专题02 平行线的有关证明（考点清单，6考点14题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题02 平行线的有关证明 （6个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 清单02 公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【温馨提示】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 清单03 相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 三角形的内角和与外角和 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考点题型一】命题（） 1．（21-22七年级下·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（    ） A．一起向未来 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．垃圾分类是一种生活时尚． 【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、一起向未来，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； B、今天，你微笑了吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； C、多彩的青春，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意； D、垃圾分类是一种生活时尚，是命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，命题都是由题设和结论两部分组成． 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）将命题“相等的角是直角”改写成“如果……那么……”的形式 ． 【答案】“如果两个角相等，那么这两个角是直角” 【分析】“相等的角是直角”的条件是两个角相等，结论是两是直角，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式． 【详解】解：将命题“相等的角是直角”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角相等，那么这两个角是直角”， 故答案为：“如果两个角相等，那么这两个角是直角” 【点睛】本题考查了确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式，正确理解题意是解题的关键． 3．（21-22七年级下·山东临沂·期末）命题“钝角的补角是锐角”的题设为 ，结论为 ． 【答案】 如果一个角是钝角的补角， 那么这个角是锐角． 【分析】命题中的条件是一个角是钝角的补角，放在“如果”的后面，结论是这个角是锐角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：一个角是钝角的补角，结论为：这个角是锐角，故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角， 故答案为：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论． 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．点到x轴的距离是2 B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行 D．在数中，有理数有4个 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离判断即可． 本题考查了命题与定理，掌握两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：、点到轴的距离是2，是真命题，不符合题意； 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是真命题，不符合题意； 、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意； 、在数中，有理数有4个，是真命题，不符合题意； 故选：C． 5．（22-23七年级下·山东济宁·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【考点题型二】逆命题（） 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列四个命题：①两直线平行，同旁内角互补；②对顶角相等；③五边形是多边形；④如果，那么，．其中逆命题是真命题的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题的概念以及判断真假命题的能力，关键要知道逆命题是把原命题的假设和结论互换．分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、对顶角的概念、多边形的概念判断，即可解题． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补；逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题； ②对顶角相等；逆命题为若两个角相等，则这两个角为对顶角，是假命题； ③五边形是多边形；逆命题为多边形是五边形，是假命题； ④如果，那么，；逆命题为若，，则，是真命题； 综上所述，逆命题是真命题的是①④； 故选：C． 7．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题的逆命题错误的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是错误的； B、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是正确的； C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是正确的； D、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是正确的； 故选：A． 8．（23-24七年级下·山东泰安·期末）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假和逆命题，熟练掌握等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、全等三角形的性质是解题的关键． 根据不等式的性质、有理数的加法、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，为假命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ②若，则，为真命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ③三个内角相等的三角形是等边三角形，为真命题 逆命题为：等边三角形的三个内角相等，为真命题 故符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形全等，为假命题 逆命题为：如果两个等腰三角形全等，那么他们的底角相等，为真命题 故不符合题意； 故选D． 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列命题中，其逆命题是真命题的个数是（    ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是对顶角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可． 【详解】解：①逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②逆命题为：如果一个三边长a，b，c（c为最长边）的三角形是直角三角形，那么，是真命题； ③逆命题为：如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题； ④逆命题为：如果两个实数平方相等，那么它们相等，是假命题； 故选：B 【考点题型三】举反例（） 10．（22-23七年级下·山东烟台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反例的定义，举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例即可求解． 