精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

牡丹江二中2024-2025学年度第二学期高二学年期中考试 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：选择性必修第二册（第五章导数），选择性必修第三册（6，1~7，3）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每个班都有6种选法，由分步计数原理可得结果. 【详解】解：由题意可知，每个班都有6种选法，则由乘法原理可得共有种方法 故选：D 【点睛】此题考查的是排列组合中的分步计数原理，属于基础题. 2. 的展开式中的常数项为（　　） A 240 B. ﹣240 C. 480 D. ﹣480 【答案】A 【解析】 【分析】求出通项公式，运用指数幂的运算性质，令指数为0，解方程可得，即可得到所求常数项． 【详解】解：的通项公式为 ， 令，可得， 则展开式的常数项为． 故选：． 【点睛】本题考查二项式定理的运用，主要是通项公式的运用和指数幂的运算性质，考查运算能力，属于基础题． 3. 设函数在上可导，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】运用导数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4. 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率． 【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型， 每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立， 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： ． 故选：A． 【点睛】本题考查概率求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5. 函数的图象在点（）处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求导可得，代入切点横坐标，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 所以在点（）切线的斜率. 故选：D 6. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果. 【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况： （1）每组人数别为1，2，2，方法有； （2）每组的人数分别为1，1，3，方法有， 所以不同方案有90+60=150种. 故选：A 【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题. 7. 从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件A，事件B所包含的基本事件的个数，求P（A），P（AB），根据条件概率公式，即可得到结论． 【详解】事件A为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7）， （3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝， 事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6）， ∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝． 故选A． 【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题． 8. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解 【详解】， 令，显然该函数单调递增，，则有两个根， 当时，等式为，不符合题意； 故，等式转化为有两个根，即和有两个交点， 设，求导得， 故当和时，，单调递减； 时，，单调递增； 且当时，，， 故如图所示 由图可得，的取值范围是 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 10. 已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，可判断A选项；由期望公式可判断B选项；由方差公式可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 则， 又，所以． 故选：AD. 11. 设函数，其中，，若存在唯一整数，使得，则的取值可以是（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】转化为在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，研究的性质，直线恒过定点（1，0）且斜率为，得到，且，解不等式即可. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， 又，当时，；当时，．所以函数的最小值为． 又，．直线恒过定点（1，0）且斜率为， 故，且，解得，故0.6，0.8符合题意， 故选:BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′（1）＝________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可. 【详解】，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______ 【答案】 【解析】 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，利用二项分布求得，然后利用条件概率公式求解. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B， 则， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 14. 已知函数在上的最大值为，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由，求导得到，根据定义域，分，和讨论求解. 【详解】由得， 当时， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减， 故当时，函数有最大值， 解得，不符合题意，舍去; 当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意; 当时，函数在上单调递减，此时最大值为， 解得，符合题意， 综上可知，的值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了讨论讨论思想，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？ （1）男､女同学各2名； （2）男､女同学分别至少有1名； （3）在（2）前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先选出男､女同学各2名，再排序，进而结合乘法原理求解即可； （2）利用间接法求得男､女同学分别至少有1名的情况，再排序求解即可求得答案； （3）先考虑男同学甲与女同学乙同时选出的情况，再结合（2）作差求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，先分别从5名女同学和4名男同学中各选出2名，有种， 再将选出的4名同学排序参加演讲比赛，有种排法， 所以，根据分步乘法原理得，共有种选法. 【小问2详解】 解：根据题意，先从5名女同学和4名男同学中选出4人， 其中男､女同学分别至少有1名情况共有种， 再将选出的4名同学排序参加演讲比赛，有种排法， 所以，共有不同的选法种. 【小问3详解】 解：若男同学甲与女同学乙同时选出，共有种， 由（2）知，选出的4名同学中，男､女同学分别至少有1名参加四场不同的演讲共有种， 所以，在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出的共有种. 16. 已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）；（2）,,． 【解析】 【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项. 【详解】解：二项式展开式的通项公式为 ，； （1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 ， 即, 解得； （2）二项式展开式的通项公式为 ，； 当时,对应项是有理项, 所以展开式中所有的有理项为 , , ． 【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题. 17. 设函数． （1）设，求的极值点； （2）若时，总有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是函数的极大值点，无极小值点；（2）． 【解析】 【分析】 （1）求得，进而得到，判断与0的关系即可得出函数的单调区间，得极值点； （2）引入新函数，依题意可得函数在上单调递减，求导可知在上恒成立，结合函数的单调性，求得在上的最大值，即可得到实数m的取值范围． 【详解】解：（1），， ， 显然，当时，，当时，， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故是函数的极大值点； （2）对于可化为， 令， ， 在上单调递减， 在上恒成立，即， 又在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， ，即实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 18. “蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败. （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率； （3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望. 【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功； （2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有种情况； （3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望. 【详解】（1）记至少两次试验成功为事件A， 则， 答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为. （2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验， 其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有种情况. 记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B， 则， 答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为. （3）X的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， ， 所以X的概率分布为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望. 【点睛】本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 19. 已知函数（为常数）. （1）讨论函数的单调性； （2）当，时，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出和，对分类讨论，a≤0和a>0，分别判断单调性； （2）当时，，利用导数求出的单调性和极小值，即可证明 【详解】（1）由可得：，所以. 当a≤0时, 在R上恒成立；在上单增； 当a>0时,令,即,解得,令,即,解得. 所以当a>0时, 在上单增，在上单减. 综上所述：当a≤0时, 在上单增； 当a>0时, 在上单增，在上单减. （2）当时，. 令，则 令，则. 令，得：；令，得：； 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 所以， 所以存在，使， 且当或时，；当时，， 所以在上单增，在上单减，在上单增. 又，所以有：恒成立， 即当，时，求证： 【点睛】利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牡丹江二中2024-2025学年度第二学期高二学年期中考试 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：选择性必修第二册（第五章导数），选择性必修第三册（6，1~7，3）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法是（ ）种． A. B. C. D. 2. 的展开式中的常数项为（　　） A. 240 B. ﹣240 C. 480 D. ﹣480 3. 设函数在上可导，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 4. 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象在点（）处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 240 D. 300 7. 从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 10. 已知随机变量X的分布列如下： X P 若随机变量满足，则（ ） A B. C. D. 11. 设函数，其中，，若存在唯一的整数，使得，则的取值可以是（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′（1）＝________. 13. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______ 14. 已知函数在上最大值为，则的值为_______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？ （1）男､女同学各2名； （2）男､女同学分别至少有1名； （3）在（2）前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出. 16. 已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等． （1）求n的值； （2）求展开式中所有的有理项． 17. 设函数． （1）设，求的极值点； （2）若时，总有恒成立，求实数m取值范围． 18. “蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败. （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率； （3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望. 19. 已知函数（为常数）. （1）讨论函数的单调性； （2）当，时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$