专题04 三角形的有关证明（考点清单，6考点15题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题04 三角形的有关证明 （6个考点梳理+15种题型解读+提升训练） 清单01 全等三角形 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 三角形全等的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 清单02 等腰三角形 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 清单03 直角三角形 性质： 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠A+∠B=90° 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单04 线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 【注意】 1）线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 2）线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 清单05 角平分线 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 清单06 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【考点题型一】利用全等三角形的性质求解（） 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，，，，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质可得，，根据三角形内角和定理求得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 【答案】4或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， 则； ②当时， 则； 综上，长为4或8， 故答案为：4或8． 3．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与 全等的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式和全等三角形的判定，根据全等三角形的判定找到符合条件的点的个数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：要使与全等，点的位置可以是两个， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与全等的概率是． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用全等三角形对应边相等可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 则只需测出其长度的线段是， 故选：A． 【考点题型二】添加条件证明三角形全等（） 5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在和中，已知，还需添加一个条件才能使，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 运用“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”的方法判定即可． 【详解】解：在和中，已知， A、添加，不能使，符合题意； B、添加，则，即，可以运用角角边判定，不符合题意； C、添加，可运用角边角判定，不符合题意； D、添加，可以运用边角边判定，不符合题意； 故选：A ． 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，于，，增加下列一个条件：（1）；（2）；（3），其中能判定的条件有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，灵活运用判定三角形全等的方法成为解题的关键． 要使，已知于P，，即一角一边，则增加直角边、斜边或另一组角，利用均可判定其全等． 【详解】解：∵于P，， 又∵， ∴， 同理：增加的条件或也可判定． ∴能判定的条件有3个． 故选：D． 7．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中可以利用判定的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等逐个分析即可求解． 【详解】解：①若添加，根据可证明； ②若添加，根据可证明； ③若添加，不能证明； ④若添加，可推得，根据可证明； 故答案为：②． 8．（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．    (1)请添加一个条件________使，并说明理由． (2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断； （2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断． 【详解】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵，，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【考点题型三】选用合适的方法证明三角形全等（） 9．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）首先得出，再利用证明即可． （2）由全等三角形的性质证明，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】①证明见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，交的延长线于点，垂足，射线交于点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明，利用对应边相等和线段和差即可求解； （2）直接利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵， ， 在与中， ∴ ， ， ． （2）解：， ， 12．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，，，点E是的中点，连接并延长交于点F，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定及性质得出，再根据中点的定义得出，结合得出，然后根据全等三角形的性质及线段的和差得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中 ∴． ∴，． ， ∴． 在中，可求得． ∴． 13．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型四】等腰三角形的定义（） 14．（22-23七年级下·山东青岛·期末）小明有两根的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用用一根 长的木棒． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分是腰长和底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边长分别为、、， ， 、、不能组成三角形； ②是底边时，三角形的三边长分别为、、， 能够组成三角形， 综上所述，还需要选用一根长的木棒． 故答案为：8． 15．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．设等腰底边长为，则腰长为，根据两个三角形的周长的差是4，分两种情况分别求解即可． 【详解】解：设等腰底边长为，则腰长为， 是腰上的中线， ， 与的周长的差是4， 当的周长的周长时， 则， ，解得：； 当的周长的周长时， 则， ，解得：， 等腰三角形底边长为或， 故答案为：或． 16．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形周长为厘米，若其中一边长为厘米，则腰长为 ． 【答案】厘米 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长为腰或者底边时，再根据三角形的周长进行计算． 【详解】解：当是腰时，则底边长是，此时，，不能组成三角形，应舍去； 当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是． 故答案为：厘米． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【考点题型五】利用等腰三角形的性质求解（） 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质． 根据，得到，由，有，再根据三角形内角和，即可求出，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，．请判断的形状，并说明理由． 【答案】为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求出的度数，进而得出的度数．再根据得出，由三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的内角和定理得到的度数，进而得出结论．掌握等边对等角是解题的关键． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 20．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由作图作法得出是的平分线，再根据垂线段最短，作于F，交于E，此时，值最小，最小值为，再根据勾股定理与三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：过点B作于F，交于E，连接，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为， 理由：由作图可知，是的平分线， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直平分， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∵ ∴ ∴ 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作已知角的平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．由垂线段最短得出于F，交于E，此时值最小是解题的关键． 21．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识．由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边中点， ∴， 故答案为：16． 22．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为 ．    