【详解】解：、当时，，则，与原命题不符，故错误，不符合题意； 、当时，，则，与原命题不符，故错误，不符合题意； 、当时，，则，不是反例，故错误，不符合题意； 、当时，，则，故选项是反例，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判定，掌握反例的定义是解题的关键． 11．（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】解：A选项，，则，满足“若，则”，不是反例； B选项，，且，满足“若，则”，不是反例； C选项，，且，不满足“若，则”，是反例； D选项，，且，满足不满足“”，不是反例； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大． 12．（22-23七年级下·山东滨州·期末）要判定命题“如果，那么”是假命题，请你举出一个反例： ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据平方的意义举出反例即可． 【详解】解：当，时，，此时， 可以说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求是举出满足题设，但是不满足结论的例子是解题的关键． 【考点题型四】三线八角的识别（） 13．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查的是同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A． 与是同位角，选项正确，不符合题意；     B． 与是内错角，选项正确，不符合题意；     C． 与是同旁内角，选项正确，不符合题意；         D． ，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．     故选：D． 14．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可． 【详解】解：根据同位角的定义可知，图①，图②，图④中的与是同位角，图③中的与不是同位角， 故选：A． 15．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点题型五】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 16．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的定义，对顶角的定义及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，先由邻补角的定义得出，再根据角平分线的定义得出，最后对顶角的定义得到，由计算即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 17．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直线交于点，，垂足为点，平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，邻补角的性质，由垂线的定义可得，即得，进而由角平分线的定义得，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（20-21七年级上·山东青岛·期末）如图，∠AOC=100°，∠BOE=80°，D，O，E三点在同一条直线上，∠AOD=37°， （1）求∠COE的度数； （2）请写出一组相等的角，并说明理由．（平角相等除外） （3）若OM平分∠BOE，求∠COM的度数． 【答案】（1）117°；（2）∠DOB＝∠AOC，理由见解析；（3）77° 【分析】（1）根据∠AOC＝100°，∠AOD＝37°先求出∠DOC＝63°，再根据邻补角的定义即可求得答案； （2）根据∠BOE＝80°结合邻补角的定义可求得∠DOB＝100°，进而可证得∠DOB＝∠AOC； （3）根据OM平分∠BOE，∠BOE＝80°可得∠BOM＝40°，再根据∠DOB＝∠AOC可证得∠AOD＝∠BOC＝37°，最后根据∠COM＝∠BOC＋∠BOM即可求得答案． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝100°，∠AOD＝37°， ∴∠DOC＝∠AOC－∠AOD＝63°， ∴∠COE＝180°－63°＝117°； （2）∠DOB＝∠AOC，理由如下： ∵∠BOE＝80°， ∴∠DOB＝180°－80°＝100°， ∴∠DOB＝∠AOC； （3）∵OM平分∠BOE，∠BOE＝80°， ∴∠BOM＝40°， ∵∠DOB＝∠AOC， ∴∠DOB－∠DOC ＝∠AOC－∠DOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝37°， ∴∠COM＝∠BOC＋∠BOM＝77° 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能够熟练运用邻补角的定义是解此题的关键． 【考点题型六】根据已知条件判定两直线平行（） 19．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，若要使，则可以添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：．，由内错角相等，两直线平行，可得，该选项不合题意； ．，由同旁内角互补，两直线平行，可得，该选项不合题意； ．由推导不出两直线平行，该选项不合题意； ．，由内错角相等，两直线平行，可得，该选项符合题意； 故选：． 20．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，点在的延长线，下列条件不能判定的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，根据平行线的性质逐项判定符合题意的选项即可． 【详解】解：．∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； ．∵， ∴，该选项正确，不符合题意； ．∵，， ∴，无法判断，该选项错误，符合题意； ．∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 21．（20-21七年级下·北京·期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 ．（填上所有符合条件的序号） 【答案】②④/④② 【分析】利用平行线的判定定理依次判断． 【详解】①，； ②，； ③，； ④，． 故答案为：②④． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键． 【考点题型七】证明两直线平行（） 22．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， ． （对顶角相等）． 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 23．（22-23七年级上·山东日照·期末）填空或填理由，完成下面的证明． 已知：如图，分别交、、于点D、F、C，连接、，，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（ ） ∵（已知） ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴（等式的基本性质） 即 ∴ （等量代换） ∴． 【答案】两直线平行内错角相等，，， 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，由两直线平行内错角相等得，即可得，结合题意得，进一步得到，利用同位角相等两直线平行即可判定结论成立． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等式的基本性质）， 即， ∴（等量代换）， ∴． 故答案为：两直线平行内错角相等，，，． 24．（22-23七年级下·山东济南·期末）已知：如图所示，中，，为的角平分线，求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【分析】等边对等角，得到，外角的性质和角平分线的定义，得到，即可得证． 【详解】证明：（已知）， （等边对等角）， 是的外角，（外角的定义） （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） （角平分线定义）， （等量代换）， ．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 25．