴只有B选项的扣板的宽大于，即只有B选项的扣板不可以通过． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：3a3b-12ab3= ______. 【答案】3ab(a+2b)(a-2b) 【解析】 【分析】首先提取公因式3ab，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】原式=3ab（a2﹣4b2）=3ab（a+2b）（a-2b）． 故答案为：3ab（a+2b）（a-2b）． 【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键． 17. 如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为 _____________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】设BP=x，则CP=BC－BP=3－x，易证∠B=∠C=90°，根据相似三角形的对应顶点分类讨论：①若△PAB∽△PDC时，列出比例式即可求出BP；②若△PAB∽△DPC时，原理同上. 【详解】解：设BP=x，则CP=BC－BP=3－x ∵AB∥CD,∠B=90°, ∴∠C=180°－∠B=90° ①若△PAB∽△PDC时 ∴ 即 解得：x=1 即此时BP=1； ②若△PAB∽△DPC时 ∴ 即 解得： 即此时BP=1或2； 综上所述：BP=1或2. 故答案为：1或2. 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解决此题的关键. 18. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______. 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数（秒） 51 50 51 50 方差（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 【答案】队员 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数和方差的意义求解可得． 【详解】解：在4名队员中，队员2和队员4的平均成绩少， ∴队员2和队员4的平均成绩好， 又队员2成绩的方差小于队员4成绩的方差， ∴队员2的成绩好，发挥稳定， 故答案为：队员2． 19. 小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的相关计算，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，等于侧面展开后的扇形弧长，圆锥的母线为，等于侧面展开后的扇形的半径长度，设展开后的扇形圆心角为，则根据弧长公式得，即可求解． 【详解】解：∵依题意，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，圆锥的母线为， 设展开后的扇形圆心角为， ∴， 解得： 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算或解方程组 （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及解二元一次方程组． （1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，最后再算加减法． （2）利用消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为：． 21. 如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：∠A＝∠E． 【答案】见解析 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的判定及性质证明即可． 【详解】证明：在△ABC和△EBC 中 ∠A＝∠E． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 22. 为了节能减排，改善空气质量，减轻主城区重污染，2023年11月起，泸州启动主城区重污染天气高发时段燃油车临时交通管理措施．为了不影响出行，刘某决定换购一辆电动汽车，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为元，根据充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的5倍，列分式方程求解即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为元，由题意得： 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元． 23. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“西”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）从中任取一个球，球上的汉字是“西”的概率为______． （2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率相关知识，涉及概率公式和树状图或列表法， （1）根据题意可知，从中取出一个球，共有4种不同取法，每一种取法的可能性大小相同，而摸出球上的汉字刚好是“西”的占其中的一种，利用概率公式即可求得答案； （2）画出树状图，即可知总的结果，再求得两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的数量，结合概率公式即可求得． 小问1详解】 解：根据题意可知，从中取出一个球，共有4种不同取法，每一种取法的可能性大小相同，而摸出球上的汉字刚好是“西”的占其中的一种， 则取到球上的汉字是“西”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下， 由树状图可知，一共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相同，而取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“西平”的结果有4种， 则． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE． （1）求证：四边形ACED为矩形． （2）连结OE，求OE的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论； （2）根据三角形的中位线定理得到OC＝DE＝AC＝1，由勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC， ∵CE＝3， ∴AD＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED为矩形； （2）解：连接OE，如图， ∵BO＝DO，BC＝CE， ∴OC＝DE＝AC＝1， ∵∠ACE＝90°， ∴OE＝． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解． 25. 阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， （1）已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． （2）盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 【答案】（1）①；② ， （2）摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）①根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；②先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为非负整数，即可求解； （3）设摸到x个红球，y个白球，根据，求出x，y的非负整数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①根据题意得：， ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ， ②由①得方程为， ∴， 解得：， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，； 【小问2详解】 解：设摸到x个红球，y个白球， 根据题意得：， ， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，， 摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球． 26. 抛物线的顶点为，与y轴的交点为． （1）抛物线的对称轴是___________；顶点的坐标是___________；交点的坐标是___________． （2）列表、描点画这条抛物线． 【答案】（1）直线；； （2）见详解 【解析】 【分析】（1）将抛物线变化成顶点式即可得到对称轴和顶点的坐标，由于点在轴上，令，即可得到点的坐标； （2）根据抛物线的表达式列表、描点，即可得到抛物线的图象． 【小问1详解】 解：由题可得： ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标， 令，则， ∴抛物线与轴的交点的坐标为， 故答案为：直线；；． 【小问2详解】 解：由，列表： 描点，画出抛物线的图象如下图： 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数对称轴、顶点以及如何画抛物线的图象是解题的关键． 27. 已知线段长为8，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转60°，得到扇形和扇形．如图（1）所示固定扇形不动，将扇形绕点逆时针旋转，如图（2），连接，，设旋转角． （1）求证：； （2）当点落在边上时，与扇形所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由； （3）当，，三点共线时，线段的长是___________． 【答案】（1）见解析 （2）相切，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明，可得； （2）连接，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据D为BO中点，，故，，即，即可证明； （3）分两种情况讨论： 当点D在线段上时，过点O作于E，根据旋转性质，等边三角形的判定和性质可得，为等边三角形，故为的角平分线，根据30度角作对的边是斜边的一半，求得，根据勾股定理求得，，根据全等三角形的判定和性质，可得，即可求得； 当点C在线段上时，过点O作于F，同理求得，，，即可求得． 【小问1详解】 证明： 由题意得 ∴，即 在和中 ∴ ∴ 【小问2详解】 相切．理由如下： 如图，连接 ∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵为中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵为扇形所在圆的半径 ∴与扇形所圆相切． 【小问3详解】 当点D在线段上时，过点O作于E ∵点为线段的中点， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转60°，得到扇形 ∴， ∴为等边三角形 同理为等边三角形 则为的角平分线， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 如图，当点C在线段上时，过点O作于F 同理 即 故答案为：或 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，是几何变换综合题，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$