【答案】13 【分析】根据角平分线的性质结合平行线的性质可得出，进而可得出,再根据,，即可求出的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的周长，判定等腰三角形是解题的关键． 【考点题型六】利用等腰三角形的性质证明（） 23．（22-23七年级下·山东济南·期末）已知：如图所示，中，，为的角平分线，求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【分析】等边对等角，得到，外角的性质和角平分线的定义，得到，即可得证． 【详解】证明：（已知）， （等边对等角）， 是的外角，（外角的定义） （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） （角平分线定义）， （等量代换）， ．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据证明，则可得，再根据等腰三角形“三线合一”即可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵F是的中点， ∴． 25．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的关键． （1）先判定， 得出．再利用平分，平分，证明，再证明，得出，得出，，即可证明； （2）利用平分，得出，利用，得出，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 26．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）先根据角平分线的定义求得的度数，据此求解即可； （2）先根据角平分线的定义和平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 的周长是． 【考点题型七】利用等边三角形的性质求解（） 28．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出． 【详解】解：是等边三角形， ， 于点， ． 故选：A 29．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，是等边三角形，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点B作，可得，依次求解，，，再利用对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图，过点B作， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 30．（23-24七年级下·山东泰安·期末）在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，根据全等证出是解决本题的关键． 根据证出，得出，再根据三角形的外角性质即可得出的度数． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， 在D和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 31．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上， ，过点B作，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理．利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 在中， 得：， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【考点题型八】等边三角形的判定（） 32．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是的高线，是的角平分线，是中线， ∴， ∵， ∴， 无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 33．（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是(   ) A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案． 【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角， 因为：∠1+∠2+∠3=180°， 所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形， 故A选项不正确，符合题意； B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD． ∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠BEC=90°， 在Rt△BCD与Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．， 故B选项正确，不符合题意； C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，， 故C选项正确，不符合题意； D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形， 故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力． 34．（20-21七年级下·山东泰安·期末）关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有三条对称轴， （2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形； （3）有两个角等于的三角形是等边三角形； （4）等边三角形两边上中线相等． 其中正确的说法有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质与判定，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：根据等边三角形的性质：①等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对 角的平分线互相重合(三线合一) ； ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线； （1）等边三角形有三条对称轴，故此说法正确； （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故此说法正确； （3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故此说法正确； （4）等边三角形两边上中线相等，故此说法正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定. 35．（20-21七年级下·山东泰安·期末）如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：是等边三角形． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由△ABC和△CDE均为等边三角形得AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，即可证明△ACD≌△BCE； （2）根据△ACD≌△BCE，∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°，根据AC＝BC即可证明； （3）由△ACG≌△BCH，CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明； 【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACD＝∠ECB， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBH＝∠CAG， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上， ∴∠BCH＝∠ACG＝60°， 在△ACG≌△BCH中， ， ∴△ACG≌△BCH（ASA）； （3）证明：∵△ACG≌△BCH， ∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）， 又∵∠ACG＝60°， ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质． 【考点题型九】利用线段垂直平分线的性质求解（） 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， 、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ， ． 故选：B． 37．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为12，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴． 故选：D． 38．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（    ） A．、两边高线的交点处 B．在、两边中线的交点处 C．在、两内角平分线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，作分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， 则，， ， 故选：D． ． 39．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ： （1）由“”可证，可得； （2）连接，证明；，得出是的垂直平分线，得出，故可得结论 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）证明：连接 ∵E在垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 【考点题型十】利用线段垂直平分线的判定求解（） 40．（21-22七年级下·山东威海·期末）已知点P是直线l外一点，要求过点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（　　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可． 【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ， ∵AP=BP，AQ=BQ， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上， ∴ 直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ， 本选项不符合题意； B、B选项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意； C、如图，连接AP、AQ、BP、BQ， ∵AP= AQ，BP =BQ， ∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴ 直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ， 本选项不符合题意； D、如图，连接AC、BC、DP、PQ， ∵AC=BC，AD=BD， ∴点C在线段AB的垂直平分线上，点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ 直线CD垂直平分线线段AB， ∴ 由作图痕迹可知：， ∴， ∴ ∴PQ⊥AB， 本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键． 