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可证明； （2）由得到，则，即可证明； （3）由可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 【考点题型八】利用平行线的性质求解（） 26．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的计算以及四边形内角和等知识点． 过点作，根据平行线的性质可得，，根据角的计算以及角平分线的定义可得，再依据四边形内角和为结合角的计算即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， 和的平分线相交于， ， 四边形的内角和为， ， 故选：B． 27．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等的知识是解题关键． 由两直线平行，内错角相等可得，然后用的度数减去的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 28．（23-24七年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图摆放，若，，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，三角板中角度的计算，一元一次方程的应用， 如图所示，设，则，表示出，然后利用平角的概念列方程求解即可． 【详解】如图所示， ∵将一副三角板如图摆放， ∴，， 设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 29．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、余角和补角，根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵，与互补， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， 即的度数为， 故答案为：． 30．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，则的和是多少度？并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质．先过点B作，由直线，可得，由两直线平行，内错角相等，可得出，故，由此即可得出结论． 【详解】解：的和是． 如图，过点B作， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 32．（23-24七年级下·山东济宁·期末）【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 【答案】（1）见详解，（2），（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质， 过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得和，利用等量代换即可得到； 由（1）知，，，结合角平分线的性质得，根据平角定义可得，即可求得； 由（1）知，，，角平分的性质得，，进一步求得，，即可求得三者之间关系． 【详解】证明：（1）如图2，过点P作， ， ． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ， （等量代换）； （2）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3）由（1）知，，， ∵和的角平分线交于点M， ∴， ∵和的角平分线交于点N ∴， ∵， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， 即， 则． 33．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义， （1）过点作，则，进一步得，则有，即可证； （2）过点作交的延长线于点，则，利用平行线的性质得，可得，即可证得； （3）由（1）知，，结合角平分的定义得和，再得到，即可证明． 【详解】（1）解：过点作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 【考点题型十】平行线性质在实际生活中的应用（） 34．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值或或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 35．（21-22七年级下·山东日照·期末）【学科融合】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫入射角，反射光线与法线的夹角叫反射角（如图），可得规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． (1)【问题解决】如图1，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角________； (2)如图2，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由； (3)【尝试探究】两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)80 (2)∠MON=90° ，理由见解析 (3)∠BEC= 180°-2 【分析】（1）根据光的反射规律求解即可； （2）根据平行线的性质及光的反射规律求解即可； （3）根据光的反射规律及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：由入射角i=反射角r可得 ∠CBN=∠1， ∵MN∥PC， ∴∠PCB=∠CBN=∠1=50°， ∴∠2=180°-2∠PCB=80°， 故答案为：80． （2）∠MON=90° 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠DCB+∠ABC=180°， 由入射角i=反射角r可得， ∠3=∠4，∠1=∠2， 又∠3+∠4+∠DCB+∠1+∠2+∠ABC=360°， ∴2∠3+2∠2=180°， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠MON=90°． （3）由入射角i=反射角r可得 ∠3=∠4，∠1=∠2， ∵∠MON=， ∴∠3+∠2=180°-， ∴∠ECB+∠EBC=360°-2(∠3+∠2)=2， ∴∠BEC=180°-(∠ECB+∠EBC)= 180°-2． 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角及平行线的性质是解题的关键． 36．（24-25九年级上·四川泸州·期末）小明周末与父母一起到泸州忠山公园进行数学实践活动，在处看到，处各有一棵被湖水隔开的银杏树．他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向．他从处走了米到达处，又在处测得在北偏东方向． (1)求，的度数； (2)求两棵银杏树，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)， (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键． （1）根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果，进而根据平行线的性质求得，即可求解． （2）过点作于，则有，可得，，再根据可得结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ∵且 ∴ ∵且 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ （2）过点作于．则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米 【考点题型十一】利用平行线间的距离解决问题（） 37．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ． 【答案】4 【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可． 【详解】当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值， 且a、b之间的距离为4cm， 的最小值是4cm， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键． 38．（21-22七年级下·山东潍坊·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ） A．点P到直线n的距离 B．的周长 C．的面积 D．的大小 【答案】AC 【分析】根据平行线间的距离、三角形的周长、面积以及角的定义逐项排查即可． 【详解】解：A．∵直线mn，∴点P到直线n的距离不变,，即A符合题意； B．∵PA、PB的长度随点P的移动而变化,∴△PAB的周长会随点P的移动而变化,即B不符合题意； C．∵点P到直线n的距离不变, AB的大小,∴△PAB的面积不变,即C符合题意； D．∵直线m、n之间的距离不随点P的移动而变化，∴∠APB的大小随点P的移动而变化，即D不符合题意． 故选：AC． 【点睛】本题考查了点到直线的距离、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离的定义等知识点,熟记相关定义和性质是解答本题的关键． 39．（21-22七年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，可得出．根据，即可知与的高相等，从而可得出，即可求出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴与的高相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积，解题时注意：等高的两个三角形的面积比等于它们的底边长的比． 【考点题型十二】与平行线有关的三角形内角和问题（） 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 41．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 42．（21-22八年级上·山东潍坊·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【考点题型十三】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 43．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故选C． 44．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点F，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：D 45．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 46．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点， ∴， ∵， ∴ 又∵， ． ∵， ，， ∴． 故答案为：． 47．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意求出，再由角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）由三角形的外角性质得，，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， 平分， ， 由三角形的外角性质得，， ． 【考点题型十四】利用三角形外角的性质求解（） 48．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据平行线性质可得，进而根据三角形外角性质得出，再由即可证明． 【详解】解：如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：D． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和以及等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 由线段的垂直平分线交于D，可得，继而得，再由三角形的外角性质和三角形的内角和即可求得答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵ ∵, ∴． 故选：C． 50．（23-24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，利用补角的定义及三角形的内角和定理即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，补角的定义，三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一个外角为， 当这个外角与等腰三角形的顶角是邻补角时， ∴等腰三角形的顶角：； 当这个外角与等腰三角形的底角是邻补角时， ∴等腰三角形的一个底角：， ∴等腰三角形的顶角：； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的有关证明 （6个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 清单02 公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【温馨提示】 1）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 2）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 清单03 相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 清单04 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 清单05 平行线的性质 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 清单06 三角形的内角和与外角和 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 【考点题型一】命题（） 1．（21-22七年级下·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（    ） A．一起向未来 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．垃圾分类是一种生活时尚． 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）将命题“相等的角是直角”改写成“如果……那么……”的形式 ． 3．（21-22七年级下·山东临沂·期末）命题“钝角的补角是锐角”的题设为 ，结论为 ． 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．点到x轴的距离是2 B．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行 D．在数中，有理数有4个 5．（22-23七年级下·山东济宁·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点题型二】逆命题（） 6．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列四个命题：①两直线平行，同旁内角互补；②对顶角相等；③五边形是多边形；④如果，那么，．其中逆命题是真命题的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③④ 7．（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题的逆命题错误的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形的两锐角互余 8．（23-24七年级下·山东泰安·期末）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列命题中，其逆命题是真命题的个数是（    ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是对顶角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型三】举反例（） 10．（22-23七年级下·山东烟台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（   ） A． B． C． D． 11．（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 12．（22-23七年级下·山东滨州·期末）要判定命题“如果，那么”是假命题，请你举出一个反例： ． 【考点题型四】三线八角的识别（） 13．