41．（2020·江西·中考真题）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点 平分，， 是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 42．（21-22七年级下·山东东营·期末）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． (1)求证：BE垂直平分CD； (2)若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD； （2）证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°， ∴∠DBE=30°， ∵BD=BC，BE垂直平分CD， ∴∠CBE=∠DBE=30°， ∴∠CBD=60°， ∴△CBD是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 【考点题型十一】利用角平分线的性质求解（） 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：B． 44．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点， ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 45．（20-21八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 46．（21-22七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的定义，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再利用即可证明； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 【考点题型十二】利用角平分线的判定求解（） 47．（21-22八年级下·福建漳州·期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 48．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，点在上，， 于点，于点，且，则的长度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为10． 49．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，和是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G、连接CG． 求证： (1)； (2)CG平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△DBF，可得DE=BF； （2）由“AAS”可证△CBM≌△CDN，可得CN=CM，由角平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵△ABD和△CBD是等边三角形， ∴AD=BD，∠A=∠BDF=60°， 在△ADE和△DBF中， ， ∴△ADE≌△DBF（SAS）， ∴DE=BF； （2）证明：作CM⊥BF于点M，CN⊥DE，交ED的延长线于点N， ∴∠BMC=∠N=90°， ∵△ABD和△CBD是等边三角形， ∴CD=CB，∠CDB=∠ABD=60°，∠ADB=∠DBC=60°， ∴ABCD，ADBC， ∴∠CDN=∠BED，∠CBM=∠AFB， ∵△ADE≌△DBF， ∴∠AED=∠DFB， ∴∠BED=∠AFB， ∴∠CDN=∠CBM， 在△CBM和△CDN中， ， ∴△CBM≌△CDN（AAS）， ∴CN=CM， ∴点C在∠BGD的平分线上， 即CG平分∠BGD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点题型十三】利用直角三角形的性质求解（） 50．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，垂足为D，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得到，然后在利用同样方法求． 【详解】解：在中，∵， ， ， ， ， ， 故选：A． 51．（22-23七年级下·四川成都·期末）若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的特征，直角三角形的两个锐角互余，由此可解． 【详解】解：若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于：， 故选A． 52．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 53．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，已知平分，，于点，于点，交于点，若，则的长是 ．    【答案】 【分析】由角平分线的性质得，，再用平行线的性质得，于是可得，利用勾股定理及度直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，，于点，于点， ∴，，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，度直角三角形的性质，角平分线的定义及性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理以及30度直角三角形的性质是解题的关键． 【考点题型十四】用勾股定理解三角形（） 54．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在中，由勾股定理得：， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 55．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 【答案】2 【分析】先根据勾股定理求出的长，再过点作，垂足分别为，连接，再利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 过点作，垂足分别为，连接， 点是、的角平分线的交点，且于， ， ，即， 解得， 故答案为：2． 56．（22-23七年级下·山东青岛·期中）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中在上且．通过计算可得 （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，在上且， ， ，， 在中，， ，， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 57．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在和中，根据勾股定理得，，进一步得出，再根据，可求得的值 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：34 【考点题型十五】判断三边能否构成直角三角形（） 58．（2025七年级下·全国·专题练习）不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，根据三角形内角和定理、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故A不符合题意； 任意一个三角形均满足， ∴不能判定是直角三角形， 故B符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故C不符合题意； ∵，， ∴，，， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 59．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知是的三边长，且满足关系式，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的非负数性，偶次幂的非负性，勾股定理逆定理的运用，根据二次根式，偶次幂的非负性可得，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：A ． 60．（23-24七年级下·山东济南·期末）在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】】本题考查了勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再根据勾股定理的逆定理得出即可． 【详解】解：A、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的有关证明 （6个考点梳理+15种题型解读+提升训练） 清单01 全等三角形 全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 三角形全等的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 清单02 等腰三角形 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 清单03 直角三角形 性质： 性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠A+∠B=90° 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 清单04 线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 【注意】 1）线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段. 2）线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质：1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 清单05 角平分线 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 清单06 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【考点题型一】利用全等三角形的性质求解（） 1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，，，，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，，．线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为 ． 3．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 从四个格点中任选一点，与点，构成的三角形与 全等的概率是 ． 