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 14．（23-24七年级下·山东临沂·期末）下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 15．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【考点题型五】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 16．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直线交于点，，垂足为点，平分，若，则的度数是 ． 18．（20-21七年级上·山东青岛·期末）如图，∠AOC=100°，∠BOE=80°，D，O，E三点在同一条直线上，∠AOD=37°， （1）求∠COE的度数； （2）请写出一组相等的角，并说明理由．（平角相等除外） （3）若OM平分∠BOE，求∠COM的度数． 【考点题型六】根据已知条件判定两直线平行（） 19．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，若要使，则可以添加条件（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，点在的延长线，下列条件不能判定的是（    ） A．， B． C．， D．， 21．（20-21七年级下·北京·期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 ．（填上所有符合条件的序号） 【考点题型七】证明两直线平行（） 22．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 又（已知）， ， （______）． 23．（22-23七年级上·山东日照·期末）填空或填理由，完成下面的证明． 已知：如图，分别交、、于点D、F、C，连接、，，，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴（ ） ∵（已知） ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴（等式的基本性质） 即 ∴ （等量代换） ∴． 24．（22-23七年级下·山东济南·期末）已知：如图所示，中，，为的角平分线，求证：．（推理过程请注明理由） 25．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果，求的度数． 【考点题型八】利用平行线的性质求解（） 26．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 27．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 28．（23-24七年级下·山东威海·期末）将一副三角板如图摆放，若，，则的度数为 ． 29．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 30．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点C放在直线上，则的和是多少度？并证明你的结论． 【考点题型九】根据平行线的性质探究角的关系（） 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 32．（23-24七年级下·山东济宁·期末）【阅读理解】 （1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，，点E，F分别在直线，上，点P为直线，内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接，．求证：． 证明：如图2，过点P作， ， ． （                 ）． ， ． ， （                ）． 【问题解决】 请直接利用（1）中的结论解答下列问题． （2）如图3，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M．若，求的度数； （3）如图4，在图1的基础上分别作和的角平分线交于点M，再分别作和的角平分线交于点N．若，，请直接写出之间满足的数量关系式． 33．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 小佳同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，． 小丽同学：如图③，过点作交的延长线于点，然后再证明， ，． (1)如图②，请按小佳同学的思路，写出证明过程； (2)如图③，请按小丽同学的思路，补齐图形并写出证明过程； (3)如图④，已知，平分，平分，与交于点，请直接写出与的数量关系． 【考点题型十】平行线性质在实际生活中的应用（） 34．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值   35．（21-22七年级下·山东日照·期末）【学科融合】物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫入射角，反射光线与法线的夹角叫反射角（如图），可得规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． (1)【问题解决】如图1，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角________； (2)如图2，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由； (3)【尝试探究】两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，如图3，光线与相交于点，求的度数（结果用含的式子表示）． 36．（24-25九年级上·四川泸州·期末）小明周末与父母一起到泸州忠山公园进行数学实践活动，在处看到，处各有一棵被湖水隔开的银杏树．他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向．他从处走了米到达处，又在处测得在北偏东方向． (1)求，的度数； (2)求两棵银杏树，之间的距离．（结果保留根号） 【考点题型十一】利用平行线间的距离解决问题（） 37．（21-22七年级下·山东聊城·期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ． 38．（21-22七年级下·山东潍坊·期末）如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（    ） A．点P到直线n的距离 B．的周长 C．的面积 D．的大小 39．（21-22七年级下·山东济宁·期末）如图，，点、在直线上，点、、在直线上，如果，的面积为60，那么的面积是 ． 【考点题型十二】与平行线有关的三角形内角和问题（） 40．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（    ）    A． B． C． D． 42．（21-22八年级上·山东潍坊·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【考点题型十三】与角平分线有关的三角形内角和问题（） 43．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（   ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点F，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 46．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ． 47．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，平分，，点F是从点A沿向点E运动的一动点，过点F作于点D． (1)如图1，当点F与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求的度数． 【考点题型十四】利用三角形外角的性质求解（） 48．（21-22八年级上·山东菏泽·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 49．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A． B． C．或 D．或 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$