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果，则只需测出其长度的线段是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】添加条件证明三角形全等（） 5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在和中，已知，还需添加一个条件才能使，不能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，于，，增加下列一个条件：（1）；（2）；（3），其中能判定的条件有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知，，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中可以利用判定的是 ． 8．（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．    (1)请添加一个条件________使，并说明理由． (2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由． 【考点题型三】选用合适的方法证明三角形全等（） 9．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，在一条直线上，与交于点，，，，求证： (1)． (2)． 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 11．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，交的延长线于点，垂足，射线交于点． (1)求的长度； (2)求的长度． 12．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，，，点E是的中点，连接并延长交于点F，，，，求的长． 13．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【考点题型四】等腰三角形的定义（） 14．（22-23七年级下·山东青岛·期末）小明有两根的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用用一根 长的木棒． 15．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4，则等腰三角形底边长为 ． 16．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形周长为厘米，若其中一边长为厘米，则腰长为 ． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【考点题型五】利用等腰三角形的性质求解（） 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，．请判断的形状，并说明理由． 20．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，中，，，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点D，E是上的动点，F是边上的动点，则的最小值为 ． 21．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 22．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为 ．    【考点题型六】利用等腰三角形的性质证明（） 23．（22-23七年级下·山东济南·期末）已知：如图所示，中，，为的角平分线，求证：．（推理过程请注明理由） 24．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 25．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证：(1)； (2)是等腰三角形． 26．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且 (1)若，请直接写出的度数； (2)已知，，求的周长． 【考点题型七】利用等边三角形的性质求解（） 28．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 29．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，是等边三角形，若，则（ ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·山东泰安·期末）在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为 ． 31．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上， ，过点B作，则点D的坐标为 ． 【考点题型八】等边三角形的判定（） 32．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 33．（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是(   ) A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 34．（20-21七年级下·山东泰安·期末）关于等边三角形的说法： （1）等边三角形有三条对称轴，（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角等于的三角形是等边三角形；（4）等边三角形两边上中线相等．其中正确的说法有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 35．（20-21七年级下·山东泰安·期末）如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：是等边三角形． 【考点题型九】利用线段垂直平分线的性质求解（） 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点E、F，连接、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若的周长为12，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 38．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（    ） A．、两边高线的交点处 B．在、两边中线的交点处 C．在、两内角平分线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 39．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【考点题型十】利用线段垂直平分线的判定求解（） 40．（21-22七年级下·山东威海·期末）已知点P是直线l外一点，要求过点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（　　　） A．B．C． D． 41．（2020·江西·中考真题）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 42．（21-22七年级下·山东东营·期末）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． (1)求证：BE垂直平分CD； (2)若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 【考点题型十一】利用角平分线的性质求解（） 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 44．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 45．（20-21八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 46．（21-22七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【考点题型十二】利用角平分线的判定求解（） 47．（21-22八年级下·福建漳州·期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（    ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 48．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，点在上，， 于点，于点，且，则的长度为 ． 49．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，和是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G、连接CG． 求证： (1)； (2)CG平分． 【考点题型十三】利用直角三角形的性质求解（） 50．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，垂足为D，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 51．（22-23七年级下·四川成都·期末）若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（    ） A． B． C． D． 52．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 53．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，已知平分，，于点，于点，交于点，若，则的长是 ．    【考点题型十四】用勾股定理解三角形（） 54．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 55．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点是、的角平分线的交点，且于，则 ． 56．（22-23七年级下·山东青岛·期中）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中在上且．通过计算可得 （填“>”或“<”或“=”）． 57．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【考点题型十五】判断三边能否构成直角三角形（） 58．（2025七年级下·全国·专题练习）不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 59．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知是的三边长，且满足关系式，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法判断 60．（23-24七年级下·山东济南·期末）在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$